II.-Теория-поля (1109679), страница 86
Текст из файла (страница 86)
А. Фридманол«в 1922 г.)— основаны на предположении об однородности и изотропии распределения вещества по пространству. Существующие астрономические данные не противоречат такому предположению'), и в настоящее время есть все основания считать, что изотропная модель дает в общих чертах адекватное описание не только современного состояния Вселенной, но и значительной доли ее эволюции в прошлом. Мы увидим ниже, что основным свойством этой модели является ее нестационарность.
Нет сомнения в том, что это свойство («расширяюшаяся Вселенная») дает правильное объяснение фундаментального для космологической проблемы явления красного смещения Я 114). В то же время ясно, что предположение об однородности и изотропии Вселенной уже по самому своему существу неизбежно может иметь лишь приближенный характер, поскольку эти ') В частности, появляются стационарные решения, отсутствующие при Л = О. Именно с этой целью «космологнческий член» был введен Эйнштейном до открытия Фрндманом нестацнонарных решений уравнений поля-- см. ниже.
) Имеются в виду данные о распределении галактик в пространстве и об нзотропнн так называемого реликтового радиоизлучения. 1 ы1 ИЗОТРОПНОЕ ПРОСТРАНСТВО свойства заведомо нарушаются при переходе к меньшим масштабам. К вопросу о возможной роли неоднородности Вселенной в различных аспектах космологической проблемы мы вернемся В 1 11ОР-119. Однородность и изотропия пространства означают, что можно выбрать такое мировое время, чтобы в каждый его момент метрика пространства была одинаковой во всех точках и по всем направлениям. Займемся прежде всего изучением метрики изотропного пространства как таковой, не интересуясь пока его возможной зависимостью от времени. Как мы уже делали выше, обозначим трехмерный метрический тензор как у д, т. е.
напишем элемент пространственного расстояния в виде 12 1П1,3 (111.1) Кривизна пространства полностью определяется его трехмерным тензором кривизны, который мы обозначаем как Р„В.„А, в отличие от четырехмерного тензора Л;ьь„. В случае полной изотропии тензор Р В-,А должен, очевидно, выражаться только через метрический тейзор у д, а потому в силу своих свойств симметрии должен иметь вид Р„р,б = Л(у,„т улА — у,а.~рт), (111.2) где Л вЂ” постоянная. Тензор Риччи Р д = Рт д равен соответственно Є = 2ЛУ В, (111.3) а скалярная кривизна (111.4) Р = 6Л.
Таким образом, свойства кривизны изотропного пространства определяются лишь одной постоянной. Соответственно этому возможны всего три существенных различных случая пространственной метрики: 1) так называемое пространство постоянной положительной кривизны (соответствующее положительным значениям Л), 2) пространство постоянной отрицательной кривизны (соответствующее значениям Л < О) и 3) пространство с кривизной, равной нулю (Л = О).
Из них последнее представляет собой плоское, т. е. евклидово, пространство. При изучении метрики удобно исходить из геометрической аналогии, рассматривая геометрию изотропного трехмерного пространства как геометрию на заведомо изотропной гиперповерхности (в некотором фиктивном четырехмерном 480 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ ГЛ. Хгу пространстве ') ).
Такой поверхностью является гиперсфера; соответствующее ей трехмерное пространство и является пространством положительной постоянной кривизны. Уравнение гиперсферы с радиусом и в четырехмерном пространстве х1, х2, хэ, х4 имеет вид х1 + х2 + хз + х4 — — а, 2 2 2 2 2 а элемент длины на ней выражается как Й вЂ” 1зх1 + дх2 + дх3 + гзха. Рассматривая координаты х1, х2, хз как три пространственные координаты и исключая из Ж фиктивную координату ха с 2 помощью первого уравнения, находим элемент пространственного расстояния в виде ~12 1 2 1 2 1 2 (х11гхг+хг1гхг+хз1гхз) х1+ х2+ ха+ а — х, — хг — хз у д = бо,~+ — г~. Так как первые производные от у,з, а значит, и величины Л~~ (ср, задачу 1 2 88), — трехмерные символы Кристоффеля, соответствующие метрике у д, в начале координат обращаются в нуль, то вычисление по общей формуле (92.7) оказывается очень простым и дает в результате 1 Л = —.
аг (111.6) Величину а можно назвать «радиусом кривизныа пространства. Введем вместо координат х1, х2, хз соответствующие им «сферические» координаты г, д, 1р. Тогда элемент длины примет вид Ж вЂ”, + г (вгп 016гг + 11й ). (111.7) 1 — т Уа Начало координат может быть выбрано в любой точке пространства. Длина окружности в этих координатах равна 2лг, а поверх- ) Не имеющем, разумеется, ничего общего с четырехмерным пространством-временем. Из этого выражения легко вычислить постоянную Л в (111.2).
Поскольку нам заранее известно, что тензор Р я имеет вид (111.3) во всем пространстве, то достаточно вычислить его только для точек, находящихся вблизи начала координат, где 'у д равны 481 1 111 ИЗОТРОПНОЕ ПРОСТРАНСТВО ность сферы 4ят2. Длина же «радиуса» окружности (или сферы) равна т 1!т . т = аагстйп —, и о т. е. болыпе т. Таким образом, отношение длины окружности к радиусу в таком пространстве меньше 22г. ДругуЮ удОбнуЮ фОрму Жз имЕЕт в «чЕтырЕхмЕрных Сфсрических координатах», получающихся, если ввести вместо координаты т «угол» т согласно т = ав1п т (,"С меняется в пределах от 0 до я) '). Тогда Ж2 = ао [дХ~ + вш2,"С(вш~ оп Жр~ + ьззоо~) ]. 1111.8) И = а тйп )Св1п01!)Сс!ййр, о о о откуда И=2я а. (111.9) Таким образом, пространство положительной кривизны оказывается «замкнутым само в себе»- - конечным по объему, но, разумеется, не имеющим границ.
Интересно отметить, что в замкнутом пространстве полный электрический заряд должен быть равен нулю. Действительно, 1 ) «Декартоаь1» к00рдинать1 х1 х2 сферическими координатами о, а, !2, т х1 = аз!пХз!пдсоз!Р, хз = аз!птсозд, хз, хз связаны с четырехмерными посредством соотношений х2 = аз!Птз!ПРБ!п!2 х« = а сов х. Координата )~ измеряет расстояние от начала координат, равное ат. Поверхность сферы в этих координатах равна 42»а2вш~т. Мы видим, что по мере удаления от начала координат величина поверхности сферы увеличивается, пока не достигнет на расстоянии зга112 максимального значения, равного 4яа~.
Вслед за этим она начинает уменьшаться, пока не превратится в точку на «1противоположном полюсе» пространства на расстоянии яа — наибольшем расстоянии, которое вообще может существовать в таком пространстве (все это видно, конечно, и из (111.7), если заметить, что координата т не может принимать значений, больших чем а). Объем пространства с положительной кривизной равен 482 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ ГЛ. Х!У (11110) а элемент длины в пространстве отрицательной кривизны в ко- ординатах Г, д, 1р имеет вид ГУ =,,+Г (в)п Осйр +Ю), 1+Г /а (111.11) где координата Г может пробегать все значения от 0 до со.
Отношение длины окружности к радиусу теперь больще чем 2я. Выражение для дР, соответствующее (111.8), получится, если ввести координату у согласно Г = авЬ у (;С меняется здесь от 0 до ОО). Тогда Ж~ = п~~д1~~+ ЯЬ~Л(в)п Ойдо~+ 11й~)'1. (111.12) Поверхность сферы равна теперь 4яа ЯЬ~ у и при удалении от начала координат (увеличении,"С) возрастает неограниченно. Объем пространства отрицательной кривизны, очевидно, бесконечен. Задача Преобразовать элемент длины (111.7) к виду, в котором он был бы пропорционален своему евклидову выражению (конформно-евклидовы координаты).
всякая замкнутая поверхность в конечном пространстве с обеих своих сторон охватывает конечные же области пространства. Поэтому поток электрического поля через эту поверхность равен, с одной стороны, полному заряду, находящемуся внутри поверхности, а с другой, равен находящемуся вне ее заряду, взятому с обратным знаком. Сумма же зарядов с обеих сторон поверхности равна, следовательно,.нулю. Аналогичным образом, из выражения (96.16) 4-импульса в виде интеграла по поверхности следует обращение в нуль полного 4-импульса Р' во всем пространстве. Перейдем теперь к рассмотрению геометрии пространства, обладающего постоянной отрицательной кривизной.
Из (111.6) мы видим, что постоянная Л становится отрицательной, если а мнимо. Поэтому все формулы для пространства отрицательной кривизны можно непосредственно получить из предыдущих, заменив в них а на эа. Другими словами, геометрия пространства отрицательной кривизны получается математически как геометрия на четырехмерной псевдосфере с мнимым радиусом.
Таким образом, постоянная Л равна теперь 483 е 112 ЗАКРЫТАЯ ИЗОТРОПНАЯ МОДЕЛЬ Р е ш е и и е. Подстановка т1 т= 1 1- т,1 14а ) приводит к результату: 2 г д1~ = (1+ — '1 (й~т+т~1ВВ +т1 з1п Вдула~). 4а ~ й 112. Закрытая изотропная модель Переходя к исследованию пространственно-временной метрики изотропной модели, мы должны прежде всего условиться о выборе системы отсчета.
Наиболее удобна «сопутствующая» система отсчета, движущаяся в каждой точке пространства вместе с находящимся в ней веществом. Другими словами, системой отсчета является сама заполняющая пространство материя; скорость вещества в этой системе по определению равна везде нулю. Очевидно, что такой выбор системы отсчета для изотропной модели естествен:при другом выборе направленность скоростей материи создавала бы кажущуюся неэквивалентность различных направлений в пространстве. Временная координата должна быть выбрана указанным в начале предыдущего параграфа образом, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
