II.-Теория-поля (1109679), страница 81
Текст из файла (страница 81)
1, (40.7)) .И' = -ма+ юг 6М' = 3 3 (М'(гр)). 2Ь 3 105 ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ВДАЛИ ОТ ТЕЛ Вычисляя производную М = (гр) + (гр) с помощью уравнений Гамильтона г = дМ'/др, р = — д.«Г /дг, получим (2) Интересуясь вековым ходом изменения М, мы должны усреднить это вы- ражение по периоду Т обращения частицы. Усреднение удобно произвести с помощью параметрического представления зависимости г от времени при движении по эллиптической орбите ввиде Т т= а(1 — есозб), 1= — (5 — е31пб) 2я (а и е — большая полуось и зксцентриситет эллипса; см. 1, 3 15); Т / Гз 2та 2' (1 — есозб)~ а (1 — е~)~У~ о а Таким образом, вековое изменение М дается формулой дМ 2Е(М'М) 1 2 3(1 2)3/2 (3) т.
е. вектор М вращается вокруг оси вращения центрального тела, оставаясь неизменным по величине. Аналогичное вычисление для вектора А дает А = 2 3 (М'А) + 2 3(ММ')(ГМ). 2а , бе с г с ьчг Усреднение этого выражения производится аналогично тому, как это было сделано выше; при этом из соображений симметрии заранее очевидно, что усредненный вектор г/га направлен вдоль большой полуоси эллипса, т.е. вдоль направления вектора А. Вычисление приводит к следующему выражению для векового изменения вектора А: — = (ЙА), Й = (и' — Зп(пп')) «1А 2ЕМ' Ш с аз(1 — е )3У (4) с тем же Й, что и в (4); другими словами, Й есть угловая скорость вращения эллипса «как целого».
Это вращение включаег в себя как дополнительное (по отношению к рассмотренному в 3 101) смещение перигелия орбиты, так и вековое вращение ее плоскости вокруг направления оси тела (последний Г/2 23 Ли 0 Ландау и Е.М. Лифшиц. Том П (и, и' единичные векторы в направлении М и М'), т. е. вектор А вращается с угловой скоростью Й, оставаясь неизменным по величине;последнее обстоятельство означает, что эксцентриснтет орбиты не испытывает векового изменения. Формулу (3) можно написать в виде 450 ГЛ.
ХП ПОЛЕ ТЯГОТЕЮ1ЦИХ ТЕЛ эффект отсутствует, если плоскость орбиты совпадает с экваториальной плоскостью центрального тела). Для сравнения укажем, что рассмотренному в Э 101 эффекту соответствует бтй1Л' и. с а(1 — е )Т 6 106. агравнения движения системы тел во втором приближении Как мы увидим ниже Я 110), система движущихся тел излучает гравитационные волны, теряя при этом энергию. Эта потеря, однако, появляется лишь в пятом приближении по 1/с. В первых же четырех приближениях энергия системы остается постоянной. Отсюда следует, что система гравитирующих тел может быть описана с помощью функции Лагранжа с точностью до членов порядка 1/с в отличие от электромагнитного поля, 4 где функция Лагранжа существует, в общем случае, только с точностью до членов второго порядка Я65).
Мы дадим здесь вывод функции Лагранжа системы тел с точностью до членов второго порядка. Тем самым мы найдем уравнения движения системы в приближении, следующем после ньютоновского. При этом мы будем пренебрегать размерами и внутренней структурой тел, рассматривая их как «точечные1; другими словами, мы ограничиваемся нулевыми членами разложения по степеням отношений размеров тел а к их взаимным расстояниям й Для ре1пения поставленной задачи мы должны начать с определения в соответствующем приближении слабого гравитационного поля, создаваемого телами на расстояниях, больших по сравнению с их размерами, но в то же время малых по сравнению с длиной излучаемых системой гравитационных волн Л (а « т « « Л 1с/п).
С точностью до величин порядка 1/с поле вдали от тела дается полученными в предыдущем параграфе выражениями, обозначенными там как Б,„; воспользуемся здесь этими выра- (1). жениями в форме (105.6а). В 6105 подразумевалось, что поле создается всего одним (находящимся в начале координат) телом. Но поскольку поле Ь,„представляет собой решение линеари- (1) зованных уравнений Эйнштейна, для него справедлив принцип суперпозиции.
Поэтому поле вдали от системы тел получится просто суммированием полей каэКдого из них; напишем его в 106 эгавнвнии движвнии сиотвмы гвл во итогом пгивлижвнии 451 виде 6'~ = — —,рб'~, 2 (106.1) о ло = Ф по = 0 С (106.2) где ~р(г) = — Й~ а есть ньютонов гравитационный потенциал системы точечных тел (г, --радиус-вектор тела с массой т ). Выражение для интервала с метрическим тензором (106.1), (106.2): ~э' = (1+ — ', )с'Цг — (1 — — ', )(1х'+,1„'+,1хг). (106.3) Т' = ~ — — д(г — г) ,~"-д 4а ~й а (106.4) (появление множителя 1/~/ — я сравните с аналогичным переходом в (90.4)); суммирование производится по всем телам в системе. Компонента тпс з сЫ 2'оо = ~ 8оо — Йг — га) а Отметим, что члены первого порядка по ~р имеются не только в яоо, но и в я„а; в 3 87 было уже указано, что в уравнениях дви- жениЯ частиЦы попРавочные члены в 8 а пРивоДЯт к величинам более высоких порядков малости, чем члены, происходящие от яоо., в связи с этим путем сравнения с ньютоновыми уравнениями движения можно было определить только яоо.
Как будет видно из дальнейшего, для получения искомых уравнений движения достаточно знать пространственные компоненты Ьа~ с полученной в (106.1) точностью ( 1/с~); смешанные же компоненты (отсутствующие в приближении 1/с~) необходимо иметь с точностью до членов 1/с, а временную 6оо —- з с точностью до членов 1/с4. Для их вычисления обратимся снова к общим уравнениям тяготения, учтя в них члены соответствующих порядков. Пренебрегая размерами тел, мы должны писать тензор энергии-импульса вещества в форме (33.4), (33.5). В криволинейных координатах это выражение переписывается как 452 ПОЛН ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ ГЛ. ХП в первом приближении 1галилеевы яГН) равна 2; таснс'1г — га); в следующем приближении подставляем щ, из 1106.3) и после простого вычисления получаем Тее = ~т с (1+ т, + — "',)П1г — г ), 1106.5) а ТН13 = ~~ тапаападб(Г Га)1 Тва — ~~ таепаааГГ Га) ° 1106.6) Далее переходим к вычислению компонент тензора В;ы Вычисление удобно производить по формуле В,ь = д~~Лд~ь с Ан~ь из 192.1).
При этом надо помнить, что величины Ь д, Ьсо содержат члены порядка не ниже 1/с2, а Ьд — не ниже 1/сз; дифференцирования по х = с1 в свою очередь повышают порядок малости на 1. Главные члены в Аое порядка 1/с2; наряду с ними мы должны сохранить также и члены следующего неисчезающего порядка -— 1/с4. Простое вычисление приводит к результату: с дс Г,дх 2с дс ! 2 2 дх"дхС В этом вычислении не было еще использовано никакого допол- нительного условия для величин Ь,ы Пользуясь этой свободой, наложим теперь на них условие дЬГ 1 дй„ дх 2с д8 1106.7) в результате которого из Вое полностью выпадают члены, содер- жащие компоненты Ье . В остальных членах подставляем Ьа = — —,Фа, Ьоо = —,д+ О~ —,) 2 2 1'11 с с с где Хà — обычная трехмерная скорость 1па=11ха/Г11), а у — потенциал поля в точке г (на наличие в 1р бесконечной части— потенциала собственного поля частицы та †-пока не обращаем внимания; о нем см, ниже).
Что касается компонент Т я, Те тензора энергии-импульса, то для них, в том же приближении, достаточно оставить лишь первые члены разложения выражений 1106.4): 1 106 уРАВнения движения системы тел ВО ВтОРОм пгивлижении 453 и получаем, с требуемой точностью: 1100 = -~ЬОО+ рррр — р(~1Р), 1 2 2 2 1106.8) где мы перешли к трехмерным обозначениям.
При вычислении компонент ЛО достаточно сохранить лишь члены первого неисчезающего порядка — 1/с . Аналогичным обз разом получим 2сд1дхд 2 дх дх 2сд1дх 2 и затем, с учетом условия 1106.7): 440а — ~140а + д'1. 2 2,з д1дх 1106.9) С помощью полученных выражений 1106.5) — 1106.9) составим теперь уравнения Эйнштейна: л,„= '," (т,„— -,'84,т). (106.10) Временная компонента уравнения 1106.10) дает ~500+ 4рЬр — — 4('7р) =, Я 4.с (1+, + —,)5(г — г.); 4 4 2 8ЕЬ 2 р б~р Зс~'1 а с помощью тождества 4(~701) = 2Ь1~о2) — 4рЬ~р.
и уравнения ньютоновского потенциала 4д~р = 4яй ~ таб(г — га) а 1106.11) переписываем это уравнение в виде 2 4-"1(ПОО 4~р ) = г 2~~ п4а(1+ и + г)01г — га) ° 1106.12) а т.е, на потенциал в точке г поля, создаваемого всеми телами, 16 Л.Д. Лаидау и В.М. Лифшиц. 'Гои П После проведения всех вычислений мы заменили в правой части уравнения 1106.12) уа на 454 Гл, хп ПОЛЕ ТЯГОТЕЮ1ЦИХ ТЕЛ за исключением тела т; исключение бесконечного собственного потенциала тел (в используемом нами методе, рассматривающем тела как точечные) соответствует аперенормировке» их масс, в результате которой они принимают свои истинные значения, учитывающие создаваемые самими телами поля') .
Решение уравнения (106.12) может быть написано сразу, учитывая известное соотношение (36.9) Ь- = — 44гб(г). 1 Таким образом, найдем ь з + 4 ~ ~ 4 ) (106 1з) )г — 1 ! с (г — г,! а а Смешанная компонента уравнения (106.10) дает а Решение этого линейного уравнения есть') Оа— сз )г — г,! сз дСдх" ' а где у — решение вспомогательного уравнения Учитывая соотношение Ьг = 2~г, находим )' = — — ,'4 т ~г — г ~, Е 2 а ) Действительно, если имеется всего одно неподвижное тело, в правой части уравнения будет стоять просто (8яа,1с )т б(г — г ), и зто уравнение правильно (во втором приближении) определит создаваемое телом поле. ) В стационарном случае второй член в правой части уравнения (106.14) отсутствует.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
