II.-Теория-поля (1109679), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Оценка. выражений в обеих частях уравнения (108.11) показывает, что в этом случае ралдус кривизны фоновой метрики по своему порядку величины Ь связан с длиной волны Л и порядком величины ее поля 6 согласно 1 2 62/Л, т.е. Л/Ь 6. СИЛЬНАЯ ГРАВИТАЦИОННАЯ ВОЛНА й 109. Сильная гравитационная волна В этом параграфе будет рассмотрено решение уравнений Эйнштейна, представляющее собой обобщение слабой плоской гравитационной волны в плоском пространстве-времени (1.
Вобгпэоп, Н. Вопй, 1957). Будем искать решение, в котором все компоненты метрического тензора оказываются, при надлежащем выборе системы отсчета, функциями лишь одной переменной, которую назовем х (не предопределяя, однако, ее характера). Это условие допускает еще преобразования координат вида х -эх" +~р (х ), о о( о) где ~о, ~р произвольные функции, Характер решения существенно зависит от того, можно ли тремя преобразованиями (109.1) обратить все но в нуль. Это можно сделать, если определитель |дО,э~ ф О. Действительно, при пРеобРазовании (109 1) ао* — ~ ао* + а„д~РД (где точка означает дифференцирование по хс); при ~д д) ~ 0 система уравнений Юо*+1 ду =0 .Р определяет рД(хо), осуществляющие требуемое преобразование.
Такой случай будет рассмотрен в 3 117; здесь же нас будет интересовать решение, в котором ~й.,! = о. (109.3) В таком случае системы отсчета, в которой бы все до„= О, не существует. Вместо этого, однако, четырьмя преобразованиями (109.1), (109.2) можно добиться того, чтобы было ко1=1, Кое=002=%3=0. (109.4) Переменная х имеет при этом «световой» характер: при дхО = О, йхп ~ 0 интервал Ыв = 0; выбранную таким образом переменную хо будем обозначать ниже как хо = и. Элемент интервала при условиях (109.4) можно представить в виде Г1В~ = 2дх" дг1+ д„А(дх" + д'йх1)(йх~ + дЬ дх1).
(109 5) Здесь и ниже в этом параграфе индексы а, 6, с,... пробегают значения 2, 3; в ь(п) можно рассматривать как двумерный тензор, а две величины д~(Г1) — как компоненты двумерного вектора. 468 ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. Хн! Вычисление величин Яаь приводит к следующим уравнениям поля: ° с ° 4 Лаь йас8 8Ь48 2 Отсюда следУет, что йасй' = 0 или 8' = О, т.е, йс = сопэ1. Преобразованием ха + я х1 — ь ха можно поэтому привести рассматриваемую метрику к виду г!Ч + Каь!,г!!) Г!т (109.6) Определитель — д этого метрического тензора совпадает с определителем ~д,ь|, а из всех символов Кристоффеля отличны от нуля лишь следующие: а 1 а 1 1 РЬО = РГЬ ! Рао — !гаь! ГДЕ МЫ ВВЕЛИ ДВУМЕРНЫЙ тЕНЗОР РГ Ь = Д„Ь, АГА = д Хаш ИЗ ВСЕХ ь Ьс компонент тензора Риччи не обращается тождественно в нуль лишь Лоо, так что имеем уравнение 1100 = — -14 — -Рг тгь = О.
а 1 Ь а 2 4 (109.7) Таким образом, три функции 822(!1), 823(!1), 833(г1) должны удовлетворять всего одному уравнению. Поэтому две из них могут быть заданы произвольно. Удобно представить уравнение (109.7) в другом виде, написав величины даь в виде 8.Ь= — Х'Ъь, !Ъь| =1 (109.8) Тогда определитель — д = !д,ь| = Х4 и подстановка в 1109.7) дает после простого преобразования Х+ ("ш "!' )1!'ьи1 )Х (109.9) (у~~-- двумерный тензор, обратный тензору уаь).
Если задать пРоизвольные фУнкЦии 1,Ь(г1) (свнзанные ДРУГ с ДРУгом соотношением ~ 7 ь! = 1), этим уравнением определится функция Х(11). Мы приходим, таким образом, к решению, содержащему две произвольные функции. Легко видеть, что оно представляет собой обобщение рассмотренной в 3107 слабой плоской гравитационной волны (распространяющейся в одном направлении) ') . Последняя получается, если произвести преобразование Ььх 1 1 — х 11= х ьГ2 х!2 ') Решение родственного характера от большего числа переменных см. 1 Яоьгпаоп, А. ТтаиЬтап7( Р1гув. Реу. 1ееи 1960.
У. 4. Р. 431; Ргос. Рьоу. Яос. 1962. У. А265. Р. 463. 469 СИЛЬНАЯ ГРАВИТАЦИОННАЯ ВОЛНА 9'-> г' 2п г)у, =р, 2 г)х з получаем да~ = 2ГЬ) г1( — йу — сЬ~ и подстановка и = (с + т)/А/2, ( = (г — х)/АГ2 окончательно приводит метрику к галилеевой форме. Это свойство гравитационной волны в возникновение фиктивной особенности в не связано, конечно, с ее слабостью и присуще также и общему решению уравнения (109.7); как и в рассмотренном примере, вблизи особенности т г), т. е.
— К О~ ') . ) Это можно показать с помощью уравнения 009.7) в точности тем же способом, как зто было сделано в 2 97 для аналогичного трехмерного уравнения в синхронной системе отсчета.Как и там,происхождение фиктивной особенности связано с пересечением координатных линий. и положить 7 ь = д ь+ Ь е(г)) (где Ь ь — - малые величины, подчиненные условию Ь22+ Ьзз = 0) и г = 1; постоянное значение т удовлетворяет уравнению (109.9), если пренебречь в нем малыми членами второго порядка. Пусть через какую-либо точку х пространства проходит слабая гравитационная волна конечной протяженности («волновой пакет»).
До начала прохождения имеем Ь,ь = О,,"~ — — 1; после конца прохождения снова Ь ь = О, д2,"С/дг2 = О, но учет членов второго порядка в уравнении (109.9) приведет к появлению отличного от нуля отрицательного значения д,"С/д1: (интеграл берется по времени прохождения волны). Поэтому после прохождения волны будет зС = 1 — сопв1 4 и по истечении конечного промежутка времени зг изменит знак. Но обращение т в нуль есть обращение в нуль метрического определителя я, т.е. особенность в метрике.
Эта особенность, однако, не имеет физического характера; она связана лишь с недостатками системы отсчета, «испорченнойя проходящей гравитационной волной, и может быть устранена надлежащим ее преобразованием; после прохождения волны пространство-время оказывается в действительности снова плоским. В этом можно убедиться непосредственным образом. Если отсчитывать переменную 0 от ее значения, соответствующего особой точке, то зс = г), так что 2с) с) 1 20с) 2)2+ ~с) з)2) После преобразования 470 ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. ХП! Задача Найти условие, при котором метрика вида !1в' = !й' — !)х' — Йу' — дг' -~- Д1 — х, у, г)(й! — дх)' является точным решением уравнений Эйнштейна для поля в пустоте (А.
Регея, 1960). Р е ш е н и е. Тензор Риччи вычисляется проще всего в координатах и = = (! — х)/ъ'2, и = (!+ х)/ъ'2,у,г, в которых дв~ = — 41у~ — 41г +241иди+21(и,у,г)фгг, дгу дгу дгу ах г = г Л * = г Вг* дуг' ' * дгг' * ду д ' Единственная отличная от нуля компонента тензора Риччи; гс„ = ЬУ, где 44 оператор Лапласа по координатам у, г. Таким образом, уравнение Эйнштейна: !2!у = О, т. е, функция 1(1 — х, у, г) должна быть гармонической по переменным у, г. Если функция 7 не зависит от у, г или линейна по зтим переменным, поле отсутствует в пространство-время плоское (тензор кривизны обращаЕтСя в нуль). Квадратичная по у, г функция 1(и, у,х) = уг!4(и) + — (у — г )уг(и) 2 отвечает плоской волне, распространяющейся в положительном направле- нии оси х; действительно, тензор кривизны в таком поле зависит только от ! — гх Р4г, = — 44(и), Л „= — В,, = — гг(и).
В соответствии с двумя возможными поляризациями волны метрика содержит в атом случае две произвольные функции 1! (и) и !! (и). 9 110. Излучение гравитационных волн Рассмотрим слабое гравитационное поле, создаваемое телами, движущимися со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света. Благодаря наличию материи уравнения гравитационного поля будут отличаться от простого волнового уравнения вида б1ЬЕ = 0 (107.8) наличием в правой части равенства членов, происходящих от тензора энергии-импульса материи.
Напишем эти уравнения в виде - б2 г)1 = — т. 1 ь 8ггк 2 4 ! (110.1) Помимо бгг = 8гг = — 1, отличны от нуля лишь следующие компоненты метрического тензора: 8„„= 21, 8„„= 1; при этом и"" = — 21', и " = 1, а определитель 8 = — 1. Прямое вычисление по (92.1) дает для отличных от нуля компонент тензора кривизны: 1ио ИЗЛУ ГВНИИ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН где мы ввели вместо )г; более удобные для этого случая величины й ,Ой ~й 1бй~ а тй условно обозначает дополнительные выражения, получающиеся при переходе в точных уравнениях тяготения к случаю слабых полей в рассматриваемом приближении.
Легко убедиться в том, что компоненты то и т получаются непосредственно из О О соответствующих компонент Тй путем выделения из них величин интересующего нас порядка малости; что же касается компонент то, то они содержат наряду с членами, получающимися из Тд, также и члены второго порядка малости из Лв — 5~В/2 Г) . Величины 2))й удовлетворяют условию (107.5) дфйГ2дхй = О. Из (110.1) следует, что такое же уравнение имеет место и для т1'. д; =О. (110.2) Это уравнение заменяет здесь общее соотношение Тй, = О. Рассмотрим с помощью написанных уравнений вопрос об энергии, излучаемой движущимися телами в виде гравитационных волн. Рептение этого вопроса требует определения гравитационного поля в «волновой зоне2, т.
е. на расстояниях, болыпих по сравнению с длиной излучаемых волн. Все вычисления принцигтиально вполне аналогичны тем, которые мы производили для электромагнитных волн. Уравнения слабого гравитационного поля (110.1) по форме совпадают с уравнением запаздывающих потенциалов (662). Поэтому их общее решение можно сразу написать в виде Г(,1 ) 4й 1" й Л (110.3) с / Поскольку скорости всех тел в системе малы, то для поля на больших расстояниях от системы можно написать (ср. 9 66 и 67): (110. 4) ' ) Из уравнений (110.1) можно вновь получить использованные в Э 106 формулы (106.1), (106.2) для слабого постоянного поля вдали от тел. В первом приближении пренебрегаем членами со вторыми производными по времени (содержащими 1/с ), а из всех компонент т, оставляем лишь те — — дс .
2 й С 2 Решение уравнений Ь1й~ ~= О, Ще — — О, сг2)2е = 16яйд/с~, обращающееся на бесконечности в нуль, есть 2)2 = О, 2Р — — О, 2)2с — — 412/с, где у — ньютоновский В с гравитационный потенциал; ср, уравнение (99.2). Отсюда для тензора й; = А = 1й," — 12е,"/2 получаются значения (106.1), (106.2). гл. хш ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ 472 (110.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
