II.-Теория-поля (1109679), страница 83
Текст из файла (страница 83)
(107.8) Это — -обычное волновое уравнение. Следовательно, гравитационные поля, как и электромагнитные, распространяются в пустоте со скоростью света. Рассмотрим плоскую гравитационную волну. В такой волне поле меняется только вдоль одного направления в пространстве; в качестве этого направления выберем ось х~ = х. Уравнения (107.8) тогда превращаются в (107.9) решением которых является любая функция от 1 х х/с Я47). Пусть волна распространяется в положительном направлении оси х. Все величины 11, в ней являются функциями от 1 — х/с. Дополнительные условия (107.5) дают в этом случае ф~ — Г)1о = О, где точка над буквой означает дифференцирование по 1.
Эти равенства можно проинтегрировать, просто вычеркнув знак дифференцирования; постоянные интегрирования можно положить равными нулю, так как мы интересуемся здесь (как и в случае электромагнитных волн) только переменной частью поля. Таким образом, между отдельными компонентами Г)1В имеются соотношения: ФГ = ФГ Ф2 = Гг2 Фз = Фз Гго = Гго (107.10) Как было указано, условия (107.5) еще не определяют однозначно системы отсчета; мы можем подвергнуть координаты преобразованию вида х" = х'+с'(1 — х/с).
Этим преобразованием можно воспользоваться для того, чтобы обратить в нуль четыре величины: Г)1~~, ф~з, 41з~, ф~з + Г)1з~. Из Равенств (107.10) следУет, что 462 ГРАВИТАЦИОННЫБ ВОЛНЫ ГЛ. ХН1 И йт пГ Рд Ьп,1~ д,Ь 1 1 в фигурных скобках в (96.9) (в этом легко убедиться, выбрав одну из осей галилеевой системы отсчета в направлении распро- странения волны). Таким образом, 4 с 32пй (107.11) Поток энергии в волне определяется величинами — сй'1~'"— = с1о~. В плоской волне, распространяющейся вдоль оси х1, в которой отличные от нуля 623 и 622 = — 633 зависят только от разности 1 — х/с, этот поток направлен вдоль той же оси х и равен 623 + (622 633) 16хй Г 4 (107.12) Начальные условия для произвольного поля гравитационных волн должны задаваться четырьмя произвольными функциями координат; в силу поперечности волн имеется всего две незави- при этом обратятся в нуль также и компоненты 4)11, 4142, 4)43, 114о.
о Что же касается остающихся величин 4112, 4112 — у13, то их нельзя 3 2 3 обратить в нуль никаким выбором системы отсчета, поскольку при преобразовании (107.4) с (; = ~;(1 — х/с) эти компоненты вообще не меняются. Заметим, что обращается в нуль и ф = ф,', а потому 111, = 6;. Таким образом, плоская гравитационная волна определяется двумя величинами: 623, 622 = — 633. Другими словами, гравитационные волны являются поперечными волнами, поляризация которых определяется симметричным тензором 2-го ранга в плоскости у2 и сумма диагональных членов которого 622+ 633 равна нулю.
В качестве двух независимых поляризаций можно выбрать случаи, в которых отлична от нуля одна из двух величин 623 и (622 — 633)/2. '1'акие две поляризации отличаются друг от друга поворотом на угол я/4 в плоскости у2. Вычислим псевдотензор энергии-импульса в плоской гравитационной волне. Компоненты 1™ — величины второго порядка малости; мы должны вычислить их, пренебрегая членами еще более высокого порядка. Поскольку при 6 = 0 определитель и отличается от д~ 1 = — 1 лишь величинами второго порядка, то в общей формуле (96.9) можно положить 9'",1 — 61",1 — — 6'~,1. для плоской волны все отличные от нуля члены в 14~ заключены в члене 1ШВ волны В искгивленном пгостгонстие-Вгемени 463 симые компоненты )го,~, вместе с которыми должны быть заданы также и их первые производные по времени.
Хотя этот подсчет мы произвели здесь, исходя из свойств слабого гравитационного поля,но ясно,что его результат †-число 4 в не может быть связан с этим предположением и относится к любому свободному, т. е. не связанному с гравитирующими массами, гравитационному полю. Задача Определить тензор кривизны в слабой плоской гравитационной волне. Р е ш е н и е. Вычисляя В,ы по формуле (105.8), найдем следующие отличные от нуля компоненты: — Вогез = Возов = — Вгггг = Вомг = Воззг = Вз~зг = о, Вогез = — Вшзг = — Возы = Вогез = 1з 1- 1- 1- где обозначено: и = — — Ьзз = — )ггг, и = — — )ггз.
В терминах введенных 2 2 2 в (92.17) трехмерных тензоров А я и В Л имеем Аз= Π— и д, Вя О и и Надлежащим поворотом осей х, т~ можно обратить (в заданной точке г 4-пространства) одну из величин и или и в нуль; обратив в нуль величину и, приведем тензор кривизны к вырожденному типу Петрова П (тип 1»'). 9 108. Гравитационные волны в искривленном пространстве-времени Г„, = -()г„., +)г,. — Ь„' ), 10) 1 г г 2 (108.1) в чем можно убедиться прямым вычислением (здесь и ниже все тензорные операции-- поднимание и опускание индексов, ковариантные дифференцирования — производятся с помощью Подобно тому как мы рассмотрели распространение гравитационных волн «на фоне» плоского пространства-времени, можно рассмотреть распространение малых возмущений по отношению к произвольной (негалилеевой) «невозмущенной» метрике 81ь .
Имея в виду также и некоторые другие возможные применения, выпишем здесь необходимые формулы в наиболее общем виде. Написав снова 81ь в виде (107.1), найдем, что поправка первого порядка к символам Кристоффеля выражается через поправки Ь,ь согласно 464 ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. ХН! негалилеевой метрики я!„. Для поправок к тензору кривизны (о) получается: и™ 2 (108.2) Отсюда поправки к тензору Риччи: Вгьц — — В~!!ь — — -(6(, И! + Ьь!! ! — Ь!ь'!!! — 6.;.
ь). (108.3) Поправки же к смешанным компонентам тензора Риччи получаются из соотношения ь(о) + ь(ц ~ (о) + (!)И и(о),и ! ! и 8 откуда Вь(!) и(о) В(!) бы В(о) (108.4) Точная метрика в пустоте должна удовлетворять точным уравнениям Эйнштейна ВГь = О. Поскольку невозмущенная метрика (о) (о) я!ь удовлетворяет уравнениям В,.ь —— О, то для возмущения (!) получается уравнение В,ь — — О, т. е. 6',! „., + Ь'„,, — 6;„'., — 6...
„= О. (108.5) В общем случае произвольных гравитационных волн упрощение этого уравнения до формы, подобной (107.8), невозможно. Это можно, однако, сделать в важном случае волн большой частоты: длина волны Л и период колебаний Л/с малы по сравнению с характерными расстояниями Т и характерными временами Ь/с, на которых меняется «фоновое поле». Каждое дифференцирование компонент ЬГь увеличивает тогда порядок величины в отношении Т !!Л по сравнению с производными от невозмущенной (о) метрики я, Если ограничиться точностью лишь до членов двух наибольших порядков ((Ь,(Л)з и (Ь/Л)), то в (108.5) можно менять порядок дифференцировании; действительно, разность Ь,,„.,— 6,,„=6 В,и-Ь, В„„и (о) ,(о) имеет порядок (Ь/Л), между тем как каждое из выражений 6, „и Ь, содержит члены обоих больших порядков.
Наложив ! теперь на 6!ь дополнительные условия )ь 0 (108.6) 1юа ВОЛНЫ В ИОКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНОТВЕ-ВРЕМЕНИ 465 (аналогичные (107.5)), получим уравнение 6,„*',,=О, (108. 7) обобщающее уравнение (107.8). По причинам, указанным в ~107, условие (108.6) не фиксирует однозначный выбор координат. Последние можно еще подвергнуть преобразованию ТВ = х'+г', где малые величины (' удовлетворяют уравнению ~"". ь — — О. Этими преобразованиями можно, в частности, воспользоваться для того, чтобы наложить на Ьгь также и условие Ь = 6', = О. Тогда 4~ = Ь~, так что Ь~ подчинены условиям 6,".„=О, 6=0. (108.8) Круг все еще допустимых преобразований суживается после этого требованием ~'.; = О. Псевдотензор 1'" содержит, вообще говоря, наряду с невозмущенной частью 1' ОО также и члены различных порядков по ЬпР Мы придем к выражению, аналогичному (107.11), если рассмотрим величины 1'", усредненные по участкам 4-пространства с размерами, большими по сравнению с Л, но малыми по сравнению с Е.
Такое усреднение (обозначаемое ниже угловыми скобками (...)) не затрагивает я,.ь и обращает в нуль все члены, 00 линейные по быстро осциллирующим величинам Ьпе Из квадратичных же членов сохраним лишь члены наиболее высокого (второго) порядка по 1/Л; это члены, квадратичные по производным Ь;д, ~ = дЬ;ь(дх . При такой степени точности все члены в 1'~, представляющие собой 4-дивергенции, могут быть опущены. Действительно, интегралы от таких выражений по области 4-пространства (области усреднения) преобразуются согласно теореме Гаусса, в результате чего их порядок величины по 1/Л уменыпается на единицу.
Кроме того, выпадают члены, обращающиеся в нуль в силу (108.7) и (108.8) после интегрирования по частям. Так, интегрируя по частям и опуская интеграл от 4-дивергенции, находим (6 6) — — (66 ) — О (Ьн,„ЬИ'н) = — (ЬнЬ~'„") = О. В результате из всех членов второго порядка остается лишь А (ать(2)) с (ЬИ41 д,ь (108.9) 32ЛЙ Отметим, что при этом, с той же точностью, (г; ) = О. ц2) ГРАВИТАЦИОННЫБ ВОЛНЫ ГЛ. ХН! Обладая определенной энергией, гравитационная волна сама является источником некоторого дополнительного гравитационного поля. Вместе с создающей его энергией это поле — эффект второго порядка по величинам 6рн Но в случае высокочастотных гравитационных волн эффект существенно усиливается: тот факт, что псевдотензор И квадратичен по производным от 6,ы привносит в его порядок величины большой множитель Л 2.
В таком случае можно сказать, что сами волны создают фоновое поле, на котором они распространяются. Это поле целесообразно рассматривать, проводя описанное выше усреднение по участкам 4-пространства с размерами, большими по сравнению с Л. Такое усреднение сглаживает коротковолновую «рябь» и оставляет медленно меняющуюся фоновую метрику (В. А.
1заасэоп, 1968). Для вывода уравнения, определяющего эту метрику, надо учесть в разложении тензора В;» члены не только линейные, но и квадратичные по 62ь. В;» = ВГ„+В!„+В,, Как уже указыва- (О) (1) (2) лось, усреднение не затрагивает членов нулевого порядка. Таким образом, усредненные уравнения поля (В!А) = 0 принимают вид В(0) (В(2)) (108.10) (2) причем в В,„надо сохранить лишь члены второго порядка по 1/Л. Их легко найти из тождества (96.7). Квадратичные по 6!» члены, возникающие из правой части этого тождества, имеющей вид 4-дивергенции, исчезают (с рассматриваемой точностью) при усреднении и, таким образом, остается ( (В!Гв 1 !АВ) ) 8!Г)Г (2гв(2) ) или, поскольку (Г! ) = О, с той же точностью; !(2) ( (2)) 8хй ( (2)) Наконец, используя (108.9), получим окончательно уравнение (108.10) в виде (108.11) Если «фон» создается целиком самими волнами, уравнения (108.11) и (108.7) должны решаться совместно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
