II.-Теория-поля (1109679), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Равенство яоо = 0 имеет место при р = ттк, ббльший 2 из двух корней этого квадратного уравнения есть то = — '+ ( — ') — а сов д (доо = О). (104.8) 2 «,2 Обращение же я11 в бесконечность имеет место при Ь = 0; ббльший из двух корней этого уравнения: -, = '— ,' «- Д'— ') — ' «2 = ) (1Б«.9) Поверхности т = то и т = тт р, физический смысл которых выяснится ниже, будем обозначать для краткости символами ЯО и Ят««р. ПОВЕрХНОСтЬ Ягор ПрЕдетаВЛяЕт СОбОй СфЕру, а ЯΠ— СПЛЮС- нутую фигуру вращения, причем Яр р заключена внутри оо и обе поверхности касаются друг друга в полюсах (д = 0 и д = 2г). Как видно из (104.8),(104.9), поверхности Яо и Я, р существуют только при а < тк/2.
При а > тк/2 характер метрики (104.2) радикально меняется, причем в ней появляются физически недопустимые свойства, нарушающие принцип причинности'). 1 ) Эти нарушения проявляются в появлении замкнутых времениподобных мировых линий: они давали бы воэможность отправиться в прошлое с дальнейшим возвращением в будущее. Сразу же упомянем, что такие же нарушения появляются при продолжении метрики Керра внутрь Я„р уже и при о < тр/2, что свидетельствует о физической неприменимости этой метрики внутри Я„р (мы вернемся еще к этому обстоятельству ниже). По этой же причине не представляют физического интереса поверхности, определяемые меньшими корнями квадратных уравнений бее = О и 1/я11 = = О и лежащие внутри Я рр' см. В. Сат1ет// Раув.
Веч. 1968. 'ч'. 174, Р. 1559. 435 ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС НЕСФЕРИ ВЕСКИХ ТЕЛ 4 104 Потеря смысла метрикой Керра при а ) гк/2 означает, что значение Кпах— (104.10) дает верхнюю границу возможных значений момента коллапсара. При этом, по-видимому, его надо рассматривать как предельное значение, к которому можно подойти сколь угодно близко, но точное равенство а = а А„невозможно. Соответствующие предельные значения радиусов поверхностей Яо и ЯГ р. го (1 + ВГП О), ГГСР— (104.11) 2 Покажем, что поверхность Я, р является горизонтом событий, пропускающим движущиеся частицы и лучи света лишь в одном направлении внутрь.
Предварительно покажем с более общей точки зрения, что свойством одностороннего пропускания мировых линий движущихся частиц обладает всякая нулевая гиперповерхность (т.е. гиперповерхность, нормаль к которой в каждой ее точке является нулевым 4-вектором). Пусть гиперповерхность задана уравнением ) (т~, х~, я~, х~) = сопз1.
Нормаль к ней направлена вдоль 4-градиента п4 = д~/дх', так что для нулевой гиперповерхности имеем п,п' = О. Это значит, другими словами, что направление нормали лежит в самой гиперповерхности: вдоль гиперповерхности ГГ) = НГ Гет' = 0 и это равенство выполняется, когда направления 4-векторов Ых' и и' совпадают. При этом, в силу того же свойства пп' = О, элемент длины на гиперповерхности в том же направлении; де = О. Другими словами, вдоль этого направления гиперповерхность касается в данной точке построенного из этой точки светового конуса.
Таким образом, построенные (скажем, в сторону будущего) из каждой точки нулевой гиперповерхности световые конусы лежат целиком по одну из ее сторон, касаясь (в этих точках) гиперповерхности вдоль одной из своих образующих. Но это свойство как раз и означает, что (направленные в будущее) мировые линии частиц или световых лучей могут пересекать гиперповерхность лишь в одну сторону. Описанное свойство нулевых гиперповерхностей имеет обычно физически тривиальный характер: одностороннее пропускание через них выражает собой просто невозможность движения со скоростью, большей скорости света (простейший пример такого рода; гиперплоскость х = 1 в плоском пространстве-времени).
Нетривиальная новая физическая ситуация возникает, когда нулевая гиперповерхность не простирается на пространственную 436 ГЛ. Хн ПОЛН ТЯГОТЕЮ1ЦИХ 'ГЕЛ бесконечность, так что ее сечения ~ = сопэ1 представляют собой замкнутые пространственные поверхности; эти поверхности и являются горизонтом событий в том смысле, как это было описано для шварцшильдовой сферы в центрально-симметричном гравитационном поле. Такой же является и поверхность ЯГ р в поле Керра.
Действительно, условие попс = 0 для гиперповерхности вида у(г,д) = = сонэк в поле Керра имеет вид а ( ) +а (Ов) ' ГЬ(д ) + ( В) 1 О ~104'12) (6'" из (104.6)). Это уравнение не выполняется на Яо, но выполняется на Я„р (для которой д~/дд = О, Ь = 0). Продолжение метрики Керра внутрь поверхности горизонта (подобно тому, как это было показано в З102, 103 для метрики Шварцшильда) не имеет физического смысла. Такое продолжение зависело бы лишь от тех же двух параметров (т и а), ЧтО И ПОЛЕ ВНЕ Отер, И УжЕ ОтСЮДа ЯСНО, ЧтО ОНО НЕ МОГЛО бЫ иметь отношения к физической задаче о судьбе коллапсирующего тела после его ухода под горизонт.
Эффекты несферичности в сопутствующей системе отсчета отнюдь не затухают, а, напротив, должны нарастать при дальнейшем сжатии тела, и потому нет никаких оснований ожидать, чтобы поле под горизонтом могло определяться лишь полными массой и моментом тела') . Обратимся к свойствам поверхности оо и пространства между нею и горизонтом (эту область поля Керра называют эргосферой). Основное свойство эргосферы состоит в том, что никакая частица здесь не может оставаться в покое по отношению к системе отсчета удаленного наблюдателя: при г, й, 1р = сопэ$ имеем 11нэ ( О, т. е.
интервал не времениподобен, как это должно было бы быть для мировой линии частицы; переменная 1 теряет свой временной характер. Таким образом, жесткая система отсчета не может простираться от бесконечности внутрь эргосферы, и в этом смысле Яо можно назвать пределом стационарности. Характер движения, в котором должны находиться частицы в эргосфере, существенно отличается от того, что мы имели внутри горизонта в поле Шварцшильда. В последнем случае частицы тоже не могли покоиться относительно внешней системы отсчета, причем для них было невозможно т = сонэк: все частицы должны двигаться радиально по направлению к центру. В эрго- ) Математически эта ситуация проявляется в упомянутом уже нарушении принципа причинности при продолжении метрики Керра внутрь Я„„р.
437 ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС НЕСФЕРИ ВЕСКИХ ТЕЛ з 104 сфере же поля Керра для частицы невозможно ~р = сопвз (частицы непременно должны вращаться вокруг оси симметрии поля), но г = сонет для частицы возможно. Более того, частицы (и световые лучи) могут двигаться как с уменьшением, так и с увеличением г, выходя при этом из эргосферы во внешнее пространство. В соответствии с последним обстоятельством находится также и возможность достижения эргосферы частицей, приходящей из внешнего пространства: время достижения поверхности Яо такой частицей (или лучом света), отсчитываемое по часам з удаленного наблюдателя, конечно для всей со, за исключением лишь ее полюсов, в которых Яо касается Я„ор, время достижения этих точек, как и всей Я„ор, разумеется, по-прежнему бесконечно ') .
Ввиду неизбежности вращательного движения частиц в эрго- сфере есчественная форма представления метрики в этой области: з з2 дз = (йоо — — ') Г1Г +йы«1г +а22 дд +язз ~ГВр+ — Ж) . (104.13) Язв Яз 3 КОЭффициЕнт при Жз аоз Юоо язз гз + а + г га гйп В(р положителен везде вне Я„ор (и не обращается в нуль при Яо); интервал «Ь на г = сопз1, д = сопз$ Гйр = — (рдзз~зз)зй времени- подобен.
Величина (104.14) ,зз р~(г~+ аз) + г,г.з эзп'В играет роль общей «угловой скорости вращения эргосферы» относительно внешней системы отсчета (причем направление этого вращения совпадает с направлением вращения центрального тела) ') . ') Время достижения отдельных точек ое может оказаться бесконечным также и в частных случаях специальных значений энергии и момента импульса частицы, подобранных так, чтобы радиальная скорость обращалась в нуль в данной точке на Яс.
з) Обратим внимание на то, что интервалы собственного времени для частиц, движущихся вдоль границы эргосферы, не обращаются в нуль вместе с яес. В этом смысле ос не является поверхностью «бесконечного красного смещения»; частоты световых сигналов, посылаемых с нее движущимся источником (покоиться источник здесь вообще не может) и наблюдаемых удаленным наблюдателем, не обращаются в нуль. Напомним, что на шварцшильдовой сфере в центрально-симметричном поле вообще не могли находиться ни неподвижные, ни движущиеся источники (нулевая гиперповерхность не может содержать в себе времениподобных мировых линий).
«Бесконечное красное смещение» состояло в этом случае в стремлении к нулю при г -» г интеРвалов собственного вРемени ззг = ГпееМ (ПРИ заданном Ж), отсчитываемых по неподвижным относительно системы отсчета часам. 438 ГЛ. ХП ПОЛЕ ТЯГОТЕЮ1ЦИХ ТЕЛ Энергия частицы, определенная как производная — дЯ/дт от действия по собственному времени частицы т, синхронизованному вдоль траектории, всегда положительна (см, з 88). Но, как было объяснено в 888, при движении частицы в поле, не зависящем от переменной 1, сохраняется энергия 4>, определенная как производная — до/дг; эта величина совпадает с ковариантной компонентой 4-импульса ро = Гпио = т86111х' (здесь т масса частицы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
