II.-Теория-поля (1109679), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Важное свойство полученного решения состоит в том, что задание входящих в него произвольных функций в интервале от 0 до некоторого ЛО полностью определяет поведение сферы этого радиуса; оно не зависит от того, каким образом заданы эти функции при Л > ЛО. Тем самым автоматически получается решение внутренней задачи для любой конечной сферы. Полная масса шара дается, согласно (100.23), интегралом г(г,не) не пт = 4п ег~ Г1г = 4зг ег~г'г)РГ. Подставив сюда (103.11) и заметив, что Г(0) = 0 (при В = 0 должно быть и г = 0), найдем гк = г(ЛО) Г(Ле) 2е (103.12) (гк гравитационный радиус шара). При Р = сопв1 -~ 0 из (103.11) имеем е = О, так что решение относится к пустому пространству, т. е.
описывает поле точечной массы (находящейся в центре — особой точке метрики). Так, положив Р = гк, у" = О, то = А, получим метрику (102.3) ') . Формулы (103.8) — (103.10) описывают (в зависимости от пробегаемой параметром т) области значений) как сжатие, так и расширение шара; то и другое в равной степени допускаются самими по себе уравнениями поля. Реальной задаче о поведении неустойчивого массивного тела отвечает сжатие-- гравитационный коллапс. Решения (103.8) — (103.10) выписаны таким образом, что сжатие имеет место когда т, увеличиваясь, стремится к те.
моменту т = то()т) отвечает достижение центра веществом с заданной радиальной координатой А (при этом должно быть ТО ) О). Предельный характер метрики внутри шара при т — э тОЩ одинаков во всех трех случаях (103.8) — (103.10): (103.13) ') Случай же г' = 0 (причем из ПОЗ.7): г = АГ7(т — те)) соответствует отсутствию поля; надлежащим преобразованием переменных метрика может быть приведена к галилеевой. 426 Гл, хп ПОЛЕ ТЯГОТЕЮ1ЦИХ ТЕЛ Это значит, что все радиальные расстояния (в рассматриваемой сопутствующей системе отсчета) стремятся к бесконечности, а окружные — к нулю, причем все объемы тоже стремятся к нулю (как т — то) ') . соответственно этому плотность материи неограниченно возрастает '): 2гв 8л.йе = (103.14) 3Рто(то — т) ' Таким образом, в соответствии со сказанным в 3 102, происходит коллапс всего распределения материи в центр') .
В частном случае, когда функция те(11) = сопз$ (т.е. все частицы достигают центра одновременно), метрика внутри сжимающегося шара имеет другой характер. В этом случае 8яЫ = (103.15) 3(; — т)' ' т.е. при т -+ те все расстояния- — как окружные, так и радиальные — стремятся к нулю по одинаковому закону (те — т) 9,13, плотность материи стремится к бесконечности как (те — т) '~, причем в пределе ее распределение становится однородным. Обратим внимание на то, что во всех случаях момент прохождения поверхности коллапсирующего шара под шварцшильдову сфеРУ (г(т, 110) = гк) ничем не замечателен ДлЯ его внУтРенней динамики (описываемой метрикой в сопутствующей системе отсчета).
В каждый момент времени, однако, определенная часть шара уже находится под своим «горизонтом событий». Подобно тому, как г'(Ло) определяет, согласно (103.12), гравитационный радиус шара в целом, так г'(Л) для любого заданного значения Л есть гравитационный радиус части шара, расположенный 1 ) Геометрия на проходящей через центр «плоскости» при этом такая, которая была бы на конусообразной поверхности вращения, растягивающейся с течением времени по своим образующим и одновременно сжимающейся по всем своим окружностям. з) Тот факт, что в рассматриваемом решении коллапс возникает при любой массе шара — естественное следствие пренебрежения давлением. Разумеется, при е — 1 оо предположение о пылевидности вещества с физической точки зрения во всяком случае непригодно, и следует пользоваться ультрарелятивистским уравнением состояния р = е/3.
Оказывается, однако, что общий характер предельных законов сжатия в значительной степени не зависит от уравнения состояния материи (см. Е.М.Лифшиц, И.М.Халатников(! ЖЭТФ. 1960. Т. 39. С. 149). з ) Случай тв = сопвс включает в себя, в частности, и коллапс полносгью однородного шара-- см. задачу. ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС ПЫЛЕВИДНОЙ ОФЕРЫ 1ЮЗ под сферической поверхностью В = сопвФ; поэтому указанная часть шара определяется в каждый момент времени т условием г(т, Л) ( Е(Л).
Наконец, покажем, каким образом полученными формулами можно воспользоваться для решения поставленного в конце 3 102 вопроса:построения наиболее полной системы отсчета для поля точечной массы ') . Для достижения этой цели надо исходить из такой метрики в пустоте, которая содержала бы как сжимающуюся, так и расширяющуюся пространственно-временные области. Таковым является решение (103.9), в котором надо положить Р = сонэк = = гю Выбрав также получим г 1/И2 — = — ~ —, + 1) (1 — созО), Гв 2 гв 1 УНЯ А З!г — = — ~ —, + 1) (гг — и+ зшО); гх 2 Гх (103.16) до О, время т (при А В когда параметр и пробегает значения от 2х заданном Л) монотонно возрастает, а г возрастает от нуля, проходит через максимум и снова убывает до нуля.
На рис. 24 линии АСВ и А'С'В' отвечают точке г = 0 (им соответствуют значения параметра и = 2х и и = 0). Линии АОА' и ВОВ' отвечают шварцпшльдовой сфере Г = гю Между А'С'В' и А'ОВ' расположена пространственно-временная область, в которой возможно лишь движение от центра, а между АСВ и АО — область, в которой движение происходит лишь по направлению к центру. Мировая линия частицы, покоящейся относительно данной системы отсчета, вертикальная прямая (тс = сопз1). Она начинается от т = 0 (точка а), пересекает сферу Шварцшильда в точке 0, достигает ~ю А' / и' Рис.
24 ) Такая система была впервые найдена Крускалом (М. Кгивйа1> 1960) в других переменных (см. Раув. йеи. 1960. У. 119. Р. 1743). Приведенная ниже форма решения, в котором система отсчета синхронна, принадлежит И. Д, Новикову (1963). 428 ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ ГЛ. Хп в момент т = 0 наибольшего удаления (т = тк(ГГ2,1'тк2 + 1)), затем частица снова начинает падать к сфере П1варцшильда, пересекает ее в точке с и вновь достигает Г = 0 (точка с() в момент Лг ЗГ'2 .=" -( — ") Полученная система является полной; оба конца мировой линии всякой движущейся в поле частицы лежат либо на истинной особенности Г = О,либо уходят на бесконечность.
Не полная же метрика (102.3) охватывает собой только область правее линии АОА' (или левее ВОВ'), а такая же «расширяющаяся» система отсчета — область справа от ВОВ' (или слева от АОА'). Что же касается шварцшильдовой системы отсчета с метрикой (100.14), то она охватывает лишь область справа от ВОА' (или слева от АОВ'). Задачи 1. Найти решение внутренней задачи для гравитационного коллапса пылевидной однородной сферы, вещество которой в начальный момент покоится. Р е ш е н и е.
Положив та = сопвг, г' = — яп Л, Л = 2аез1п Л, получим т = ае эш Л(1 — соз П), т — те = ао(Ч вЂ” яп Ч) (1) (радиальная координата Л здесь безразмерна н пробегает значения от 0 до 2я), При этом плотность (3) ') Метрика (3) отвечает пространству постоянной положительной кривизны. Аналогичным образом, положив Г = ЕЬ~ Л, Г = 2аезЬ~ Л, поггучим решение, отвечающее пространству постоянной отрицательной кривизны (3 113). г г 6 (2) ае(1 — соз и) и при заданном т не зависит от Л, т. е.
шар однороден. Метрику (103.1) с т из (1) можно представить в виде сЬ~ = дт~ — а (т)(Г1ЛВ+ явг Л(а16~ + згп 011«1~)), а = ао(1 — сов п). Обратим внимание на то, что она совпадает с решением Фридмана для метрики мира, полностью заполненного однородной пылевидной материей (3112),— вполне естественный результат, поскольку сфера, вырезанная из однородного распределения материи, обладает центральной симметрией '). Поставленному начальному условию можно удовлетворить решением (1) с определенным выбором постоянных ае, те. Изменив здесь для удобства определение параметра (Π— 1 я — 11), представим решение в виде те з1ЕЛ те г = — (1+савв), т = (и+ япп), (4) 2 з1ЛЛе 2япЛе 429 ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС НЕСОЕГИ ВЕСКИХ ТЕЛ з 104 причем (согласно (103.12)) гравитационный радиус шара тг = те з1П Лс.
В начальный момент (т = О, и = 0) вещество покоится (т = 0), а 2'хте = = 2хт(0, Ле) — начальная длина окружности шара. Падение всего вещества в центр происходит в момент г = хтс1(2 тип Ло). Время 1 в системе отсчета удаленного наблюдателя (шварцшильдова система) связано с собственным временем на шаре т уравнением ~„г дт = (1 — — ~)Щ~— 1 — г 1г где под т надо понимать значение т(т, Ле), отвечающее поверхности шара. Интегрирование етого уравнения приводит к следующему выражению 1 в функции того же параметра гр — = 1п + сгйЛо ~П+ г (П+ зшп)~ (5) сея Ле — 1я (012) 2 сйп Ло (причем момент 1 = 0 отвечает моменту т = 0).
Прохождению поверхности шара через шварцшильдову сферу (т(т, Лс) = т ) отвечает значение параметра гб определяемое равенством гп тк соз — = — = зш Ло 2 то При приближении к атому значению время 4 — > со — в соответствии со сказанным в 5102') . й 104. Гравитационный коллапс несферическнх и вращающихся тел Все сказанное в двух предылущих параграфах в своем буквальном виде относилось к телам, строго сферически-симметричным. Простые соображения показывают, однако, что качественная картина гравитационного коллапса остается той же и для тел с малыми отклонениями от сферической симметрии (А. 1'. Дороигкевич, Я. Б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
