II.-Теория-поля (1109679), страница 80
Текст из файла (страница 80)
дх' О = Обратим внимание на то, что зти условия все еще не фиксируют вполне однозначного выбора системы отсчета. Легко убедиться в том, что если 6Гь удовлетворяют условиям (105.13), (105.14), то таким же условиям будут удовлетворять и Ь,'ь (105.5), если только С' удовлетворяют уравнениям (105.
15) Компонента Ьео должна даваться скалярным решением трехмерного уравнения Лапласа. Такое решение, пропорциональное 1(т, имеет, как известно, вид ахат), где а — постоянный век- Для тензора Риччи имеем с той же точностью: ьп ьп(О) Тчь = к ТмГВГА к ~нпГы (105.13) (105.14) 444 ГЛ. ХП ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ тор. Но член такого вида в Ьоо всегда может быть ликвидирован путем простого смещения начала координат в члене первого порядка по 1/г. Таким образом, наличие такого члена свидетельствовало бы лишь о неудачном выборе начала координат и потому не представляет интереса.
Компоненты Ьо даются векторным решением уравнения Лапласа, т.е. должны иметь вид д 1 Ьо =Л д~— л-, дхЛ Г' где Л д — постоянный тензор. Условие (105.14) дает "дх"дхЕ т откуда следует, что Л я должны иметь вида л+ЛО л, где а д— д 1 антисимметричный тензор. Но решение вида Л вЂ” может быть дх т исключено преобразованием (105.5) с Се = Л)т, Се = 0 (удовлетворяющими условию (105.15)). Поэтому реальным смыслом обладает лишь решение д 1 Ьое = ПОд дхЕ т Наконец, аналогичными, хотя и более громоздкими рассуждениями можно показать, что надлежащим преобразованием пространственных координат всегда можно исключить величины Ь л, даваемые тензорным (симметричным по ГГ, ф) решением уравнения Лапласа.
Что касается тензора а„я, то он связан с тензором полного момента М е, и окончательное выражение для Ьо„имеет вид Од 44Ф 2 (2) 2е д 1 2е ПЕ (105.16) Ое сз О дхе Г с Покажем это путем вычисления интеграла (96.17). Момент М л связан только с Ьо, и потому при вычислении все остальные компоненты Ьре можно считать отсутствующими. С точностью до членов первого порядка по Ьо имеем из (96.2), (96.3) (замечаем, что д'"о = — Ь'"о = Ь о, а — я отличается от 1 ли1пь на величины второго порядка): 4 д 4 Ь"од= ". ' (~"'~д -~ о~ д)= — " ' (Ь.од„— Ь„д.,). 16ЕЬ дхт 16ЯЬ дх' ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ВДАЛИ ОТ ТЕЛ з 105 При подстановке сюда (105.16) второй член под знаком произ- водной исчезает, а первый дает ~он с д' 1 с Зпен~ — г)е~ 8т дхздхт г 8т гз С помощью этого выражения находим, производя интегрирование в (96.17) по поверхности сферы радиуса г (1г17 = пчг 1(о): 2 — (х 56~ — хдЬ 07) ф = — —" ! (п.п,М,, — пеп7М.7)до = 1 2 (еа М67 567 Ма7) = Май.
а7 3 Аналогичное вычисление дает — Л ~да~ = — ' 1(5 0Ц~ — идеала.) = -'М.д. с 16тй / 3 615 = 615 + 51А + )21 (0) (Ц (2) (105.17) При этом, согласно (105.3), контравариантные компоненты с той же точностью равны 6 =6 ггй г1г(0) Аггь(1) )„гь(2) + Аг(1)5г1(1) (105.18) ') Если вращающееся тело имеет сферическую форму, то направление М остается единственным выделенным направлением для поля во всем пространстве вне тела. Если при етом поле слабо везде (а не только вдали от тела), то формула (105.16) справедлива во всем пространстве вне тела.
Эта формула остается справедливой во всем пространстве и в том случае, когда центрально-симметричная часть поля не является везде слабой, но сферическое тело вращается достаточно медленно — см. задачу 1. ) Преобразования (105.5) с б~ = О, с" = 8 (х', х,хз) не меняют Ье„. Поэтому выражение (105.16) не зависит от выбора координаты г. Складывая обе величины, получим требуемое значение М я. Подчеркнем, что в общем случае, когда поле вблизи тела может не быть слабым, Мад есть момент импульса тела вместе с гравитационным полем.
Лишь если поле слабо на всех расстогг яниях, его вкладом в момент можно пренебречь ) . Формулы (105.6), (105.7) и (105.16) решают поставленный вопрос с точностью до членов порядка 17т2') . Ковариантные компоненты метрического тензора: 446 Гл, хп ПОЛН ТЯГОТЕЮ1ЦИХ 'ГЕЛ Формула (105.16) может быть переписана в векторном виде как ') я = —,,(пМ], (105.19) где М вЂ” вектор полного момента тела. В задаче 1 688 было показано, что в стационарном гравитационном поле на частицу действует «кориолисова сила», такая же, какая действовала бы на частицу в системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью: Й = —. Яое го1 й.
2 Поэтому можно сказать, что в поле вращающегося тела на удаленную частицу действует кориолисова сила, отвечающая угловой скорости: й = — го1 и = —,, (М вЂ” Зп(Мп)]. (105.20) Наконец, применим выражения (105.6) для вычисления полной энергии гравитирующего тела по интегралу (96.16). Вычислив нужные коэффиценты 114е1 по формуле (96.2), (96.3), получим с требуемой точностью (оставляем члены 1/гз)1 й д 0 ОО с« д ОО д тсз д 4' Х"В х хд') тсз и 16лк дхв К К 3л дхл 1 т гз,1 4л гз Интегрируя теперь в (96.16) по сфере радиуса г, получим окончательно: Р =О, Р =тс (105.21) -- результат, который естественно было ожидать.
Он является выражением факта равенства, как говорят, «тяжелой» и «инертной» масс («1тяжелой» называют массу, определяющую создаваемое телом гравитационное поле, это та масса, которая входит в метрический тензор в гравитационном поле или, в частности, в закон Ньютона; «инертная» же масса определяет соотношение между импульсом и энергией тела и, в частности, энергия покоя тела равна этой его массе, умноженной на с2). В случае постоянного гравитационного поля оказывается возможным вывести простое выражение для полной энергии материи вместе с полем в виде интеграла только по пространству, ') С РассматРиваемой точностью вектоР х = — Яс 416»е — ка .
По той же причинен определениях векторного произведения и ротора (см.примеч.на с. 34Ц надо положить л = 1, так что их можно понимать в обычном для декартовых векторов смысле. э 105 ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ВДАЛИ ОТ ТЕЛ занятому материей. Получить его можно, например, исходя из следующего выражения, справедливого, когда все величины не зависят от х '): Л = ~ д.( ' — 3а' Г,,). (105.22) ч/ — 8 дт Интегрируя Л~~~( — д по (трехмерному) пространству и применив трехмерную теорему Гаусса, получим Взяв достаточно удаленную поверхность интегрирования и воспользовавшись на ней выражениями (105.6) для юы получим после простого вычисления: Лез/ — 3 с('и' = —,тп = —,Р . Г 0 4хй 4хй 0 с с Замечая также, что, согласно уравнениям поля, с получаем искомую формулу ,ю=тс=' /'(Тоо Т1 — Т2 — Тзз) à — ~сй; (105.23) с / Эта формула выражает полную энергию материи и постоянного гравитационного поля (т.е.
полную массу тела) через тензор энергии-импульса одной только материи (Л. То(тап, 1930). Напомним, что в случае центральной симметрии поля мы имели для той же величины еще и другое выражение-- формулу (100.23). ') Из (92.7) имеем о е, о. (дГ.е 77е = 8 *77*о = 8 '( ', + Г'еГ~ — Гп Ге ) д*' а с помощью (86.6) и (86.8) находим, что это выражение может быть написано как В3 = —;( à — 8 аш Г', ) + 8' Г' Г' ч/ — 8 дх* с помощью того же соотношения (86.8) легко убедиться в том, что второй 1, дк'- член справа тождественно равен — — Г~~ и вследствие независимости 2 дхе всех величин от х обращается в нуль.
Наконец, заменив по той же причине в первом члене суммирование по 1 суммированием по О, получим (106.22). 448 ГЛ. ХП ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ 'ГЕЛ Задачи 1. Показать, что формула (105.16) остается справедливой для поля во всем пространстве вне вращающегося сферического тела при условии медленности вращения (момент М «стпт ), но без требования слабости центрально-симметричной части поля (А. Г. Дорошкееич, Я.
В. Зельдович, И.Д. Новиков, 1965; В. Гуроеиж 1965). Р е ш е в и е. В сферических пространственных координатах (х' = т, х = д, х = го) формула (105.16) записывается как Ьов = 3 3!п д. 2ЬМ (1) тс Рассматривая эту величину как малую поправку к шварцшильдовой метрике (100.14), нодо проверить выполнение линеаризованного по Ьов уравнения Нов = 0 (в остальных уравнениях поля поправочные члены выпадают тождественно). Нов можно вычислить по формуле (4) из задачи к 395, причем линеаризация сводится к тому, что трехмерные тензорные операции должны производиться по «невозмущенной» метрике (100.15).
В результате получается уравнение твк дгЬов 2тв Гйпд д Г 1 дйов) (1 — — '), —;Ь, — ( 3 + 3 03+ т г' дтг тв т дд131пд дд которому выражение (1) действительно удовлетворяет. 2. Определить систематическое (вековое) смещение орбиты частицы, движущейся в поле центрального тела, связанное с вращением последнего (Х Ьепве, Н. ТЬгтгтпд, 1916). Р е ш е я и е. Ввиду малости всех релятивистских эффектов они накладываются друг на друга линейно, и при вычислении эффектов, происходящих от вращения центрального тела, можно пренебречь рассмотренным в 5 101 влиянием неиьютоиовости центрально-симметричного силового поля; другими словами, можно производить вычисления, считая из всех Ь,ь отличными от нуля лишь Ьо Ориентация классической орбиты частицы определяется двумя сохраняющимися векторами: моментом импульса частицы М = (гр) и вектором А= ~ — М)— сохранение которого специфично для ньютонова поля 33 = — Ьт ггт (т— масса центрального тела, гп — масса частицы); см.
1, 3 15. Вектор М перпендикулярен к плоскости орбиты, а вектор А направлен вдоль большой полуоси эллипса в сторону перигелия (и по величине равен Йтт е, где е— эксцентриситет орбиты). Искомое вековое смещение орбиты можно описывать как изменение направления этих векторов. Функция Лагранжа частицы, движущейся в поле (105.19): Ь = — тс — = Ьо+ 6В, 6В = топи = 3 (М'(иг)) дв 2Ьт 111 с т (момеит центрального тела обозначаем здесь через М' в отличие от момента частицы М). Отсюда функция Гамильтона (ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
