II.-Теория-поля (1109679), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Отсюда следует, в частности, что определитель д, составленный из величин я;ы в реальном пространстве-времени всегда отрицателен: (82.3) Изменение метрики пространства-времени означает также и изменение чисто пространственной метрики. Галилеевым я,ь в плоском пространстве-времени соответствует евклидова геометрия пространства. В гравитационном же поле геометрия пространства становится неевклидовой. Это относится как к еистинным» гравитационным полям, в которых пространство-время «искривлено», так и к полям, возникающим лишь от неинерциальности системы отсчета и сохраняющим пространство-время плоским.
Вопрос о пространственной геометрии в гравитационном поле будет рассмотрен более подробно в 8 84. Здесь же полезно приве- ') Во избежание недоразумений укажем, однако, уже сейчас, что выбор такой системы координат не означает еще исключения гравитационного поля в соответствующем бесконечно малом элементе 4-объема. Такое исключение, тоже всегда возможное в силу принципа эквивалентности, означает нечто большее (см, г 87). З 82 ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ В РЕЛЯТИВИОТОКОЙ МЕХАНИКЕ 309 сти простое рассуждение, наглядно иллюстрирующее неизбежность возникновения неевклидовости пространства при переходе к неинерциальной системе отсчета.
Рассмотрим две системы отсчета, из которых одна (Л) инерциальна, а другая (Л') равномерно вращается относительно Л вокруг общей оси ж Окружность в плоскости ту системы Л (с центром в начале координат) может рассматриваться и как окружность в плоскости х'у' системы Л'. Измеряя длину окружности и ее диаметр масштабной линейкой в системе К, мы получим значения, отношение которых равно я, в соответствии с евклидовостью геометрии в инерциальной системе отсчета. Пусть теперь измерение производится неподвижным относительно Л' масштабом. Наблюдая за этим процессом из системы Л, мы найдем, что масштаб, приложенный вдоль окружности, претерпевает лоренцево сокращение, а радиально приложенный масштаб не меняется. Ясно поэтому, что отношение длины окружности к ее диаметру, полученное в результате такого измерения, окажется больше я. В общем случае произвольного переменного гравитационного поля метрика пространства не только неевклидова, но еще и меняется со временем.
Это значит, что меняются со временем соотношения между различными геометрическими расстояниями. В результате взаимное расположение внесенных в поле япробных частиц» ни в какой системе координат не может оставаться неизменным ') . Так, если частицы расположены вдоль какой-либо окружности и вдоль ее диаметра, то поскольку отношение длины окружности к длине диаметра не равно я и меняется со временем, ясно,что если расстояния частиц вдоль диаметра остаются неизменными, то должны изменяться расстояния вдоль окружности, и наоборот.
Таким образом, в общей теории относительности, вообще говоря, невозможна взаимная неподвижность системы тел. Это обстоятельство существенно меняет само понятие системы отсчета в общей теории относительности по сравнению с тем смыслом, который оно имело в специальной теории.
В последней под системой отсчета понималась совокупность покоящихся друг относительно друга, неизменным образом взаимно расположенных тел. При наличии переменного гравитационного поля таких систем тел не существует и для точного определения положения частицы в пространстве необходимо, строго говоря, ') Строго говоря, число частиц должно быть больше четырех. Поскольку из шести отрезков между четырьмя частицами можно построить четырехграниик, то должным определением системы отсчета всегда можно добиться того, чтобы система четырех частиц образовывала в ней неизменный четырехграиник.
Тем более, можно определить взаимную неподвижность в системах трех или двух частиц. 316 1АОТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ГЛ. Х иметь совокупность бесконечного числа тел, заполняющих все пространство, наподобие некоторой «средыь. Такая система тел вместе со связанными с каждым из них произвольным образом идущими часами и является системой отсчета в общей теории относительности. В связи с произвольностью выбора системы отсчета законы природы должны записываться в общей теории относительности в виде, формально пригодном в любой четырехмерной системе координат (или, как говорят, в ковариантном виде). Это обстоятельство, однако, разумеется не означает физической эквивалентности всех этих систем отсчета (подобной физической эквивалентности всех инерциальных систем отсчета в специальной теории). Напротив, конкретный вид физических явлений, в том числе свойства движения тел, во всех системах отсчета становится различным.
й 83. Криволинейные координаты Поскольку при изучении гравитационных полей приходится рассматривать явления в произвольных системах отсчета, то возникает необходимость развить четырехмерную геометрию в форме, пригодной в произвольных координатах. Этому посвящены ~ 83, 85, 86. Рассмотрим преобразование одной системы координат хо, х1, хх, хз в другую х'О, х'1, х'з, х'з: 1 У1( /О и /2 /3) дх* рь дх'" (83.1) Контра вариантным 4-вектором называется всякая совокупность четырех величин А', которые при преобразовании координат преобразуются как их дифференциалы: дх* ~ь дх'" (83.2) Пусть у — некоторый скаляр.
Производные д~о,1дх1 при преобразовании координат преобразуются согласно формулам дх дх дх'А дх' дх'" дх' ' (83.3) где ~' — некоторые функции. При преобразовании координат их дифференциалы преобразуются согласно формулам зп з 83 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ отличным от формул (83.2). Коварианглным 4-вектором называется всякая совокупность четырех величин А,, которые при преобразовании координат преобразуются как производные от (83.4) Аналогичным образом определяются 4-тензоры различных рангов.
Так, контравариантным 4-тензором 2-го ранга Аей называется совокупность 16 величин, преобразующихся как произведения двух контравариантных векторов,т.е.по закону (83. 5) дхл дх' Ковариантный тензор 2-го ранга А;ь преобразуется по закону дхл дх' (83. 6) дх' дх" а смешанный 4-тензор А'ь -- по формулам рз дх' дх 14 дхл дх" (83.
7) Данные определения являются естественным обобщением определений 4-векторов и 4-тензоров в галилеевых координатах Яб), согласно которым дифференциалы дх' тоже составляют контравариантный, а производные д~р/дх' -- ковариантный 4-вектор ') . Правила образования 4-тензоров путем перемножения или упрощения произведений других 4-тензоров остаются в криволинейных координатах теми же, что и в галилеевых координатах. Легко, например, убедиться в том, что в силу законов преобразования (83.2) и (83.4) скалярное произведение двух 4-векторов А'В; действительно инвариантно: А*В, = ',* '*, А'В,' = '*, А"В' = А'В'. дл д*. ~в дл гв Определение единичного 4-тензора Бьг при переходе к криволинейным координатам не меняется: его компоненты снова б', = = 0 при г ф )с, а при г = к равны 1. Если А" --4-вектор, то при умножении на оь мы получим А~Я = А', ) Но в то время как в галилеевой системе координат сами координаты х' (а не только их дифференциалы) тоже составляют 4-вектор, в криволинейных координатах зто, разумеется, не имеет места.
312 гАОтицА В ГРАВитАциОннОм пОле ГЛ. Х т. е. снова 4-вектор; этим и доказывается, что Б~ является тензором. Квадрат элемента длины в криволинейных координатах есть квадратичная форма дифференциалов г4л'. — аггйгг~ (83.8) где йгь — фУнкции кооРдинат, симметРичных по индексам 4 и Й: 8ггь Зйо (83.9) Поскольку произведение (упрощенное) 8гь на контравариантный тензор г4х'с1х есть скаляр, то ай составляют ковариантный тензор; он называется метрическим тензором. Два тензора Агй и В'ь называются обратными друг другу, если А Вы=о,'.
ггй В частности, контравариантным метрическим тензором 8."~ на- зываетсЯ тензоР, обРатный тензоРУ 81ы т. е. Ы ф (83.10) Одна и та же векторная физическая величина может быть представлена как в контра-, так и в ковариантных компонентах. Очевидно, что единственными величинами, которые могут определять связь между теми и другими, являются компоненты метрического тензора.
Такая связь дается формулами А' = д™Аы А; = 81АА~. (83.11) В галилеевой системе координат метрический тензор имеет компоненты: 1 О О О О О 1 О ® 12) (о) гцо> Π— 1 ΠΠΠΠΠ— 1 Формулы (83.11) дают известную связь АО=АО, А1 ~ з= — Аг я 3 ) . Сказанное относится и к тензорам. Переход между различными формами одного и того же физического тензора совершается с помощью метрического тензора по формулам А'ь = днАни Агй = 8з~д" Аг и т.п. ) Везде, где при проведении аналогии мы пользуемся галилеевой системой координат, надо иметь в виду, что такую систему можно выбрать только в плоском 4-пространстве. В случае же кривого 4-простраиства надо было бы говорить о системе координат, галилеевой в данном бесконечно малом элементе 4-объема, которую всегда можно выбрать. Все выводы от этого уточнения не меняются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
