I.-Механика (1109678), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Тогда уравнение движения частицы ') тх = — — +1. (30.2) г1х Из характера действующего на частицу поля заранее ясно, что ее движение будет представлять собой перемещение вдоль некоторой плавной траектории с одновременными малыми осцилляциями (с частотой и») вокруг нее. Соответственно этому представим функцию х(г) в виде суммы х(г) = Х(г) + 5,(1), (30.3) где х(~) представляет собой указанные малые осцилляции. Среднее значение функции х(г) за время ее периода 271»'со обращается в нуль, функция же Х(г) за это время меняется очень мало. Обозначая такое усреднение чертой над буквой, имеем: х = Х(г), т.е. функция Х(1) описывает усредненное по быстрым осцилляциям «плавное» движение частицы.
Выведем уравнение, определяющее эту функцию '). Подставляя (30.3) в (30.2) и разлагая по степеням ц с точностью до членов первого порядка, получим тХ + тц = — — — 5,, + 1'(Х»1) + 5 —. (30.4) В этом уравнении фигурируют члены различного характера —. осциллирующие и «плавные»; они должны, очевидно, взаимно сокращаться в каждой из этих двух групп в отдельности. Для осциллирующих членов достаточно написать тц = ('(Х,1), (30.5) остальные содержат малый множитель ц и потому малы по сравнению с написанными (что касается производной с, то она пропорциональна большой величине п»2 и потому не мала).
Интегрируя уравнение (30.5) с функцией ( из (30.1) (при этом величина Х рассматривается как постоянная), получим ') Координата х — не обязательно декартова, а коэффициент т соответственно не обязательно есть масса частицы и не обязательно постоянен, как это предположено в (30»2). Такое предположение, однако, не отражается на окончательном результате (см. ниже). ) Идея излагаемого ниже метода принадлежит П. Л. Капице (195П. 126 Гл. ч МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ (30.6) Усредним теперь уравнение (30.4) по времени (в указанном выше смысле). Поскольку средние значения первых степеней у и д обращаются в нуль, получим уравнение тХ = — — +с,— = — —— ог7 ду ЯУ 1 ду ИХ дХ дХ тщз дХ ' содержащее уже только функцию Х(г). Перепишем его окончательно в виде тХ =— (30.7) где «эффективная потенциальная энергия» определяется следующим образом '): ~эф = +,,У' = +,, (Л'+ ©.
(30.8) Сравнивая это выражение с (30.6), легко видеть, что дополнительный (по отношению к полю П) член представляет собой не что иное, как среднюю кинетическую энергию осцилляционного движения: у гг + ™ ~2 2 (30.9) Таким образом, усредненное по осцилляциям движение частицы происходит так, как если бы, помимо постоянного поля б7, действовало еще и дополнительное постоянное поле, квадратично зависящее от амплитуды переменного поля.
Полученный результат может быть легко обобщен на случай системы с любым числом степеней свободы, описываемой обобщенными координатами д,. Для эффективной потенциальной энергии получается (вместо (30.8)) выражение бгэф = О +, ~1 а, ~11уь = 17+ ~~1 — еьЩЫ (30.10) ьв ьв где величины а,„(вообще говоря, функции координат) эле- -1 менты матрицы, обратной матрице коэффициентов агь в кинетической энергии системы (см. (5.5)). ') Произведя несколько более длинные вычисления при зависящей от х величине т, легко убедиться в том, что формулы (30.7),(30.6) остаются справедливыми и в этом случае. 1 30 ДВИЖЕНИЕ В БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩЕМ ПОЛЕ 127 Задачи 1.
Определить положения устойчивого равновесия маятника, точка подвеса которого совершает вертикальные колебания с большой частотой у(у)) АУ~) Р е ш е н и е. Из полученной в задаче 3, в) 3 5 функции Лагранжа видно, что в данном случае переменная сила 7 = — т1ау сов уг в1пеэ (в качестве величины т выбран угол е»). Поэтому чэффективная потенциальная энергия» а У ° 2 Ь» ь = тя( ( — сов 4» + в1п»р) . 43( Положения устойчивого равновесия отвечают минимуму этой функции. Направление вертикально вниз (ч» = 0) всегда устойчиво. При выполнении условия а'у >2я( устойчивым является также положение вертикально вверх (»р = л).
2. То же для маятника с горизонтально колеблющейся точкой подвеса. Р е ш е н и е. По полученной в задаче 3, б) В 5 функции Лагранжа находим у = т1ау оазисов <р и затем 2 ау П.а = т31 [-сове»+ сов е»] . 4к( Если а~'у~ < 2я(, то устойчиво положение <р = О. Если же а~'у~ > 2я), то устойчивому равновесию отвечает значение 2к( сове» = азов ' ГЛАВА У1 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА $ 31. Угловая скорость В механике твердое тело можно определить как систему материальных точек, расстояния между которыми неизменны.
Реально существующие в природе системы могут, конечно, удовлетворять этому условию лишь приближенно. Но большинство твердых тел в обычных условиях так мало изменяет свою форму и размеры, что при изучении законов движения твердого тела, рассматриваемого как нечто целое, можно вполне отвлечься от этих изменений. В дальнейшем изложении мы будем часто рассматривать твердое тело как дискретную совокупность материальных точек, чем достигается некоторое упрощение выводов. Это, однако, ни в какой степени не противоречит тому обстоятельству, что в действительности твердые тела можно обычно рассматривать в механике как сплошные, совершенно не интересуясь их внутренней структурой.
Переход от формул, содержащих суммирование по дискретным точкам, к формулам для сплошного тела осуществляется просто заменой масс частиц на массу р Л, заключенную в элементе объема Л1 (р — - плотность массы), и интегрированием по всему объему тела. Для описания движения твердого тела введем две системы координат: «неподвижную», т.е.
инерциальную систему ХУЯ, и движущуюся систему координат х1 = х, хз = у, хз = х, которая предполагается жестко связанной с твердым телом и участвующей во всех его движениях. Начало движущейся системы координат удобно совместить с центром инерции тела. Положение твердого тела относительно неподвижной системы координат вполне определяется заданием положения движущейся системы. Пусть радиус-вектор К указывает положение начала О движущейся системы (рис. 35). Ориентация же осей этой системы относительно неподвижной определяется тре- УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ 129 мя независимыми углами, так что вместе с тремя компонентами вектора В. мы имеем всего шесть координат.
Таким образом, всякое твердое тело представляет я собой механическую систему хз с шестью степенями свободы. Рассмотрим произвольное с2 бесконечно малое перемещение твердого тела. Его мож- 0 но представить в виде суммы двух частей. Одна из них есть К бесконечно малый параллельный перенос тела, в результате которого центр инерции Х переходит из начального по- Рис. 35 ложения в конечное при неизменной ориентации осей подвижной системы координат.
Вторая — бесконечно малый поворот вокруг центра инерции, в результате которого твердое тело приходит в конечное положение. Обозначим радиус-вектор произвольной точки Р твердого тела в подвижной системе координат через г, а радиус-вектор той же точки в неподвижной системе через к Тогда бесконечно малое смещение Ж точки Р складывается из перемещения дй.
вместе с центром инерции и перемещения [Йр г] относительно последнего прн повороте на бесконечно малый угол сйр (см. (9.1)): дг = сИ+ [йр ° т]. Разделив зто равенство на время сй, в течение которого произошло рассматриваемое перемещение, и введя скорости [31.1) получим соотношение между ними у = 'Ч+ [Йг]. (31.2) Вектор Ч есть скорость центра инерции твердого тела; ее называют также скоростью его поступательного движения; вектор Й угловая скорость вращения твердого тела; его направление (как и направление Йш) совпадает с направлением оси вращения.
Таким образом, скорость у любой точки тела (относительно неподвижной системы координат) может быть выражена через поступательную скорость тела и угловую скорость его вращения. 130 ГЛ. У1 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА Следует подчеркнуть, что при выводе формулы (31.2) специфические свойства начала координат как центра инерции тела совершенно не были использованы. Преимущества этого выбора выяснятся лишь позже при вычислении энергии движущегося тела.
Допустим теперь, что жестко связанная с твердым телом система координат выбрана так, что ее начало находится не в центре инерции О, а в некоторой точке О' на расстоянии а от точки О. Скорость перемещения начала О' этой системы обозначим через Ч', а угловую скорость ее вращения через Й'. Рассмотрим снова какую-либо точку Р твердого тела и обозначим ее радиус-вектор относительно начала О через г'. Тогда г = г' + а и подстановка в (31.2) дает ч = Ъ'+~Йа] + ~Йг'1. С другой стороны, по определению У' и Й', должно быть и = = "т" + ~Й'г'). Поэтому мы приходим к выводу, что 'Ч' = Ч+[Йа), Й' = Й. (31.3) Второе из этих равенств весьма существенно.
Мы видим, что угловая скорость, с которой в каждый данный момент времени вращается жестко связанная с телом система координат, оказывается совершенно не зависящей от этой системы. Все такие системы вращаются в заданный момент времени вокруг параллельных друг другу осей с одинаковой по абсолютной величине скоростью Й. Это обстоятельство и дает нам право называть Й угловой скоростью вращения твердого тела как такового. Скорость же поступательного движения такого «абсолютного» характера отнюдь не имеет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
