I.-Механика (1109678), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Как и в полной силе г, в сумме (34.4) фактически должны учитываться лишь внешние силы; в соответствии с законом сохранения момента импульса сумма моментов всех сил, действующих внутри замкнутой системы, должна обращаться в нуль. Момент силы, как и момент импульса, зависит, вообще говоря, от выбора начала координат, относительно которого он определен. В (34.3), (34.4) моменты определяются относительно центра инерции тела.
При переносе начала координат на расстояние а новые радиус-векторы г' точек тела связаны со старыми г через г = г' + а. Поэтому ЭЙЛЕРОВЫ УГЛЫ 145 —" = — — '" = к. д~р б~р Предположим, что векторы Р и К взаимно перпендикулярны. В этом случае всегда можно найти такой вектор а, чтобы в формуле (34.5) К' обратилось в нуль, так что будет; К = ~аР]. (34.7) При этом выбор а неоднозначен: прибавление к нему любого вектора, параллельного Р, не изменит равенства (34.7), так что условие К' = О даст не определенную точку в подвижной системе координат, а лишь определенную прямую линию.
Таким образом, при К ) Р действие всех приложенных к нему сил может быть сведено к одной силе Р, действующей вдоль определенной прямой линии. Таков, в частности, случай однородного силового поля, в котором действующая на материальную точку сила имеет вид 4' = еЕ, где Š— постоянный вектор, характеризующий поле, а величина е характеризует свойства частицы по отношению к данному полю '). В этом случае имеем Р = Е~е, К = [);ег Е]. Предполагая, что ), е ~ О, введем радиус-вектор го, определенный согласно ег го (34.8) Тогда мы получим следующее простое выражение для полного момента сил: (34.9) К = ~гоР].
Таким образом, при движении твердого тела в однородном поле влияние поля сводится к действию одной силы Р, еприложеннойь в точке с радиус-вектором (34.8). Положение этой точки всецело определяется свойствами самого тела; в поле тяжести, например, она совпадает с центром инерции тела. $ 35. Эйлеровы углы Как уже указывалось, для описания движения твердого тела можно пользоваться тремя координатами его центра инерции и какими-либо тремя углами, определяющими ориентацию осей ') Так, в однородном электрическом поле Е есть напряженность поля, а е — заряд частицы. В однородном поле тяжести Е есть ускорение свободного падения я, а е — масса частицы нь 146 ГЛ.
У1 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА хс, х2, хз движущейся системы координат относительно неподвижной системы Х, у, ю. В качестве этих углов часто оказываются удобными так называемые эйлеровъс углъс. ср хг Так как нас сейчас интересухз сг ют только углы между осями ко- .е ординат, мы выберем начала обе- 1. л их систем в одной точке (рис. 47).
О, — у Подвижная плоскость хсх2 перес ф хс с ср секает неподвижную Ху по некоторой прямой (ОсУ на рис. 47), которую называют линией узлов. Эта линия, очевидно, перпендикуРис. 47 лярва как к оси Я, так и к оси хз; ее положительное направление выберем так, чтобы оно соответствовало направлению векторного произведения ,'яхз] (где г, хз оРты в напРавлении осей Я и хз). В качестве величин, определяющих положение осей хс, х2, хз относительно осей Х, У, Я, примем следующие углы: угол О между осями Я и хз, угол ср между осями Х и М, угол ф между осями )17 и хс. Углы ср и фотсчитываются в направлениях, определяемых правилом винта, соответственно вокруг осей ю и хэ.
Угол 0 пробегает значения от нуля до и, а углы ср и ф — от нуля до 2п '). Выразим теперь компоненты вектора угловой скорости а1 по подвижным осям х1, х2, хз через эйлеровы углы и их производные. Для этого надо спроецировать на эти оси угловые скорости О, ф, ф. Угловая скорость О направлена по линии узлов 0)17 и ее составляющие по осям хс, х2, хз равны: 01 = О совф, 02 = — О 81пф, 08 =О. Угловая скорость ф направлена вдоль оси ю; ее проекция на ось хз равна фз = ф сов 0, а проекция на плоскость х1х2 равна ф 81п О. Разлагая последнюю на составляющие по осям х1 и х2, получим ср1 = ср зги О вспф) ср2 = ср зп10 со8ф.
Наконец, угловая скорость 'ф направлена по оси хз. 11 ) Углы В и ср — псс2 представляют собой соответственно полярный угол и азимут направления хз по отношению к осям Х, У, Я. В то же время В и и/2 — с)с являются соответственно полярным углом и азимутом направления Е по отношению к осям хс, хю хз. ЭЙЛЕРОВЫ УГЛЫ 147 1 зз Собирая все эти составляющие по каждой из осей, получим окончательно: йз = ф япО япгг+ Осозф, йз = ф ззп О сов1ф О зшф~ (35.1) йз = ф сов 9+ ф.
Коли оси хз, хз, хз выбраны по главным осям инерции твердого тела, то вращательную кинетическую энергию, выраженную через эйлеровы углы, мы получим подстановкой (10) в (32.8). Для симметрического волчка, у которого 1з = 1з ~ 1з, найдем после простого приведения: Тр — — '(ф~ яп 9 + 9 ) + — '(ф соз 9 + ф) ~. (35.2) Заметим, что это выражение можно получить и проще, воспользовавшись производительностью выбора направлений главных осей инерции хы хз у симметрического волчка. Считая, что ось хз совпадает с осью узлов ОХ, т.е. что ~ф = О, будем иметь для составляющих угловой скорости более простые выражения йз = О, йз = фяп9, йз = фсовО+ ф. (35.3) В качестве простого примера применения эйлеровых углов определим с их помощью известное уже нам свободное движение симметрического волчка. Выберем ось Я неподвижной системы координат в направлении постоянного момента волчка М. Ось хз подвижной системы направлена по оси волчка, а ось хг пусть совпадает в данный момент времени с осью узлов.
Тогда для компонент вектора М находим с помощью формул (35.3): Мз = 1зйз = 1зО, Мз = 1зйз = 1з~ряпО, Мз = 1зйз = 1з(ф соз О + ~Ф). С другой стороны, поскольку ось хз (линия узлов) перпендикулярна к оси Я, имеем Мз = О, Мз = Мяпд, Мз = МсозО. Приравнивая друг другу эти выражения, получим следующие уравнения: 9 = О, 1зф = М, 1з(фсоз9+ф) = МсозО.
(35.4) Первое из этих уравнений дает О = сопзФ, т.е.постоянство угла наклона оси волчка к направлению М. Второе определяет (в согласии с (33.5)) угловую скорость прецессии ф = М/1ы 148 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ГЛ. У1 Задачи 1. Привести к квадратурам задачу о движении тяжелого симметрического волчка с неподвижной нижней точкой (рис. 48).
Р е ш е и и е. Совместное начало подвижной и неподвижной систем координат выбираем в неподвижной точке волчка О, а ось Я направляем по вертикали (рис. 48). Функция Лагранжа волчка в поле тяжести 2 1з ' . г + — (ф+ фсояв) — цфсояв 2 (р масса волчка, 1 расстояние от нижней точки до центра инерции). Координаты ф и <р — циклические. Поэтому имеем два интеграла движения; Рис. 48 дЬ рэ = —.
= 1з(ф + ф соя 8) = сопяс = Мз, (1) дф р = — = (1, язп В + 1з соя 8) ф + 1зг)г соя В = сопяз = М„(2) з г г дф где введено обозначение 1г = 1г + р1 (величины рэ и рт представляют собой составляющие вращательного момента, определенного относительно точки О, соответственно по осям хз и Я). Кроме того, сохраняется энергия 1з Е = — ~(О~+ фгя1п 8) + — (ф+ фсовв) + Зг81сояв. 2 2 (8) Из уравнений (1) и (2) находим ̄— Мз соя В ф= 1,'зш В Мз М, — МзсояВ ф= — — .В 1, 1(яш'В Исключив с помощью этих равенств ф и ф из энергии (3), получим (4) Е В +Гу,ф(8), где введены обозначения Мз г Е =Š— — — ц81, 21з (М вЂ” М Ог 1~ш Наконец, третье определяет угловую скорость вращения волчка вокруг собственной оси йз = М соя О/18.
ЭЙЛЕРОВЫ УГЛЫ 149 Определяя отсюда В и разделяя переменные, получим 48 —, (Е' — (7,ф (0) ) 11 (7) (интегрвл — эллиптический). После этого углы <Р и ф выражэлотся как функции от 0 в виде квадратур с помощью уравнений (4), (5). Область изменения угла 0 при движении определяется условием Е' > 3 Р, 9(8). Функция Р, й(0) (при Мз ~ М,) стремится к +со при значениях 0 = 0 и В = 'л, а в промежут- кЕ между ними проходит через минимум. Поэтому урав- Вг В В, пение Ь = (7,ф(0) имеет два В з 0 1 корня, определяющих предельные углы Вз и Вг наклона оси волчка к вертикали.
При изменении угла В от Вз до Вг знак производной ф остается неизменным или меняется, смотря по тому, оста- Рис. 49 ется ли неизменным или меняется в этом интервале знак разности ̄— Мз сов В. В первом случае ось волчка прецессирует вокруг вертикали монотонно, одновременно совершая колебания (так называемую нутацию) вверх н вниз (рис. 49 а; линия изображает след, который ось волчка чертила бы на поверхности сферы с центром в неподвижной точке волчка).
Во втором случае направление прецесии противоположно на двух граничных окружностях, так что ось волчка перемещается вокруг вертикали, описывая ветли (рис. 49 б). Наконец, если одно из значений Вм Вг совпадает с нулем, разности М, — Мз соэВ на соответствующей предельной окружности ф и В одновременно обршцаются в нуль, так что ось волчка описывает траекторию изображенного на рис. 49 е типа. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
