I.-Механика (1109678), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Напротив, если свойства поверхности допускают лишь чистое качение тел без скольжения, а трением при качении можно пренебречь, то поверхности называют абсолютно шероховатыми. В обоих случаях силы трения не фигурируют явным образом в задаче о движении тел, и потому задача является чисто механической. Если же конкретные свойства трения существенны для движения, то последнее не является уже чисто механическим процессом (ср. З 25). Соприкосновение тел уменьшает число их степеней свободы по сравнению с тем, которым они обладали бы при свободном движении. До сих пор при рассмотрении такого рода задач мы учитывали это обстоятельство путем введения координат, непосредственно соответствующих реальному числу степеней свободы. При качении тел, однако, такой выбор координат может оказаться невозможным.
Условие, накладываемое на движение тел при качении, заключается в равенстве скоростей соприкасающихся точек (так, при качении тела по неподвижной поверхности скорость точки соприкосновения должна быть равна нулю). В общем случае такое условие выражается уравнениями связи вида са4г = О, г где с; функции только координат (индекс сс нумерует уравнения связей). Если левые части равенства не являются полными производными по времени каких-либо функций координат, то эти уравнения не могут быть проинтегрированы. Другими словами, они не сведутся к соотношениям между одними только координатами, которыми можно было бы воспользоваться для СОПРИКОСНОВЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 1бз з 38 того, чтобы выразить положение тел через меньшее число координат в соответствии с реальным числом степеней свободы. Такие связи называют неголономными (в противоположность голономным, связывающим лишь координаты системы).
Рассмотрим, например, качение шара по плоской поверхности. Как обычно, обозначим через зу скорость поступательного движения (скорость центра шара), а через Й вЂ” угловую скорость вращения его. Скорость точки касания шара с плоскостью получится, если положить г = — ап в общей формуле и = Ч+ ~йг) (а радиус шара, п единичный вектор нормали к плоскости качения в точке соприкосновения). Искомая связь представляет собой условие отсутствия скольжения в точке касания,т.е.
дается уравнением и — а[йп] = О. (38.3) Оно не может быть проинтегрировано: хотя скорость Ч представляет собой полную производную по времени от радиус-вектора центра шара, но зато угловая скорость не является в общем случае полной производной каких-либо координат.
Таким образом, связь (38.3) неголономна '). Поскольку уравнения неголономных связей нельзя использовать для уменьшения числа координат, то при наличии таких связей неизбежно приходится пользоваться координатами, которые не все независимы. Для составления соответствующих уравнений Лагранжа снова вернемся к принципу наименьшего действия. Наличие связей вида (38.2) налагает определенные ограничения на возможные значения вариаций координат.
Именно, умножив эти уравнения на й, мы найдем, что вариации бш не независимы, а связаны соотношениями 2;с„,бд, = О. (38.4) г Это обстоятельство должно быть учтено при варьировании действия. Согласно общему методу Лагранжа для нахождения условных экстремумов, надо к подынтегральному выражению вариации действия ') Заметим, что такая же связь для качения цилиндра была бы голономной. В этом случае ось вращения сохраняет при качении постоянное направление в пространстве,и потому й = Йр/Ж является полной производной от угла поворота <р цилиндра вокруг своей оси. Соотношение (38.3) при этом интегрируется и дает связь между координатой центра инерции и углом ез.
164 ГЛ. У1 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА (ж Гж) прибавить умноженные на неопределенные множители (функции координат) Ла уравнения (38.4), после чего потребовать обращения интеграла в нуль. При этом можно уже считать все вариации бд; независимыми, и мы получим уравнения ~ ~~ — ~'~ = 2,'Л„с,. (38.5) Вместе с уравнениями связей (38.2) они составляют полную систему уравнений для неизвестных величин гл и Л„. В изложенном методе силы реакции вообще не фигурируют; соприкосновение тел целиком учитывается уравнениями связей. Существует, однако, и другой метод составления уравнений движения соприкасающихся тел, в котором силы реакции вводятся явным образом.
Сущность этого метода (составляющего содержание так называемого приниипа дгАламбера) состоит в том, что для каждого из соприкасающихся тел ггишутся уравнения †"„ = ~- Г, "„ = ~- [г4], (38.6) причем в число действующих на тело сил у включаются также и силы реакции; эти силы заранее неизвестны и сами определяются вместе с движением тела в результате решения уравнений. Этот метод в равной степени применим как при голономных, так и при неголономных связях. Задачи 1.
Пользуясь принципом д'Аламбера, найти уравнения движения однородного шара, катящегося по плоскости под действием приложенных к нему внешней силы Р и момента сил К. Р е ш е н и е. Уравнение связи (38.3) написано уже в тексте. Вводя силу реакции (обозначим ее буквой В.), приложенную в точке касания шара с плоскостью, напишем уравнения (38.6); ц — =Р+В., ИЪ' ги (1) 1 — = К вЂ” а(пК] йй ач (2) (здесь учтено, что Р = ц1г и что для шарового волчка М = Л1).
Дифференцируя уравнение связи (38.3) по времени, получим т' = а[йп]. 5 38 СОПРИКОСНОВЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 165 Подставив в уравнение (1) и исключая й с помощью (2), найдем уравнение 1 — (Р + Н.) = (Кп) — ай. + ап(пН), ар связывающее силу реакции с Г и К. Расписав зто уравнение в компонентах и подставив 1 = (2/5)ра (см. задачу 2 б) 3 32), будем иметь 5 2 5 2 7а " 7 ' " 7а 7 (плоскость ху выбрана в плоскости качения). Наконец, подставив эти выражения в (Ц,получим уравнения движения, содержащие уже только заданные внешние силу и момент: Компоненты Ню й„угловой скорости выражаются через И и Ув с помощью уравнения связи (38.3), а для Н, имеем уравнение 2 вАП, — ра =К, С 5 А1 С (з — компонента уравнения (2)).
2. Однородный стержень ВЮ весом Р и длиной 1 опирается на стену, как показано на рис. 52; его нижний конец В удерживается нитью АВ. Определить реакцию опор и натяжение нити. 14' Р е ш е н и е. Вес стержня представляется при- Ф ложенной к его середине силой Р, направленной верэ Лв тикальио вниз. Силы реакции Лв и Лс направлены соответственно вертикально вверх и перпендикуляр- Т но к стержню; натяжение нити Т направлено от В к А. Решение уравнений равновесия дает В Рис.
52 Лс = — вш2сс, Лв = Р— Лсв1пщ Т = Лс сова. 45 3. Стержень АВ весом Р опирается своими концами на горизонтальную и вертикальную плоскости (рис. 53) и удержива- В Л в ется в этом положении двумя Т горизонтальными ннтямн АВ А и ВС: нить ВС находится в одной (вертикальной) плоскости ц В со стержнем АВ. Определить рет в акции опор и натяжения нитей. Р е ш е н и е.
Натяжения нитей Тл и Тв направлены от А Рис. 53 к В и от В к С. Реакции Лл и Лв перпендикулярны к соответствующим плоскостям. Решение уравнений равновесия дает Р Лв = Р, Тв = — сзйщ Лл = Твв1пб, Тл = Тисов(5. 2 4. Два стержня длиной 1 соединены сверху шарниром, а снизу скреплены нитью АВ (рис. 54). К середине одного из стержней приложена сила Г 166 ГЛ. У1 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА (весом стержней пренебрегаем). Определить силы реакции. Р е ш е н и е.
Натяжение нити Т действует в С точке А от А к В, а в точке  — от В к А. Реакции Вл и Вн в точках А и В перпендикулярны к плоскости опоры. Посредством Кс обозначим силу реакции в шарнире, действующую на стержень АС;тогда на стержень ВС действует реакция — Н.о. Условие равенства нулю суммы моментов сил В.н, Т и — Ко, действующих на стержень ВС, приводит к результату, что вектор В.о направлен вдоль ВС. Остальные условия равновесия (для каждого из двух стержней) приводят к значениям Рис. 54 3 Р Р 1 Вл = — г, йв = —, Вс =,, Т = — г сьК и, 4 ' 4 ' 4сйпсс' 4 где и — угол САВ.
3 39. Движение в неинерциальной системе отсчета До сих пор, рассматривая движение любой механической системы, мы всегда относили его к инерциальной сисгеме отсчета. Только в инерциальных системах отсчета функция Лагранжа, например, одной частицы во внешнем поле имеет вид (39.1) и соответственно уравнение движения дне дП т й дг (мы будем в этом параграфе отличать индексом 0 величины, относящиеся к инерциальной системе отсчета). Займемся теперь вопросом о том, как выглядят уравнения движения частицы в неинерциальной системе отсчета.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
