I.-Механика (1109678), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Найти кинетическую энергию однородного трехосного эллипсоида, вращающегося вокруг одной из своих осей (АВ, рис. 44), причем послед- няя сама вращается вокруг направления Сз.г, перпендикулярного к ней и проходящего через центр эллипсоида. А — — ~-З-З вЂ” — г; ) В Р е ш е н и е. Угол поворота вокруг оси --~ г г-- СР обозначим через В, а угол поворота вокруг оси АВ (угол между СО и осью инерции хг,перпендикулярной к АВ) — через <р.
Тогда проекции й на оси инерции будут: Е...р, Ввгп р, р Рис. 44 (причем ось хз совпадает с АВ). Поскольку центр инерции, совпадающий 140 ГЛ. У1 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА с центром эллипсоида,неподвижен,то кинетическая энергия (В В Т = — (1г соя яг+1гя1п яг) О + — Хзяг г г г 1 2 2 10.
Найти кинетическую энергию однородного трехосного эллипсоида, вращающегося вокруг одной из своих осей (АВ, рис. 45), причем ьС последняя наклонена, а эллипсоид симметричен относительно этой оси. Решение. Проекции й на ось АВ и на Рис. 45 перпендикулярные к ней две другие главные оси инерции (которые можно выбрать произвольно): О соя асов яг, О соз сс сйп ср, яг + О вш а.
Кинетическая энергия 1г г г 1з . ' . з Т = — соя а О + — (ег+ О вша) . 2 2 3 33. Момент импульса твердого тела Величина момента импульса системы зависит, как мы знаем, от выбора точки, относительно которой он определен. В механике твердого тела наиболее рационален выбор в качестве этой точки начала подвижной системы координат, т.е. центра инерции тела. Ниже мы будем понимать под М момент, определенный именно таким образом. Согласно формуле (9.6) при выборе начала координат в центре инерции тела его момент М совпадает с «собственным моментомз, связанным лишь с движением точек тела относительно центра инерции. Другими словами, в определении М = 2 'т[гзг] надо заменить зг на [Йг[: М = 2', т[г[йг)[ = 2', т(г Й вЂ” г(гй)), или в тензорных обозначениях: М; = 2,т(х1Й; — хяхьйь) = Йь ',1 тп(х1 Ьяь — х,хь). Наконец, учитывая определение (32.2) тензора инерции, получаем окончательно: М;=1,„Й„.
(33.1) Если оси х1, х2, хз направлены вдоль главных осей инерции тела, то эта формула дает: М1 = 11Й1, М2 = 12Й2, МЗ = 13ЙЗ. (33.2) В частности, для шарового волчка, когда все три главных момента инерции совпадают, имеем просто: 141 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ТВЕРДОГО ТЕЛА 1 33 М=ТЙ, (33.3) т.е. вектор момента пропорционален вектору угловой скорости и имеет одинаковое с ним направление. В общем же случае произвольного тела вектор М, вообще говоря, не совпадает по своему направлению с вектором Й, и лишь при вращении тела вокруг какой-либо из его главных осей инерции М и Й имеют одинаковое направление.
Рассмотрим свободное движение твердого тела, не подверженного действию каких-либо внешних сил. Не представляющее интереса равномерное поступательное движение будем предполагать исключенным, так что речь идет о свободном вращении тела. Как и у всякой замкнутой системы, момент импульса свободно вращающегося тела постоянен.
Для шарового волчка условие М = сопв1 приводит просто к Й = сопвФ. Это значит, что общим случаем свободного вращения шарового волчка является просто равномерное вращение вокруг постоянной оси. Столь же прост случай ротатора. Здесь тоже М = Тй, причем вектор й перпендикулярен к оси ротатора. Поэтому свободное вращение ротатора есть равномерное вращение в одной плоскости вокруг направления, перпендикулярного к этой плоскости. Закон сохранения момента достаточен и для определения более сложного свободного вращения симметрического волчка.
Воспользовавшись произвольно- ЛХ й стью выбора направлений главных осей инерции тм хз (иерпендикулярных к оси симметрии волчка хз), выберем ось лз перпендикулярной к плоскости, определяемой постоянным вектором М и мгновенным положением оси тз. Тогда Мз = О, а из я, 9 формул (33.2) видно, что и йз = О. Это значит, что направления М, й и оси волчка в каждый момент времени лежат в одной плоскости (рис. 46).
Но отсюда в свою очередь следует, что скорости у = ]йг] всех точек на Рис. 46 оси волчка в каждый момент времени перпендикулярны к указанной плоскости; другими словами, ось волчка равномерно (см. 142 ГЛ. Г1 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ниже) вращается вокруг направления М, описывая круговой конус (так называемая регу лрн и прецессии волчка). Одновременно с прецессией сам волчок равномерно вращается вокруг собственной оси.
Угловые скорости обоих этих вращений легко выразить через заданную величину момента М и угол наклона 9 оси волчка к направлению М. Угловая скорость вращения волчка вокруг своей оси есть просто проекция Йз вектора Й на эту осгс йз = — ~ = — соэ9. (33.4) 13 13 Для определения же скорости прецессии й р надо разложить вектор Й по правилу параллелограмма на составляющие вдоль хз и вдоль М. Из них первая не приводит ни к какому перемещению самой оси волчка, а потому вторая и дает искомую угловую скорость прецессии.
Из построения на рис. 46 ясно, что й~р э1п 9 = йн а поскольку Й1 = М1,111 = М э1п 9/1н то получаем й„, = М!1,. (33.5) Е 34. Уравнения движения твердого тела Поскольку твердое тело обладает в общем случае шестью степенями свободы, то общая система уравнений движения должна содержать шесть независимых уравнений. Их можно представить в виде, определяющем производные по времени от двух векторов: импульса и момента тела. Первое из этих уравнений получается просто путем суммирования уравнений р = 1 для каждой из составляющих тело частиц, где р — импульс частицы, а 1 -- действующая на нее сила. Вводя полный импульс тела Р=2.р=НУ и полную действующую на него силу 2, К = г', получим — $' (34.1) Хотя мы определили г' как сумму всех сил 1', действующих на каждую их частиц, в том числе со стороны других частиц тела, фактически в г' входят лишь силы, действующие со стороны внешних источников. Все силы взаимодействия между частицами самого тела взаимно сокращаются; действительно, при 1 34 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 143 д дь дь Ж д'Ч дК с функцией Лагранжа (32.4), для которой д~ ' дй.
дК вЂ” =рХ=Р, — = — — =Р. Перейдем к выводу второго уравнения движения, определяющего производную по времени от момента импульса М. Для упрощения вывода удобно выбрать <неподвижную» (инерциальную) систему отсчета таким образом, чтобы в данный момент времени центр инерции тела покоился относительно нее. Имеем М = — 2,[гр] = 2,[гр] + 2,[гр]. В силу сделанного нами выбора системы отсчета (в котором т' = 0) значение г в данный момент времени совпадает со скоростью у = г. Поскольку же векторы у и р = тъ имеют одинаковое направление, то [гр] = О. Заменив также р на силу Г, получим окончательно: дМ К ~й (34.3) где К = 2 [г1'].
(34.4) Поскольку момент и определен относительно центра инерции (см. начало ~ 33), он не меняется при переходе от одной отсутствии внешних сил импульс тела, как и всякой замкнутой системы, должен сохраняться, т.е. должно быть Р = О. Если 11 потенциальная энергия твердого тела во внешнем поле, то сила Р может быть определена путем дифференцирования ее по координатам центра инерции тела; Р— (34.2) Действительно, при поступательном перемещении тела на бК настолько же меняются и радиус-векторы г каждой точки тела, а потому изменение потенциальной энергии Ьб' = ~ — Ьг = бВ. ~ — = — ЬВ.~ Г = — РБВ.. Отметим в этой связи, что уравнение (34.1) может быть получено и как уравнение Лагранжа по отношению к координатам центра инерции 144 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ГЛ. »'1 К = 2,'[гГ] = 2,[г'Г] + 2,[аГ] К = К'+ [нР].
или (34.5) Отсюда видно, в частности, что величина момента сил не зависит от выбора начала координат, если полная сила г = 0 (в таком случае говорят, что к телу приложена пара сил). Уравнения (34.3) можно рассматривать как уравнение Ла- гранжа д д1. дй д1 дй д~р по отношению к «вращательным координатам». Действительно, дифференцируя функцию Лагранжа (32.4) по компонентам вектора Й, получим дй дй, = 1)АПА = М,.
Изменение же потенциальной энергии Г при повороте тела на бесконечно малый угол Ь<р равно: Ь ЬГ = — ); ГЬг = — ); Г[ЬВ» . г] = — 5 ср ~ [г4] = — КЬ(р, откуда К= — —, д<р ' (34.6) так что инерциальной системы отсчета к другой. Это видно из формулы (9.5) с Л = О. Отсюда следует, что уравнение движения (34.3), полученное здесь при определенном выборе системы отсчета, тем самым, в силу галилеевского принципа относительности, справедливо в любой инерцивльной системе. Вектор [гг] называется моментаом силы г, так что К есть сумма моментов всех сил, действующих на тело.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
