I.-Механика (1109678), страница 19
Текст из файла (страница 19)
2 2) В членах с частотами ша + с/2 сохранены величины первого и второго порядка малости, а в членах с частотами 3(ша + е/2) — члены первого порядка. Каждое из выражений в квадратных скобках должно обращаться в нуль в отдельности. Из двух последних имеем Ь Ь аг = — аа Ьг = — Ьа, 16 18 после чего из двух первых находим Ьша г. Ь ша шаг х -~- — — = О. Решая это уравнение с точностью до членов порядка Ьг, получим иско- мые граничные значения я Ьша Ь ша 2 32 2. Определить границы области неустойчивости при резонансе вблизи у = ша. Р е ш е н и е. Написав у = ша + с, получаем уравнение движения т + ша (1 -~- Ь соэ (ша -~- е)1)х = О.
Имея в виду, что искомые граничные значения е Ьг, ищем решение в виде т = аа сое (ша + с)1+ Ьа ян (ша + г)1 + -~ аг соз 2(соа -~- е)$ -~- Ьг яп 2(ша -1- с)1+ сг, 113 АНГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Ь 28 учитывая в нем сразу члены двух первых порядков. Для определения гра- ниц неустойчивости снова предполагаем козффициенты постоянными и по- лучаем [ Ьеоо г г — 2гооеао 2- аг -Р Ьеоосг] сов(шо -~- е)Е-Р 2 Ьшо ) Ьеоо + [ — 2агоеЬО+ Ьг] вш(шо+ е)Е+ [ — 3<ооаг+ ао] сов2(еоо+ е)Е+ 2 г Ьеоо 2 1 Г г Ьеоо 2 + [ — загоЬг + Ьо~ гйп2(ого+ е)Е+ ~еоосг+ ао] = О. Отсюда н од Ь Ь Ь аг = — ао, Ьг = — Ьо, сг = — — ао, 6 ' 6 ' 2 и затем две границы области неустойчивости: 2 1 2 е = — — Ь шо, е = — Ь еоо. 24 ' 24 3.
Найти условия параметрического резонанса для малых колебаний плоского маятника с колеблющейся в вертикальном направлении точкой подвеса. Р е ш ен и е. ~о найденной в задаче 3, в 8 5 функции Лагранжа най- дем для малых (Ог «1) колебаний уравнение движения 1р+ шо (1+ 4 — сов (2шо+ е)Е) Ог = О, где шо — — д/1. Отсюда видно, что роль введенного в тексте параметра Ь 2 играет отношение 4а,Ч.
Условие (27.11), например, принимает вид 2а 78 )е! ч 3 28. Ангармонические колебания Вся изложенная выше теория малых колебаний основана на разложении потенциальной и кинетической энергий системы по координатам и скоростям с оставлением лишь членов второго порядка; при этом уравнения движения линейны, в связи с чем в этом приближении говорят о линейных колебаниях. Хотя такое разложение вполне законно при условии достаточной малости амплитуд колебаний, однако учет следующих приближений (так называемой анеармоничности или нелинейности колебаний) приводит к появлению некоторых хотя и слабых, но качественно новых особенностей движения.
Произведем разложение функции Лагранжа до членов третьего порядка. В потенциальной энергии при этом появятся члены третьей степени по координатам й и в кинетической же энергии — члены, содержащие произведения скоростей и координат 114 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГЛ. У вида т1хьх1; это отличие от прежнего выражения (23.3) связано с оставлением членов первого порядка по я в разложении функций а1ь(д).
Таким образом, функция Лагранжа будет иметь вид 1 ч-~ ь = — ~(тд,х1хь — Иьх,хь) + 2 с,1с 1ч~ .. 1с~ + — у пых1хьх1 — — ~(ых1хьх1, (28.1) с,в,с Щ1 где п,ы, 1;ы — новые постоянные коэффициенты. Если от произвольных координат л1 перейти к нормальным координатам (линейного приближения) с,)а, то в силу линейности этого преобразования третья и четвертая суммы в (28.1) перейдут в аналогичные суммы, в которых вместо координат х, и СкОРОСтЕй Х1 бУДУт СтОЯть Яа и сса. ОбОЗначив кОЭффиЦиЕнты в этих суммах через Л .а и )саЕ.„, получим функцию Лагранжа в виде Ь = — ~~> Я~ — со~Я~) + + — ~~1 )(арф,ЯБф, — — ~~) р.
Е,Я,ДБЯт. (28.2) сс, В,т «,Р,т Мы не станем выписывать полностью следующих из этой лагранжевой функции уравнений движения. Существенно, что они имеют вид я-+ 49-=У-Фю,Ю, (28.3) где уа — - одноРодные фУнкции втоРого поРЯдка от кооРдинат Я и их производных по времени. Применяя метод последовательных приближений, ищем решение этих уравнений в виде О =й+юГ, (28.4) где („са « с„1а, а функции с„1а удовлетворяют «невозмущен- Р) (1) Р) ным» уравнениям да + ШсДа — О, " (1) е (1) т.е.
представляют собой обычные гармонические колебания Я = а сов(ш 1+ сх„). (28.5) Сохраняя в следующем приближении в правой части уравнений (28.3) лишь члены второго порядка малости, получим для ВЕЛИЧИН (с1 ураВНЕНИя (г) Я+1о~(Я =1 ЯО,(,"(~),сс(~)), (28.6) 115 АНГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 1 28 где в правую часть должны быть подставлены выражения (28.5).
В результате мы получим линейные неоднородные дифференциальные уравнения, правые части которых можно преобразовать к суммам простых периодических функций. Так, например, Я„Я = а„па сов (ш„1+ ог,„) соэ (ш81+ схо) = О) Ж 1 = -а„аа (соэ ~(а~а+ си 8)1+ сгк+ сг81+ сов [(ш„— ша)1+ к — с~о) 11. Таким образом, в правых частях уравнений (28.6) находятся члены, соответствующие колебаниям с частотами, равными суммам и разностям собственных частот системы. Решение уравнений следует искать в виде, содержащем такие же периодические множители, и мы приходим к выводу, что во втором приближении на нормальные колебания системы с частотами со~ накладываются дополнительные колебания с частотами СО~ ~ СО А (28.7) (в том числе удвоенные частоты 2ш„и частота О, соответствующая постоянному смещению).
Эти частоты называются комбинационными. Амплитуды комбинационных колебаний пропорциональны произведениям а ва (или квадратам а ) соответ- 2 ствующих нормальных колебаний. В следующих приближениях при учете членов более высокого порядка в разложении функции Лагранжа возникают комбинационные колебания с частотами, являющимися суммами и разностями большего числа частот со~.
Кроме того, однако, возникает еще и новое явление. Дело в том, что уже в третьем приближении среди комбинационных частот появляются частоты, совпадающие с исходными со„(ш„+шо — ша). При применении описанного выше метода в правой части уравнений движения будут находиться, следовательно, резонансные члены, которые приведут к возникновению в решении членов с возрастающей со временем амплитудой. Между тем, физически очевидно, что в замкнутой системе в отсутствие внешнего источника энергии не может происходить самопроизвольное нарастание интенсивности колебаний.
В действительности в высших приближениях происходит изменение основных частот ш по сравнению с их «невозмущенными» значениями ш„, фигурирующими в квадратичном вь[ю> рэжении потенциальной энергии. Появление же возрастающих 116 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ Гл. ч членов в решении связано с разложением типа сов (аг„+ Лаг„)Ф = сов (аг„2) — Ма~,„в(п (аг„2), (О) (О) . (О) явно незаконным при достаточно больших 1. Поэтому при переходе к следующим приближениям метод последовательных приближений должен быть видоизменен так, чтобы фигурирующие в решении периодические множители с самого начала содержали точные, а не приближенные значения частот. Изменения же частот сами определятся в результате решения уравнений как раз из условия отсутствия резонансных членов. Продемонстрируем этот метод на ангармонических колебаниях с одной степенью свободы, написав функцию Лагранжа в виде ти тагг 2 тсс В гп1г (28.8) 2 2 3 4 Соответствующее уравнение движения *'+ агох = — ест' — Рх'.
(28.9) Мы будем искать его решение в виде ряда последовательных приближений х = х( ) + х( ) + х( ) причем х( ) = асоваг1 (28.10) с точным значением аг, которое само будем затем искать в виде ряда ш = соо+ ш(1) + ш(2) +... (начальную фазу в х(г) можно всегда обратить в нуль надлежащим выбором начала отсчета времени). При этом, однако, уравнение движения в виде (28.9) не вполне удобно, так как при подстановке в него (28.10) левая часть равенства не обратится строго в нуль.
Поэтому перепишем его предварительно в эквивалентном виде г гг —" х + шох = — сс — Рх' — (1 — — ') х. (28.11) Ш2 0 — ( — г) Положив здесь х = х(~)+х(~), аг = аге+аг(~) и опустив члены выше второго порядка малости, получим для х( ) уравнение х( ) + шех( ) = — аа сов сИ+ 2агепг( )асов пг2 = — — сов(2аг2) + 2агоаг(~)асов аг2. 2 2 Условие отсутствия резонансного члена в правой части равенства дает просто аг(~) = 0 в соответствии с изложенным в начале параграфа методом нахождения второго приближения. После 1 29 РЕЗОНАНС В НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЯХ 117 этого, решая обычным способом неоднородное линейное уравне- ние, получим (28.12) 2ыог 6о>ог далее, положив в (28.11) х = х(Ц+х(2) +х(3), со = ого+ по(2), получим уравнение для х( ) х(з) оо2 (з) = — 2сох(Цх(2) — рх(Цз+ 2пгопг(2)х(Ц или, подставив в правую часть выражения (28.10) и (28.12) после простого преобразования: '(3) -'- «~'х") = — аз )'+ сов(8шз)+ +а 2п>ого + — -а р соэпгз.
(2) 5а а 3 2 6шо Приравнивая нулю коэффициент при резонансном множителе соз поем, найдем поправку к основной частоте, пропорциональную квадрату амплитуды колебания: (2) ( 3)а зоо ~ 2 (28.13) 1 8аао 12агаз/ Комбинационное же колебание третьего порядка (28.14) 16ооо Л загс 3 29. Резонанс в нелинейных колебаниях Учет ангармонических членов при вынужденных колебаниях системы приводит к появлению существенно новых особенностей в резонансных явлениях. Добавив в правой части уравнения (28.9) внешнюю периодическую (с частотой у) силу, получим х + 2Лх + шзох = — соз уз — осх~ — )ах~; (29.1) здесь написана также сила трения с показателем затухания Л (предполагаемым ниже малым).
Строго говоря, при учете нелинейных членов в уравнении свободных колебаний должны учитываться также члены высших порядков в амплитуде вынуждающей силы, соответствующие возможной зависимости ее от смещения х. Мы не пишем этих членов лишь с целью упрощения формул; они не меняют качественной картины явлений.
1 29 РЕЗОНАНС В НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЯХ 119 значении 1 ) 1ь существует определенная область частот, в которой уравнение (29.4) имеет три вещественных корня; ей отвечает участок ВСРЕ кривой на рис. 32 в. Границы этой области определя- У ~0 ются условием гЬ/г18 = оо в точках .0 а и С. Продифференцировав уравнение (29.4) по е, получим ЬЬ -еь-~ мь' де ез -Ь Л вЂ” 4меЬз + змзЬ4 ~Ь у < уь Поэтому положение точек Р и С определяется совместным решением уравнений — ~ ь ~-3 ь «-л =О о9.5) и (29.4); соответствующие значения е ,,Ь У>уь оба положительны. Наибольшее зна- С и чение амплитуды достигается в точке, где дЬ/дс = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
