I.-Механика (1109678), страница 20
Текст из файла (страница 20)
При этом с = хЬ, и из (29.4) имеем е Ь, = ~; (29.6) Рис. 32 2тгооЛ это значение совпадает с максимумом, даваемым зависимостью (29.2). Можно показать (на чем мы не будем здесь останавливаться '), что из трех вещественных корней уравнения (29.4) средний (т.е, участок СР кривой, изображенный на рис. 32 в штриховой линией) соответствует неустойчивым колебаниям системы: любое сколь угодно слабое воздействие на систему, находящуюся в таком состоянии, привело бы к переходу к колебательному режиму, отвечающему большему или меныпему корню (т.е. участкам ВС или РЕ). Таким образом, реальным колебаниям системы соответствуют лишь ветви АВС и РЕЕ. Замечательной особенностью является при этом наличие области частот, допускающих две различные амплитуды колебаний.
Так,при постепенном увеличении частоты внешней силы амплитуда вынужденных колебаний будет возрастать, следуя кривой АВС. В точке С произой- ') Доказательство можно найти, например, в книге Н. Н. Боголюбова и Ю.А. Митропольского, «Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний». Мз Физматгиз, 1958. 120 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГЛ. У дет «срыв» амплитуды, которая скачком упадет до значения, отвечающего точке Е, и затем (при дальнейшем увеличении частоты) будет меняться вдоль кривой ЕР. Если теперь вновь уменьшать частоту, то амплитуда вынужденных колебаний будет меняться вдоль кривой УР, в точке Р скачком возрастает до В и затем будет уменыпаться вдоль ВА. Для вычисления значения /ь замечаем, что это есть то значение /, при котором оба корня квадратного (по 52) уравнения (29.5) совпадают; при / = /ь весь участок СР сводится к одной точке перегиба.
Приравняв нулю дискриминант квадратного уравнения (29.5), получим с2 = ЗЛ; соответствующий корень уравнения: »«52 = 2с/3. Подставляя эти значения 6 и е в (29.4), найдем /2 32т'о»«Л (29. 7) з 2~1~ Наряду с изменением характера резонансных явлений при частотах у — п»о нелинейность колебаний приводит также к появлению новых резонансов, в которых колебания с частотой, близкой к н»о, возбуждаются внешней силой с частотой, существенно отличающейся от шО. Пусть частота внешней силы 'у — н»о/2, т.е. 'у = п»о/2 + с. В первом, линейном, приближении она возбуждает в системе колебания с той же частотой и амплитудой, пропорциональной амплитуде силы х =, сов~ — + с)г (1) 4/ »' О~о Зто»~~ 1, 2 (согласно формуле (22.4)). Но при учете нелинейных членов, во втором приближении, эти колебания приведут к появлению в правой части уравнения движения (29.1) члена с частотой 2у — н»о.
Именно, подставив х(1) в уравнение т(2) ( 2Лх(2) ( н»2х(2) ( ссх(2)2 ( (8х(2)3 огх(1)2 шох введя косинус удвоенного угла и сохраняя в правой части лишь резонансный член, получим х( ) + 2Лх( ) + а» х( ) + ах( ) + (8х( )з = — ",~, сов (а»о + 2с) г. (29.8) Это уравнение отличается от уравнения (29.1) лишь тем, что вместо амплитуды силы 1 в нем стоит выражение, пропорцио- 1 29 РЕЗОНАНС В НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЯХ 121 нальное квадрату 7 . Это значит, что возникает резонанс такого же характера, как и рассмотренный выше резонанс на частотах у — аао, но с меньшей интенсивностью.
Зависимость Ь(с) получается заменой 1 на — 8сс(2/(9тсо4~) (и с на 2с) в уравнении (29.4): Ь сс2с сЬ) +Л)= 4 (29.9) 81т4саат Пусть теперь частота внешней силы 'у = 2шо + с. В первом приближении имеем х( ) = —, сов(2спо+ с)1. Зтсаа При подстановке х = х(") + х(2) в уравнение (29.1) мы не получим членов, имеющих характер резонансной внешней силы, как это было в предыдущем случае.
Возникает, однако, резонанс параметрического типа от члена третьего порядка, пропорционального произведению х( )х( ). Если из всех нелинейных членов сохранить лишь этот, то для х( ) получим уравнение х(2) + 2Лх(2) + со2х(2) = — 2ссх(с) х(2) или х(2) + 2Лх(2) + созе ~1 —, сов (2шо + с)й~ х(2) = О, (29.10) Зтшаа т.е. уравнение типа (27.8) (с учетом трения), приводящее, как мы уже знаем, к неустойчивости колебаний в определенном интервале частот.
Однако для определения результирующей амплитуды колебаний это уравнение недостаточно. Установление конечной амплитуды связано с эффектами нелинейности, для учета которых в уравнении движения должны быть сохранены также нелинейные по х( ) члены: - (2) + 2Лх(2) + со2х(2) + (2)2 + )1 (2)з , сов [(2соо + с)1)х(~). (29.11) Зтсо~~ Исследование этой задачи можно очень упростить, отметив следующее обстоятельство. Положив в правой части уравнения (29.11) х ' = Ь сов ~(сто+ -,') 1+ Ь~ (где Ь -- искомая амплитуда резонансных колебаний, б -- несущественный для дальнейшего постоянный сдвиг фазы) и пред- 1 29 РЕЗОНАНС В НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЯХ 123 жиму. Значение 6 = О неустойчиво на участке ВС '), и можно показать также, что всегда неустойчив режим, соответствующий корню (29.14) (промежуточному между двумя другими).
На рис. 33 неустойчивые значения 6 изображены штриховой линией. Проследим, например, за поведением первоначально епокоившейся»') системы при постепенном уменьшении частоты внешней силы. До достижения точки С остается (г = О, а затем происходит «срыв» этого состояния с переходом на ветвь ЕВ. При дальнейшеы уменьшении с амплитуда колебаний уменыпается до нуля в точке В. При обратном же увеличении частоты амплитуда колебаний растет вдоль кривой ВЕ ').
Рассмотренные случаи резонансов являются основными из возникающих в нелинейной колебательной системе. В более высоких приближениях появляются резонансы и на других частотах. Строго говоря, резонанс должен возникать на всякой частоте 'у, для которой и у+ того = шо (и, гп — целые числа), т.е. при всяком у = рспс/д, где р,д снова целые числа. Однако с увеличением степени приближения интенсивность резонансных явлений (а также ширины областей частот, в которых они должны иметь место) столь быстро убывает, что реально могут наблюдаться лишь резонансы на частотах 'у — разо/д с небольшими значениями р и и. Задача Определить зависимость 6(г) для резонанса на частотах у = Зшс.
Р е ш е н и е. В первом приближении ') Этот интеграл как раз соответствует области параметрического резонанса (27.12), причем из сравнения (29.10) с (27.8) имеем ~Ь~ = Зппп/(Зтпгс~). Условие же 2пу > 4А, З при котором возможно существование рассматриваемого явления, отвечает неравенству гг > Ьь. и ) Напомним, что мы рассматриваем здесь лишь резоншгсные колебания.
Их отсутствие не означает поэтому буквального покоя системы, в которой будут происходить слабые вынужденные колебания с частотой 'у. ) Следует, однако, помнить, что все выведенные формулы справедливы лишь до тех пор, пока амплитуда б (а также с) остается достаточно малой.
В действительности, кривые ВЕ и СГ в своем дальнейшем ходе оканчиваются, соединяясь в некоторой точке;при достижении этой точки колебательный режим «срывается» и становится (г = О. 124 ГЛ. У МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ х(21 = — соя [(Зшо -» с)1) . Зшшог Д ля второго приближения (х(н) получаем из (29.1) уравнение х( 1+ 2Лх( 1+ шех( 1-~- их( 1 -(- бх( 12 = — Збх( (х( 1, где в правой части равенства написан лишь член, приводящий к рассматри- (21 (Г сх ввемому резонансу. Положив в нем х 1 = Ь соэ [(ше + — )1+ б] и выделяя 3) из произведения трех косинусов резонансный член, получим в правой части уравнения выражение 3)ЗЬ'У сое [(ше+ — ) 1 — 2б~ Е Отсюда видно, что зависимость Ь от с получится заменой в уравнении 129.4) 1 на ЗОЬ~У,(32ше~) и с на с,(3: В Ьг [(~ 12) + Л2] ~ 2 14 ЦЬ4 Корни этого уравнения — с г с А 1 «А А Ь=О, Ь = — 4- — — + Зх 2хг х Зх 4хг Рис.
34 На рис. 34 изображен графически характер зависимости Ь от с (при х > О). Устойчивым режимам отвечают лишь значение Ь = О (ось абсцисс) и ветвь АВ. Точке А соответствуют значения 3(4хгЛ2 Аг) 4хгЛ2 + Аг 4хА ' ь 4хгА Колебательный режим существует лишь при с > сь, причем амплитуда Ь > Ьь. Поскольку состояние Ь = О всегда устойчиво, то для возбуждения колебаний необходим начальный «толчок».
Полученные формулы справедливы лишь при малых с. Малость с обеспечивается малостью Л, если при этом амплитуда силы удовлетворяет условию Л',(ше « А(х « шо. 3 30. Движение в быстро осциллирующем поле Рассмотрим движение частицы, находящейся одновременно под действием постоянного поля У и силы ,( =,(1 СОВ Ш» + (2 81П (О»~ 130.1) меняющейся со временем с большой частотой пг (11, 12 функции только координат). Под «большой» мы понимаем при этом частоту, удовлетворяющую условию пг» ЦТ, где Т порядок величины периода движения, которое частица совершала бы в одном поле 12'. По своей величине сила у не предполагается слабой по сравнению с силами, действующими в поле 21. 1 ЗО ДВИЖЕНИЕ В БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩЕМ ПОЛЕ 125 Мы будем, однако, предполагать малым вызываемое этой силой колебательное смещение частицы (обозначенное ниже через Ц. Для упрощения вычислений рассмотрим сначала одномерное движение в поле, зависящем лишь от одной пространственной координаты х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
