I.-Механика (1109678), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Поскольку коэффициенты й;й и йй, входят в (23.2) умноженными на одну и ту же величину х,хй, то ясно, что их можно всегда считать симметричными по своим индексам: к,й = ййь В кинетической же энергии, которая имеет в общем случае вид 1 — а;й (11)д;дй йй (см. (5.5)), полагаем в коэффициентах д1 = п1о и, обозначая постоянные а;й(до) через т,й, получаем ее в виде положительно определенной квадратичной формы — ~ т1йх1хй. (23.3) йй Коэффициенты т1й тоже можно всегда считать симметричными по индексам тп1й = гпйь Таким образом, лагранжева функция системы, совершающей свободные малые колебания, имеет вид Ь = — ~1 (т1йх1хй — к1йх,хй).
(23.4) йй Составим теперь уравнения движения. Для определения входящих в них производных напишем полный дифференциал функции Лагранжа Йй = — р (т;йх1 Йхй + т1йхй Йх; — ййх1 Йхй — 'к,йхй Йх1). 1 ч-~ 2 з,й Поскольку величина суммы не зависит, разумеется, от обозначения индексов суммирования, меняем в первом и третьем членах в скобках г на и, а к на г; учитывая при этом симметричность коэффициентов т1й и й,й, получим Йй = ~~ (ггнйхй Йх' — й1йхй Йх'). йй ~ 23 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 89 Отсюда видно, что дТ, ч — =,7 тзйхй, д*, х.
й дБ х — — й*йхй дх, й Поэтому уравнения Лагранжа пИйхй + ~ Й,йхй = О. (23.5) й й Они представляют собой систему а (г = 1,2,...,з) линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. По общим правилам решения таких уравнений ищем з неизвестных функций хй(8) в виде хй = Айе'аа, (23.6) где Ай -- некоторые, пока неопределенные, постоянные. Подставляя (23.6) в систему (23.5), получаем по сокращении на е"о' систему линейных однородных алгебраических уравнений, которым должны удовлетворять постоянные Ай: ( — йо'т;й + Цй)Ай = О. (23.7) й Для того чтобы эта система имела отличные от нуля решения, должен обращаться в нуль ее определитель )й;й — о~~т,й! = О.
(23.8) Уравнение (23.8) так называемое характеристическое уравнение представляет собой уравнение степени в относительно соз. Оно имеет в общем случае з различных вещественных положительных корней ш,„, с< = 1,2,...,з (в частных случа- 2 ях некоторые из этих корней могут совпадать). Определенные таким образом величины йпа называются собственными частотами системы. Вещественность и положительность корней уравнения (23.8) заранее очевидны уже из физических соображений. Действительно, наличие у ш мнимой части означало бы наличие во временной зависимости координат хй (23.6) (а с ними и скоростей хй) экспоненциально убывающего или экспоненциально возрастающего множителя. Но наличие такого множителя в данном случае недопустимо, так как оно привело бы к изменению со временем полной энергии Е = 17+ Т системы в противоречии с законом ее сохранения. 90 ГЛ.
г' МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ В том же самом можно убедиться и чисто математическим путем. Умножив уравнение (23.7) на А,* и просуммировав затем ПО 1, ПОЛУЧИМ ( — со~т;ь + )сей)А,*Ай = О, ьь откуда 2 2„йгьА,*Аь О1 2 пг,ьА,*Аь Квадратичные формы в числителе и знаменателе этого выражения вещественны в силу вещественности и симметричности коэффициентов )сей и птеь, действительно, (~ ЕГЬА;Аь) =,~,)сгйА Аь =ЯИЬнА А1. =Яйд<АьА;.
гой гьй гг,й г,/с Они также существенно положительны, а потому положительно ') и со~. После того как частоты со„найдены, подставляя каждое из них в уравнения (23.7), можно найти соответствующие значения коэффициентов Аь. Если все корни соа характеристического уравнения различны, то, как известно, коэффициенты Аь пропорциональны минорам определителя (23.8), в котором пэ заменена соответствующим значением пэи; обозначим эти миноры через ЛЬ„. Частное решение системы дифференциальных уравнений (23.5) имеет, следовательно, вид хь = Ль„С„е гш„1 где С произвольная (комплексная) постоянная. Общее же решение дается суммой всех в частных решений.
Переходя к вещественной части, напишем его в виде хь = йе)' ~1 ЛЬ,„С„е'~"~~ = ,'Ь АЬ,„Ои, (23.9) а=1 гг где мы ввели обозначение О„= Ке (С„е' (23АО) ) Положительная определенность квадратичной формы, построенной на коэффициентах Ь,ы очевидна из их определения в (23.2) для вещественных значений переменных. Но если написать комплексные величины Аь в явном виде как аь -~- гЬМ то мы пщгучим (снова в силу симметричности Ьгь): ЬгеА,*Ах = Яйгь(а, — гй )(аг + гЬг) = Яйгьа,аь + ~уй ьЬ Ьы г,я ьь *',ь л т.е. сумму двух положительно определенных форм. 1 23 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 91 Таким образом, изменение каждой из координат системы со временем представляет собой наложение в простых периодических колебаний Оы О2, ..., О, с произвольными амплитудами и фазами, но имеющих вгюлне определенные частоты.
Естественно возникает вопрос, нельзя ли выбрать обобщенные координаты таким образом, чтобы каждая из них совершала только одно простое колебание? Тамая форма общего интеграла (23.9) указывает путь к решению этой задачи. В самом деле, рассматривая в соотношений (23.9) как систему уравнений с в неизвестными величинами Ов, мы можем, разрешив эту систему, выразить величины Он Оз,..., О, через координаты хм хз,..., х,.
Следовательно, величины О„можно рассматривать как новые обобщенные координаты. Эти координаты называют нормальными (или главными), а совершаемые ими простые периодические колебания нормальными колебаниями системы. Нормальные координаты О,„удовлетворяют, как это явствует из их определения, уравнениям О„+ ш~ О„= О.
(23.11) Это значит, что в нормальных координатах уравнения движения распадаются на э независимых друг от друга уравнений. Ускорение каждой нормальной координаты зависит только от значения этой координаты, и для полного определения ее временнбй зависимости надо знать начальные значения только ее же самой и соответствующей ей скорости. Другими словами, нормальные колебания системы полностью независимы. Из сказанного очевидно, что функция Лагранжа, выраженная через нормальные координаты, распадается на сумму выражений, каждое из которых соответствует одномерному колебанию с одной из частот ш,„, т.е.
имеет вид (23.12) где тп,„положительные постоянные. С математической точки зрения это означает, что преобразованием (23.9) обе квадратичные формы кинетическая энергия (23.3) и потенциальная (23.2) одновременно приводятся к диагональному виду. Обычно нормальные координаты выбирают таким образом, чтобы коэффициенты при квадратах скоростей в функции Лагранжа были равны 1/2. Для этого достаточно определить нор- 92 ГЛ. У МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ мальные координаты (обозначим их теперь через б„1„)равенствами с,1„= з,«тп О . (23.13) Тогда 21 г( а Все изложенное мало меняется в случае, когда среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни. Общий вид (23.9), (23.10) интеграла уравнений движений остается таким же (с тем же числом 3 членов) с той лишь разницей, что соответствующие кратным частотам коэффициенты Ль уже не являются минорами определителя, которые, как известно, обращаются в этом случае в нуль ').
Каждой кратной (или, как говорят, вырожденной) частоте отвечает столько различных нормальных координат, какова степень кратности, но выбор этих нормальных координат не однозначен. Поскольку в кинетическую и потенциальную энергии нормальные координаты (с одинаковым со,„) входят в виде ОдинакОвО прЕОбраэуЮщихея Сумм 2 Язп и 2 Я2, тО их мОжнО подвергнуть любому линейному преобразованию, оставляющему инвариантной сумму квадратов. Весьма просто нахождение нормальных координат для трехмерных колебаний одной материальной точки, находящейся в постоянном внешнем поле.
Помещая начало декартовой системы координат в точку минимума потенциальной энергии 11(х, у, 3), мы получим последнюю в виде квадратичной формы переменных х, у, 3, а кинетическая энергия Т = ™(х2+ у2+ 22) (т -- масса частиц) не зависит от выбора направления координатных осей. Поэтому соответствующим поворотом осей надо только привести к диагональному виду потенциальную энергию.
Тогда Ь = — (х2+у +яй) — -(к1х +кту +кзг ), (23.14) и колебания вдоль осей х, у, 3 являются главными с частотами со1 = ~%1/™, со2 = 'Н21т, соз = ~43/~~~. и ) Невозможность возникновения в общем интеграле членов, содержащих наряду с экспоненциальными также и степенные временные множители, очевидна из тех же физических соображений, которые исключают существование комплексных «частот»б наличие таких членов противоречило бы закону сохранения энергии. 1 23 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 93 В частном случае центрально-симметричного поля ()с1 = )с2 = = кз = )с, (7 = )ст2/2) эти три частоты совпадают (см. задачу 3).
Использование нормальных координат дает возможность привести задачу о вынужденных колебаниях системы с несколькими степенями свободы к задачам об одномерных вынужденных колебаниях. Функция Лагранжа системы с учетом действующих на нее переменных внешних сил имеет вид ~ = ~о+ ЕГ.(1)-., (23.15) ь где Ьо — лагранжева функция свободных колебаний. Вводя вместо координат ху нормальные координаты, получим Ь = — ~~1 (Яа — поем) + ~ уа (1)с,а, (23.16) где введено обозначение У.(1) = ~:Ю1) "--- ь Соответственно уравнения движения Яа+ пгаЯа = ~аЯ (23.17) будут содержать лишь по одной неизвестной функции Яа(1).
Задач и 1. Определить колебания системы с двумя степенями свободы, если ее функция Лагранжа г Ь = — (х + у ) — — (х + у ) + аху соо г г 2 2 (две одинаковые одномерные системы с собственной частотой соо, связанные взаимодействием -агу). Р е ш е н и е. Уравнения движения г г х -1- свох = ау, у+ сооу = ах. Подстановка (23.6) дает А (соо — со ) = аАг, Аг(соо — со ) = аА,. (1) Характеристическое уравнение (соо г— сог) = а, откуда г г г сос — соо — а, сог — соо + а. При со = сог уравнения (1) дают А, = Аг, а при со = сог А, = — Ао.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
