I.-Механика (1109678), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Дпя того же случая выразить эффективное сечение как функцию энергии г, теряемой рассеиваемыми частицами. Р е ш е н и е. Энергия, теряемая частицей гпг, совпадает с энергией, приобретаемой частицей тг. Согласно (17.5) и (17.7) имеем 2тгтг г . г Х г . гХ е=Е,= о яп — =е, яп (, ~тг) - 2 2' откуда 1 ае = — е э1пХ ггХ, 2 70 ГЛ. 1У СТОЛКНОВЕНИЕ ЧАСТИЦ и, подставляя в формулу (1) задачи 1, получаем дс дп = па с Распределение рассеянных частиц по значениям с оказывается однородным во всем интервале с от нуля до с„, 3.
Как зависит эффективное сечение от скорости е частиц при рассеянии в поле 11 о» г "2 Р е ш е н и е. Согласно (10.3), если потенциальная энергия есть однородная функция порядка й = — п, то для подобных траекторий р со е или (углы отклонения К для подобных траекторий одинаковы). Подставляя в (18.6), найдем, что ссп со е,, оо. 4. Определить эффективное сечение для «падення» частиц в центр поля П = — сс)г . Р е ш е н и е. «Падают» в центр те частицы, для которых выполняется условие 2сс > тр~е~ (см.
(14.11)), т.е. у которых прицельное расстояние ие превышает значения р„„= ь/2к!те . Поэтому искомое эффективное сечение г 2псс и = пр те 5. То же в поле У = — п,сг" (и > 2, и > О). Р е ш е н и е. Зависимость эффективной потенциальной энергии тре сс г э 2гз г от г имеет вид, изображенный на рис. 20 с максимальным значением (и — 2)сс (тр~е~ ) ь-т ип «Падают» в центр поля те частицы, у которых 11а ( Е.
Определяя р, из условия Гсо = Е, получаем о;ф и = пп(п — 2) а) 6. Определить эффективное сечение для падения частиц (с массами тс) на поверхность сферического гела (с массой тз и радиусом В), к которой они притягиваются по закону Ньютона. Р е ш е н и е. Условие падения заключается в Рис. 20 неравенстве г, < В, где г ы ближайшая к цен- тру сферы точки траектории частицы. Наибольшее допустимое значение р определяется условием г ы = В, что сводится к решению уравнения 11,ф(В) = Е или г 2 тсе р,„сс тсе 2В» В 2 71 РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ 1 18 причем сс = утгто ('у — гравитационная постоянная), и мы положили т тм считая, что то » ть Находя отсюда р „„, получаем о и = пН' (1 -~- д о') . При и, — э оо эффективное сечение стремится, естественно, к геометрической площади сечения сферы.
7. Восстановить вид рассеивающего поля П(г) по заданной зависимости эффективного сечения от угла рассеяния при заданной энергии Е; предполагается, что П(г) -- монотонно убывающая функция г (поле отталкивания), причем бг(0) > Е, Цоо) = 0 (О.Б. Фирсов, 1953). Р е ш е н и е. Интегрирование Нп по углу рассеяния определяет согласно формуле дс "Х = пр 4Х х квадрат прицельного расстояния, так что функцию р(Х) (а с ней и Х(р)) тоже можно считать заданной. Вводим обозначения: 1 1 (7 в= —, х= —, ю=1(1 — —. г' рт' 'у' Е Тогда формулы (18Ц), (18.2) запишутся в виде во — Х(х) )' 4в о (3) орй ,I 2 з/к — х 3в 3х Г * — ч — ) о ворй а обй дх <Ь /' <Ь Но) о левой части равенства, оОО 4Х Р дв оп — х — о1х = л Зх,/ ю о или, интЕгрируя пе чаетям в Полученное соотношение дифференцируем по щ после чего вместо во(п) пишем просто в, соответственно чему заменяем сс на в /ю; написав равен- 2 2 ство в дифференциалах, получим где ва(х) — корень уравнения хю (ва) — во = О.
Уравнение (3) — интегральное уравнение для функции ш(в); его можно решить методом, аналогичным использованному в 3 12. Разделив обе части (3) на ~/и — х и проинтегрировав по Кт в пределах от нуля до а, найдем 72 СТОЛКНОВЕНИЕ ЧАСТИЦ ГЛ. 1У ,г1 г ) 14( ') ~ Х'( )1х тс„, е — — х или г1 г х'( )« о — — Х шг $ 19. Формула Резерфорда Одно из важнейших применений полученных выше формул — рассеяние заряженных частиц в кулоновском поле. Положив в (18.4) сг' = сх~т и производя элементарное интегрирование,получим лги~ р гро = агссоэ "(:.,)' откуда г 2сг(2 гггг е 4 или, вводя согласно (18.1) гре = (и — у)/2, получаем (19.1) Дифференцируя это выражение по у и подставляя в (18.7) или в (18.8), получаем (. ( и ) (2),1 2 (19.2) или Это уравнение интегрируется непосредственно, причем в правой части следует изменить порядок интегрирования по г1х и д(з1'ш).
Учитывая,что при э = 0 (т.е. г — г оо) должно быть ш = 1 (т.е. Г1 = 0), и возвращаясь к исходным переменным г и р, получим окончательный результат (в двух эквивалентных формах): — — — — (ч Этой формулой определяется в неявном виде зависимость ш(г) (а тем самым и 11(г)) при всех г > г ы, т.е. в той области значений г, которая фактически проходится рассеиваемой частицей с заданной энергией Е. 73 ФОРМУЛА РЕЗЕРФОРДА 1 19 Это так называемая формула Резерфорда. Отметим, что эффективное сечение не зависит от знака 1х, так что полученный результат относится в равной степени к кулоновскому полю отталкивания и притяжения. Формула (19.3) дает эффективное сечение в системе отсчета, в которой покоится центр инерции сталкивающихся частиц.
Преобразование к лабораторной системе производится с помощью формул (17.4). Для частиц, первоначально покоившихся, подставляя у = и — 202 в (19.2), получим й"2=2п( г) 9 п02=( я) з ' (194) Для падающих же частиц преобразование приводит в общем случае к весьма громоздкой формуле. Отметим лип1ь два частных случая. Если масса т2 рассеивающей частицы велика по сравнению с массой т1 рассеиваемой частицы, то у = 01, а т — т1, так что (4Ь' ) 91п~(8 /2) ' (19.5) где Е1 = т1е~,12 — энергия падающей частицы. Если массы обеих частиц одинаковы (гп1 = т2, т = т1/2), то, согласно(17.9), Х = 201 и подстановка в (19.2) дает дп1 = 2п( ~ ) ', ' 001 = ( — ) ", ' до1. (19.6) Если не только массы обеих частиц равны, но эти частицы вообще тождественны, то не имеет смысла различать после рассеяния первоначально двигавшиеся частицы от первоначально покоившихся частиц.
Общее эффективное сечение для всех частиц мы получим, складывая дп1 и Нпз и заменяя 01 и 02 общим значением 0: пп = ( — ) ( 4 + 4 ) соз0по. (19.7) Вернемся снова к общей формуле (19.2) и определим с ее помощью распределение рассеянных частиц 1ю отношению к теряемой ими в результате столкновения энергии. При произвольном 74 ГЛ. 1У СТОЛКНОВЕНИЕ ЧАСТИЦ соотношении между массами рассеиваемой (тг) и рассеивающей (т2) частиц, приобретаемая последней скорость выражается через угол рассеяния в ц-системе следующим соотношением: 2тг Х ~2 псе я1п— тг+ те 2 (см.
(17.5)). Соответственно, приобретаемая этой частицей, а тем самым и теряемая частицей т1 энергия равна ,г г я= = ю, яш тгвг 2т 2 . 2Х 2 тг 2 Выразив отсюда я(п (Х/2) через е и подставив в (19.2), получаем с(п = 277 (19.8) тгс~ яг Эта формула отвечает на поставленный вопрос, определяя эффективное сечение как функцию от потери энергии я; последняя пробегает при этом значения от нуля до с,„= 2пг е /т2.
2 2 Задачи 1. Найти эффективное сечение рассеяния в поле 11 = и/г~ (и > 0). Р е ш е н и е. Угол отклонения: Эффективное сечение 2пгп и — Х до «1а = Х (2п — Х) ягпХ 2. Найти эффективное сечение рассеяния сферической «потенциальной ямойг радиуса а и «глубиныг Гге (т.е. полем Гг = 0 при г > а, 17 = — 17е при г ( а). Р е ш е и и е. Прямолинейная траектория частицы «преломляетсяг при входе в яму и при выходе из нее.
Согласно задаче к 1 7 углы падения с«и преломления Д (рис. 21) связаны соотношением шип 217е =и, п= 1+ яш д тег Угол отклонения Х = 2(н- Я. Поэтому имеем Рис. 21 я1п(п — Х/2) Х Х = соя — — сей пя1п — = —. я1п и 2 2 и Исключив и из этого равенства и очевидного из рисунка соотношения а вша= р, получим связь между р и Х в виде 75 РАССЕЯНИЕ ПОД МАЛЫМИ УГЛАМИ 1 20 г г(Х) р =а и + 1 — 2псов( — ) г /Х1 ' 12) Наконец, дифференцируя это равенство, получим эффективное сечение г г (псов( — ) — 1) (п — соя( — )) Иа— 4о 4сов( — ) (1 1 пг 2псов( )) Угол у меняется в пределах от нуля (при р = О) до значения Х,„(при р = а), определяемого из Полное эффективное сечение, получающееся интегрированием да по всем Углам внУтРи конУса Х ( Х ма Равно, РазУмеетсЯ, площади геометРического сечения па .
$ 20. Рассеяние под малыми углами 91 — р1„/(т10, ). (20.1) Далее, поскольку рв — — Рю то полное приращение импульса вдоль оси у Р~1„— — Г сМ. (20.2) При этом сила Вычисление эффективного сечения значительно упрощается, если рассматривать лишь те столкновения, которые происходят на больших прицельных расстояниях, где поле б' является слабым, так что углы отклонения соответственно малы. При этом вычисление можно производить сразу в лабораторной системе отсчета, не вводя систему центра инерции. Выберем ось т по направлению первоначального импульса рассеиваемых частиц (частицы т1), а плоскость лу — в плоскости рассеяния.
Обозначив через р~1 импульс частицы после рассеяния, имеем очевидное равенство г в1п91 = —,. Ргв Рг Для малых отклонений можно приближенно заменить вгп91 на 91, а в знаменателе заменить р~1 первоначальным импуль- СОМ Р1 = т10, 76 ГЛ. 1У СТОЛКНОВЕНИЕ ЧАСТИЦ дУ дГ7 дт дГГ у ду дт ду йт т' Поскольку интеграл (20.2) уже содержит малую величину У, то при его вычислении можно в том же приближении считать, что частица вовсе не отклоняется от своего первоначального пути, т.е. движется прямолинейно (вдоль прямой у = р) и равномерно (со скоростью о ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
