I.-Механика (1109678), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В этом случае наряду с собственной потенциальной энергией (1/2) йх2 система обладает еще потенциальной энергией У,(х, 1), связанной с действием внешнего поля. Разлагая этот дополнительный член в ряд по степеням малой величины х, получим ~'е(х) ~) )еЩ ~) + х э Первый член является функцией только от времени и потому может быть опущен в лагранжевой функции (как полная производная по 1 от некоторой другой функции времени). Во втором члене — дое/дх есть внешняя «сила», действующая на систему в положении равновесия и являющаяся заданной функцией времени; обозначим ее как Г(г).
Таким образом, в потенциальной энергии появляется член — хг'(г), так что функция Лагранжа системы будет 83 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ тх х 2 2 Соответствующее уравнение движения есть тх + Йх = г'(с), или (22.1) х+ ш х = — Г(с), (22.2) где мы снова ввели частоту со свободных колебаний. Как известно, общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами получается в виде суммы двух выражений: х = хо + хы где хо— общее решение однородного уравнения, а х1 — частный интеграл неоднородного уравнения.
В данном случае хо представляет собой рассмотренные в предыдущем параграфе свободные колебания. Рассмотрим имеющий особый интерес случай, когда вынуждающая сила тоже является простой периодической функцией времени с некоторой частотой 'у; Г(с) = у соя(ус+ р). (22.3) Частный интеграл уравнения (22.2) ищем в виде х1 = б соя(ус + + р) с тем же периодическим множителем. Подстановка в уравнение дает: 6 = ~,1[т(сп2 — у2)); прибавляя решение однородного уравнения, получим общий интеграл в виде х = асов(со~+ сс)+,, соя(ус+ Р). (22.4) Произвольные постоянные а и сс определяются из начальных условий. Таким образом, под действием периодической вынуждающей силы система совершает движение, представляющее собой совокупность двух колебаний — с собственной частотой системы со и с частотой вынуждающей силы у. Решение (22.4) неприменимо в случае так называемого резонанса, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой системы.
Для нахождения общего решения уравнения движения в этом случае перепишем выражение (22.4) с соответствующим переобозначением постоянных в виде х = а соя (со1 + сс) +,, [соя (у1 + Р) — соя (пИ + Р)). При у -э сп второй член дает неопределенность вида О/О. Рас- 84 ГЛ. г' МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ крывая ее по правилу Лопиталя, получим х = асов(ш~+ сс) + 1вгп(ш1+ ~). (22.5) Таким образом, в случае резонанса амплитуда колебаний растет линейно со временем (до тех пор,пока колебания не перестанут быть малыми и вся излагаемая теория перестанет быть применимой).
Выясним еще, как выглядят малые колебания вблизи резонанса, когда 'у = со + в, где в — малая величина. Представим общее решение в комплексном виде, как х = Ае'"" + Вед"'з г~" = (А+ Ве гз)е'~~ (22,8) Так как величина А + Вевм мало меняется в течение периода 2тс/ш множителя е'"'", то движение вблизи резонанса можно рассматривать как малые колебания, но с переменной амплитудой 1). Обозначив последнюю через С, имеем С = )А + Ве"~!.
Представив А и В соответственно в виде аеех и Ье'б, получим С = а + 5~+ 2аЬсов(в~+ (3 — сг). (22.7) Таким образом, амплитуда колеблется периодически с частотой в, меняясь между двумя пределами (а — Ь| <С<а+Ь. Это явление носит название биений.
Уравнение движения (22.2) может быть проинтегрировано и в общем виде при произвольной вынуждающей силе Р(~). Это легко сделать, переписав его предварительно в виде — (х + 4шх) — 4аг(х + мпх) = — Р(г) или Ж вЂ” — 4шх = — г'(г), т (22.8) где введена комплексная величина с = х+ 4шх. (22.9) Уравнение (22.8) уже не второго, а первого порядка. Без правой части его решением было бы а = Аено' с постоянной А. Следуя общему правилу, ищем решение неоднородного уравнения в виде о = А(1)е™ и для функции А(1) получаем уравнение ') Меняется также «постоянный» член в фазе колебаний. 85 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ А(1) = — Е(2)е мо .
Интегрируя его, получим реш™ение уравнения (22.8) в виде с 5, = е' ' — Р'(~)е ™ й + ~о (22.10) Е = ™ (х2+ шзх2) = — (Ц~. (22.11) Подставив сюда ~Цоо)~~, получим искомую передачу энергии в виде со 2 Е = — Р(2)е ' с1с (22.12) она определяется квадратом модуля компоненты Фурье силы Г(ь) с частотой, равной собственной частоте системы. В частности, если внешняя сила действует лишь в течение короткого промежутка времени (малого по сравнению с 1~из), то можно положить е по' — 1.
Тогда Е = — Р(2) сй ') При этом, разумеется, сила Г(2) должна быть написана в вещественном виде. 0 где постоянная интегрирования Ц~ выбрана так, чтобы представлять собой значение с, в момент времени 1 = О. Это и есть искомое общее решение; функция х(2) дается мнимой частью выражения (22.10) (деленной на пз) '). Энергия системы, совершающей вынужденные колебания, разумеется, не сохраняется: система приобретает энергию за счет источника внешней силы. Определим полную энергию, передаваемую системе за все время действия силы (от — оо до +со), предполагая начальную энергию равной нулю.
Согласно формуле (22.10) (с нижним пределом интегрирования — оо вместо нуля и с с ( — оо) = О) имеем при 2 — э оо: со 2 )~( )~2 ь Е(2) — моС 12 С другой стороны, энергия системы как таковой дается выра- жением 86 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГЛ. У Задачи 1. Определить вынужденные колебания системы под влиянием силы Г(1), если в начальный момент 1 = 0 система покоится в положении равновесия (х = О, х = О), для случаев: а) Г = сопяа = Га. Го О т в е т; х = (1 — соя шг); действие постоянной силы приводит к шш смещению положения равновесия, вокруг которого происходят колебания. б) Г=па а О т в е т: х = (ш1 — я1пш1). тшя в) Г Га Го гг Ответ: х= ~е — соя ш1-~- — сйп ш$) . ш(шг + огг) ш г) Г = Гае сов бь Ответ: [(,г + г ог)г + 4 глг) + — (ш + и -г 6 ) вшш1+ е "' [(ш + гг — Д ) соя 61 — 2пб сйп 61) '( (при решении удобно писать силу в комплексном виде Г = Гое~ «юяп) 2.
Определить конечную амплитуду колеба- Г ний системы после действия внешней силы, меняющейся по закону Г = 0 при Г < О, Г = Гос)Т при 0 < $ < Т, Г = Г, при 1 > Т (рис. 24); до момента 1 = 0 система покоится в положении равновесия. Р е ш е н и е. В интервале времени 0 < Г < Т колебания, удовлетворяющие начальному условию, имеют вид 0 Т Рис.
24 я( ~ ' ~)' Га шТшг При Г > Т ищем решение в виде Го х = сг соя [ш(г — Т)) + сг ягп [ш(г — Т)) + шшг ' Из условий непрерывности х и х при 1 = Т находим Га Го сг = —, ягпшТ сг = (1 — соя шТ). тпТшг шТш При этом амплитуда колебаний г 2Го, шТ а=,,гсг+сгг = ягп —. Отметим, что она тем меньше, чем медленнее «включается» сила Го (т.е. чем больше Т). Этот результат заранее очевиден:он выражает собой тот факт, что кратковременная сила сообщает системе импульс [ ГЖ, не успев за зто время произвести заметного смещения. з 23 кОлеБАниЯ систем сО мнОГими степенЯми сВОБОДы 87 3.
Го же в случае постоянной силы ге, действующей в течение ограниченного времени Т (рис. 25). Р е ш е н и е можно найти яая и в задаче 2, но еще проще воспользоваться формулой (22.10). При 1 > Т имеем свободные колебания вокруг положения х = 0; при этом ге ют / — ют ~~ о (1 — т. тшт тп,/ аозт о квадрат же модуля Е дает амплитуду согласно формуле (Ц~ = а~ш~.
В результате находим Рис. 26 Рис. 25 Рис. 27 2Ро, шТ а= юп —. тшз 2 4. То же в случае силы, действующей в течение времени от нуля до Т по закону Р = Ре17Т (рис. 26). Р е ш е н и е. Тем же способом получим Ро а = ш Т вЂ” 2шТМ»шТ-~-2(1 — совшТ). Ттшз 5. То же в случае силы, меняющейся в течение времени от нуля до Т = 2п/ш по закону Р = Ре зш ш1 (рис. 27). Р е ш е н и е. Подставив в (22.10) Р(1) = Ро гйпш1 = — (е* ' — е ™м) 2т и проинтегрировав от нуля до Т,получим Реп а= тшз ' 8 23. Колебания систем со многими степенями свободы Теория свободных колебаний систем с несколькими (з) степенями свободы строится аналогично тому, как были рассмотрены в 8 21 одномерные колебания.
Пусть потенциальная энергия системы У как функция обобщенных координат д;(г = 1, 2,..., а) имеет минимум при т); = д;0. Вводя малые смещения (23.1) Хт' = Чт — %0 88 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ и разлагая по ним У с точностью до членов второго порядка, получим потенциальную энергию в виде положительно определенной квадратичной формы У + — ~ к1йх1хй, (23.2) ьй где мы снова отсчитываем потенциальную энергию от ее минимального значения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
