I.-Механика (1109678), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Затухающие колебания До сих пор мы всегда подразумевали, что движение тел происходит в пустоте или что влиянием среды на движение можно пренебречь. В действительности при движении тела в среде последняя оказывает сопротивление, стремящееся замедлить движение.
Энергия движущегося тела при этом в конце концов переходит в тепло или, как говорят, диссипируется. Процесс движения в этих условиях уже не является чисто механическим процессом, а его рассмотрение требует учета движения самой среды и внутреннего теплового состояния как среды, так и тела. В частности, уже нельзя утверждать в общем случае, что ускорение движущегося тела является функцией лишь от его координат и скорости в данный момент времени, т.е. не существует уравнений движения в том смысле, какой они имеют в механике. Таким образом, задача о движении тела в среде уже не является задачей механики. Существует, однако, определенная категория случаев, когда движение в среде может быть приближенно описано с помощью механических уравнений движения путем внедрения в них определенных дополнительных членов.
Сюда относятся колебания с частотами, малыми по сравнению с частотами, характерными для внутренних диссипативных процессов в среде. При выполнении этого условия можно считать, что на тело действует сила трения, зависящая (для заданной однородной среды) только от его скорости. Если к тому же эта скорость достаточно мала, то можно разложить силу трения по ее степеням.
Нулевой член разложения равен нулю, поскольку на неподвижное тело не действует никакой силы трения, и первый неисчезающий член пропорционален скорости. Таким образом, обобщенную силу трения у ю действуюшую на систему, совершающую одномерные малые колебания с обобщенной координатой т, можно написать в виде Утр— где сс - — положительный коэффициент, а знак минус показывает, что сила действует в сторону, противоположную скорости. Добавляя эту силу в правую часть уравнения движения, получим (ср.
(21.4)) (25.1) 102 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГЛ. У смысл рассматривать средние (за период) значения квадратов координаты и скорости, пренебрегая при усреднении изменением множителя е '. Эти средние квадраты, очевидно, пропорциональны е"лх(. Поэтому и энергия системы в среднем убывает по закону Е=Еое (25.5) где Ес --начальное значение энергии. Пусть теперь Л ) пзо. Тогда оба значения г вещественны, причем оба отрицательны. Общий вид решения р(-(л — ~)л — )~(4ч р(-(л4- ~л — (е(. (Из( Мы видим, что в этом случае, возникающем при достаточно большом трении, движение состоит в убывании (х~, т.е. в асимптотическом (при 1 — е оо) приближении к положению равновесия.
Этот тип движения называют апериодичесиим звшуханием. Наконец, в особом случае, когда Л = п(о, характеристическое уравнение имеет всего один (двойной) корень г = — Л. Как известно, общее решение дифференциального уравнения имеет в этом случае вид х = (с1 + сз1)е (25.7) с((ь = ссы ° (25.9) Поэтому выражения (25.8) могут быть написаны в виде произ- водных д1з дт, (25.10) ') См. т. У, «Статистическая физика», Э 121.
Это — особый случай апериодического затухания. Оно тоже не имеет колебательного характера. Для системы со многими степенями свободы обобщенные силы трения, соответствующие координатам х;, являются линейными функциями скоростей вида 1(тр —— — ~~1 а(а хм (25.8) ь Из чисто механических соображений нельзя сделать никаких заключений о свойствах симметрии коэффициентов (х(ь по индексам г и А.
Методами же статистической физики можно показать '), что всегда 103 1 25 ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ от квадратичной формы Г = — ,'~ щ,х,х~, (25.11) ьь называемой диссипативной функцией Силы (25.10) должны быть добавлены к правой части уравнений Лагранжа (25.12) Диссипативная функция имеет сама по себе важный физический смысл — ею определяется интенсивность диссипации энергии в системе. В этом легко убедиться, вычислив производную по времени от механической энергии системы.
Имеем Поскольку Г -- квадратичная функция скоростей, то в силу теоремы Эйлера об однородных функциях сумма в правой части равенства равна 2Г. Таким образом, дЕ/дХ = — 2Г, (25. 13) т.е. скорость изменения энергии системы дается удвоенной диссипативной функцией. Так как диссипативные процессы приводят к уменьшению энергии, то должно быть всегда Г ) О, т.е. квадратичная форма (25.11) существенно положительна. Уравнения малых колебаний при наличии трения получаются добавлением сил (25.8) в правую часть уравнений (23.5): ~тхьть + ~ йхьть = — ~~~ п,.Ать.
(25.14) А А ь Положив в этих уравнениях хь = Аье'~, получим по сокращении на е"Х систему линейных алгебраических уравнений для постоянных Аь Хт,Ага + а„ьг+ И,ь)АА = О. (25.15) ь Приравняв нулю определитель этой системы, найдем характеристическое уравнение, определяющее значения г: ~тхьг~+ а,.~г+ Иц,~ = О. (25.16) 2 26 ВынУжДенные кОлеБАниЯ НРи нАличии тРениЯ 105 х = 5соэ(уС+ 5). (26.5) Выражение (26.3) для амплитуды 5 вынужденного колеба- ния хотя и возрастает при приближении частоты 'у к соо, но не обращается в бесконечность, как это было при резонансе в отсут- ствие трения.
При заданной амплитуде силы 1 амплитуда коле- бания максимальна при частоте 'у = со~~ — 2Л; при Л << шо это 2, значение отличается от ше лишь на величину второго порядка малости. Рассмотрим область вблизи резонанса. Положим 'у = спо+ с, где е — малая величина; будем также считать, что Л « шо. Тогда в (26.2) можно приближенно заменить: 'у сто = (у+ соо)(у — соо) 2соос, 2гЛу 2гЛсоо, так что В=— 2 ос(с — СЛ) со« (26.6) ФК 5 = Л. 2пиооу'с»+ Л' с (26.7) Отметим характерную особенность хода изменения разности фаз 5 между колебанием и вынуждающей силой при изменении частоты последней.
Эта разность всегда отрицательна, т.е. колебание «запаздывает» относительно внешней силы. Вдали от резонанса, со стороны у < спо, 5 стремится к нулю, а со стороны у > сое — к значению — и. Изменение 5 от нуля до — тс происходит в узкой (ширины Л) области частот, близких к спо; через значение — тс/2 разность фаз проходит при у = соо.
Отметим в этой связи, что в отсутствие трения изменение фазы вынужденного колебания на величину и происходит скачком при 'у = шо (второй член в (22.4) меняет знак); учет трения «размазывает» этот скачок. При установившемся движении, когда система совершает вынужденные колебания (26.5), ее энергия остается неизменной. В то же время система непрерывно поглощает (от источника внешней силы) энергию, которая диссипируется благодаря наличию трения. Обозначим через 1('у) количество энергии, поглощаемой в среднем в единицу времени, как функцию частоты внешней силы. Согласно (25.13) имеем 1(у) = 2Т, 106 ГЛ. У МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ где 7 среднее (по периоду колебания) значение диссипативной функции.
Для одномерного движения выражение (25.11) диссипативной функции сводится к Г = сстэ/2 = Лтхэ. Подставив сюда (26.5), получим Г = Лтб~у~ вш (уй+ Ь). Среднее по времени значение квадрата синуса равно 1/2, поэтому 1(у) = ЛтЬ~у~. (26.8) Вблизи резонанса, подставляя амплитуду колебания из (26.7), имеем ж = —,','„ (26.9) Такой вид зависимости поглощения от частоты называется дисперсионным. Полушириной резонансной кривой (рис. 31) называют значение ~с~, при котором величина 1(е) уменыпается 171 (О) вдвое по сравнению с ее макси- мальным значением при е = О.
Из формулы (26.9) видно, что в данном случае эта ширина совпадает с показателем затухания Л. Высота же максимума 1(0) = — 0 Рис. 31 обратно пропорциональна Л. Таким образом,при уменьшении показателя затухания резонансная кривая становится уже и выше, т.е. ее максимум становится более острым.
Площадь же под резонансной кривой остается при этом неизменной. Последняя дается интегралом 1(у) ду = 1(е) пе. о — сто Поскольку 1(е) быстро убывает при увеличении ~е~, так что область больших ~ с~ все равно не существенна, можно при интегрировании писать 1(с) в виде (26.9), а нижний предел заменить на — оо.
Тогда (26.10) 107 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС 1 27 Задача Определить вынужденные колебания при наличии трения под действием внешней силы / = /ее" совуа Р е ш е н и е. Решаем уравнение движения в комплексном виде х+ 2Лх т шех = — е з Уа аы тс гп после чего отделяем вещественную часть решения. В результате получаем вынужденное колебание в виде х = Ье~~ сов (уг + Ь), где (гоз + сг2 у2 + 2пЛ)2 +,$у2(гг+ Л)2 2у(сс+ Л) ш2 у2+п2+2ггЛ' $ 27. Параметрический резонанс Существуют такие незамкнутые колебательные системы, в которых внешнее воздействие сводится к изменению со временем ее параметров ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
