I.-Механика (1109678), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Параметрами одномерной системы являются коэффициенты гп и Й в функции Лагранжа (21.3); если они зависят от времени, то уравнение движения гласит: — (тх) + их = О. (27.1) Путем введения вместо Ь новой независимой переменной т согласно пт = с)Ь/т(Ь) это уравнение приводится к виду — + т)сх = О.
Нтз Поэтому фактически, без всякого органичения общности, достаточно рассмотреть уравнение движения вида — „*, + го2(Ь)*= О, (27.2) которое получилось бы из (27.1) при тп = сопвс. Вид функции со(Ь) задается условиями задачи; предположим, что эта функция периодическая с некоторой частотой у (и периодом Т = 2п/у). Это значит, что ) Простым примером такого рода является маятник, точка подвеса которого совершает заданное периодическое движение в вертикальном положении (см. задачу 3).
108 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ со(1+ Т) = со(1), а потому и все уравнение (27.2) инвариантно по отношению к преобразованию 1 -+ 1 + Т. Отсюда следует, что если х(1) есть решение уравнения, то и функция х(г + Т) тоже есть рептение. Другими словами, если х1(г) и х2(с) два независимых интеграла уравнения (27.2), то при замене 1 — э 1+ Т они преобразуются линейным образом друг через друга. При этом можно ') выбрать х1 и х2 таким образом, чтобы их изменение при замене 1 на 1+ Т сводилось просто к умножению на постоянный множитель х1(1+Т) = )31х1(2), х2(с+Т) = )12х2(ь).
Наиболее общий вид функций, обладающих таким свойством, есть х1(~) = )11 П1(2), х2(~) = р2 П2(2), (27.3) где П1(г) и П2(г) — чисто периодические функции времени (с периодом Т). Постоянные )ь1 и р2 в этих функциях должны быть связаны друг с другом определенным соотношением. Действительно, умножив уравнения х1+ ш (1)х1 = О, х2 + ш (1)х2 = О соответственно на х2 и х1 и вычтя их почленно одно из другого, получим (~ Х1Х2 — Х2Х1 = — (Х1Х2 — Х1Х2) = О о1 или Х1Х2 — Х1Х2 = СОПВФ. (27.4) Но при любых функциях х1(2) и х2(8) вида (27.3) выражение в левой части этого равенства умножается на р.1)12 при изменении аргумента 1 на 1 + Т. Поэтому ясно, что соблюдение равенства (27.4) во всяком случае требует, чтобы было )т1Р2 = 1.
(27.5) Дальнейшие заключения о постоянных )11, р2 можно сделать, исходя из факта вещественности коэффициентов уравнения (27.2). Если х(2) есть какой-либо интеграл такого уравнения, ') Этот выбор эквивалентен приведению к диагональному виду матрицы линейных преобразований хг(1) и тз(1), что требует решения соответствующего секулярного квадратного уравнения. Мы предполагаем, что корни этого уравнения не совпадают. 100 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС 1 27 то и комплексно сопряженная функция х*(с) должна удовлетворять тому же уравнению.
Отсюда следует, что пара постоянных )с» сс2 должна совпадать с парой сс~, р2, т.е. должно быть либо )сс — — р2, либо ссс и р.2 вещественны. В первом случае, учитывая (27.5), имеем )сс — — 17сссм те. ~)сс[2 = [Сс2[2 = 1; постоянные )сс и р2 по модулю равны единице. Во втором же случае два независимых интеграла уравнения (27.2) имеют вид хс(ь) = )с~ Пс(ь), х2(ь) = Сс ~ П2(ь) (27.6) с отличным от единицы положительным или отрицательным вещественным числом )с. Одна из этих функций (первая или вторая при ~сс~ ) 1 и ~)с~ < 1) экспоненциально возрастает со временем. Это значит, что состояние покоя системы (в положении равновесия х = 0) будет неустойчивым: достаточно сколь угодно слабого отклонения от этого состояния, чтобы появившееся смещение х стало быстро возрастать со временем.
Это явление называется параметрическим резонансом. Обратим внимание на то, что при строго равных нулю начальных значениях х и х они оставались бы равными нулю и в дальнейшем в отличие от обычного резонанса Я 22), в котором возрастание смещения со временем (ссропорциональное 2) происходит и от равного нулю начального значения. Выясним условия возникновения параметрического резонанса в важном случае, когда функция ш(с) мало отличается от некоторой постоянной величины шо и является простой периодической функцией со2[2) = сосо(1+ Ь сову2), (27.7) где постоянная )с « 1 (мы будем считать )с положительной, чего всегда можно добиться надлежащим выбором начала отсчета времени).
Как мы увидим ниже, наиболее интенсивным образом параметрический резонанс возникает, если частота функции со(с) близка к удвоенной частоте соо. Поэтому положим у = 2соо + е, где е « соо. Решение уравнения движения ') х+ соо~[1+ Ьсов(2соо+ е)2]х = 0 (27.8) ) Уравнение такого вида (с произвольными у и Ь ) называется в математической физике уравнением Матье'. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГЛ. Ц будем искать в виде т = а(Ь) соэ(шо+ — )2+ Ь(Ь)в1п(шо+ — )~, (27.9) сов(шо+ -12 сов (2шо + с)Ь = 2) = — сов(Зшо+ — )Ь+ — сов(шо+ -)Ь 2 (, 2) 2 (, 2) и т.п. и в соответствии со сказанным выше опустим члены с частотами З(шо + е/2).
В результате получим — (2а+ Ье+ 'Ь) шо вш(а~о+ — )Ь + + (2Ь вЂ” ае+ "а)азосоэ(шо+ -)Ь = О. Выполнение этого равенства требует одновременного обращения в нуль коэффициентов при каждом из множителей э1п и соэ. Отсюда получаем систему двух линейных дифференциальных уравнений для функций а(2) и Ь(Ь), Следуя общим правилам, ищем решение, пропорциональное е'~. Тогда за+ — (с+ ')Ь = О, — (с — ") а — эЬ = О, и условие совместности эти двух алгебраических уравнений дает 1[(Ьа0) (27.10) где а(1) и Ь(1) медленно (по сравнению со множителями сов и э1п) меняющиеся функции времени.
Такой вид решения, разумеется,не является точным. В действительности функция т(г) содержит также члены с частотами, отличающимися от сто+ с,12 на целое кратное от 2соо+ с; эти члены, однако, высшего порядка малости по Ь, и в первом приближении ими можно пренебречь (см. задачу 1). Подставим (27.9) в (27.8) и произведем вычисления, сохраняя лишь члены первого порядка по с; при этом предположим, что а еа, Ь сЬ (правильность этого предположения в условиях резонанса подтвердится результатом). Произведения тригонометрических множителей следует разложить в суммы ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС 1 27 Условие возникновения параметрического резонанса заключается в вещественности в (т.е.
з2 ) О) '). Таким образом, резонанс имеет место в интервале Ь ш с ( с ( Ь ш е (27.11) вокруг частоты 2шо '). Ширина этого интервала пропорциональна 6, и такого же порядка осуществляющиеся в нем значения показателя усиления колебаний в. Параметрический резонанс имеет место также при частотах у изменения параметра системы, близких к значениям вида 2ше,(п, где п — - любое целое число.
Однако ширина резонансных областей (областей неустойчивости) с увеличением и быстро уменыпается как Ь" (см. задачу 2). Так же уменьшаются и значения показателя усиления колебаний в них. Явление параметрического резонанса существует и при наличии слабого трения в системе, но область неустойчивости при этом несколько сужается. Как мы видели в 2 25, трение приводит к затуханию амплитуды колебаний по закону е лг. Поэтому усиление колебаний при параметрическом резонансе происходит, как е(' )~ (с положительным з, даваемым решением задачи без трения), а граница области неустойчивости определяется равенством з — Л = О. Так, используя з из (27.10), получим для резонансной области вместо (27.11) неравенства — г а ~2) — о Дь ~2$ — о .
ог1н Обратим внимание на то, что при этом резонанс оказывается возможным не цри сколь угодно малой амплитуде Л, а лишь начиная с определенного «порога» Ль, равного в случае (27.12) 4Л ЛЬ = —. шо Можно показать, что для резонансов вблизи частот 2шо,7п величина порога Ьь пропорциональна Л~~", т.е. возрастает с увеличением и. ') Постоянная р в (27.6) связана с э соотношением ц = — е'Я7ме (при замене 1 на 1+ 2п/2ше сов и э1п в (27.9) меняют знак). м ) Если интересоваться лишь границами области резонанса (не интересуясь выражением Лля е внутри нее), то можно упростить вычисления, заметив, что на этих границах э = О, т.е, коэффициенты а и Ь в (27.9) постоянны; при этом мы сразу получим значение с = шсое/2, отвечающие границам области (27.11).
112 ГЛ. У МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ Задачи 1. Определить границы области неустойчивости при резонансе вблизи у = 2ша с точностью до величин порядка Ьг. Р е ш е н и е. Ищем решение уравнения (27.8) в виде х = аа сое (ша + г/2) $ + Ьа яп (ша + е/2) 1+ -~- аг соз З(ша -~- с/2) Ф -~- 6, яп 3(соа,'- с/2)1, учитывая в нем (по сравнению с (27.9)) также и члены следующего поряд- ка по Ь.
Интересуясь лишь границами области неустойчивости, предполага- ем коэффициенты аа, Ьа, ам Ьг постоянными (в соответствии с замечанием, сделанным в сноске на с. 111). При подстановке в уравнение (27.8) произве- дения тригонометрических функций разлагаем в суммы, опуская при этом члены с частотами 5(ша + е/2), которые нужны были лишь в еще более высоком приближении. Получаем [- — аа(шаг+ — ) + ааа -~- аг~ сов (ша+ — )С+ 4) 2 2 ) 1 2) + [ — Ьа (шаг + — ) — Ьа + Ьг~ эш (ша + — )С+ 4/ 2 2 ) ( 2) Ьша г 1 ( с) г + [ аа — 8шааг соз 3 (соа + — ) 1+ Ьша г г 1. ( е) + [ Ьа — 8соаЬг згпЗ(ша+ — 11= О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
