I.-Механика (1109678), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Из первой формулы (31.3) видно, что если т и Й (в данный момент времени) взаимно перпендикулярны при каком-либо выборе начала координат О, то они (т.е. 'Ч' и Й') взаимно перпендикулярны и при определении по отношению к любому другому началу О'. Из формулы (31.2) видно, что в этом случае скорости и всех точек тела лежат в одной и той же плоскости плоскости, перпендикулярной к Й. При этом всегда можно выбрать такое начало О' '), скорость т" которого равна нулю, что движение твердого тела (в данный момент) будет представлено ') Оно может, конечно, находиться вне объема тела. 131 ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ 1 32 как чистое вращение вокруг оси, проходящей через 0~. Эту ось называют мгновенной осью вращения тела ').
В дальнейшем мы будем всегда предполагать, что начало движущейся системы координат выбрано в центре инерции тела, так что и ось вращения тела проходит через этот центр. При движении тела меняются, вообще говоря, как абсолютная величина Й, так и направление оси вращения. 3 32. Тензор инерции Для вычисления кинетической энергии твердого тела рассмотрим его как дискретную систему материальных точек: '=Е; где суммирование производится по всем точкам, составляющим тело.
Здесь и ниже мы опускаем индексы, нумерующие эти точки, с целью упрощения записи формул. Подставив сюда (31.2), получим Т = у ™вЂ” ( ч" + [Йг]) = у — Ъ' + ~ т'Ч[йг] + ~ — [йг] . Скорости Ч и й одинаковы для всех точек твердого тела. Поэтому в первом члене Г2/2 выносится за знак суммы, а сумма т есть масса тела, которую мы будем обозначать буквой р.. Второй член запишем так: шЧ[йг] = 2 тпг[КЙ] = [чй] тг. Отсюда видно, что если начало движущейся системы координат выбрано, как условлено, в центре инерции, то этот член обращается в нуль, так как в этом случае 2,тг = О. Наконец, в третьем члене раскрываем квадрат векторного произведения и в результате находим Т = " + — ~ пег~ — (Йг)~).
(32.1) Таким образом, кинетическая энергия твердого тела может быть представлена в виде суммы двух частей. Первый член в (32.1) есть кинетическая энергия поступательного движения— 11 ) В общем же случае не взаимно перпендикулярных направлений ~г и й начало координат можно выбрать таким образом, чтобы Ъ' и й стали параллельными, т.е. движение (в данный момент времени) будет совокупностью вращения вокруг некоторой оси и поступательного перемещения вдоль этой же оси. 132 ГЛ.
У1 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА она имеет такой вид, как если бы вся масса тела была сосредоточена в его центре инерции. Второй член есть кинетическая энергия вращательного движения с угловой скоростью Й вокруг оси, проходящей через центр инерции. Подчеркнем, что возможность такого разделения кинетической энергии на две части обусловлена выбором начала связанной с телом системы координат именно в его центре инерции.
Перепишем кинетическую энергию вращения в тензорных обозначениях, т.е. через компоненты х,, й, векторов г, й «): Т„р —— -~ п«1Й, х~ — Й;х;Йьхь) = — тЯ;й~бз~х~х — й;й~х;х~) = — йзй~ ~ь т(ха~бей — хзх~). Здесь использовано тождество й; = бгьйь, где бгь единичный тензор (компоненты которого равны единице при г = а и нулю при г ~ к).
Введя тензор 4ь = ~;т (х~~б«»ь — х,хь) (32.2) получим окончательное выражение для кинетической энергии твердого тела в виде (32.3) Функция Лагранжа твердого тела получается из (32.3) вычитанием потенциальной энергии Т, = " + -'1,„й,й„- Г (32.4) Потенциальная энергия является в общем случае функцией шести переменных, определяющих положение твердого тела, например, трех координат Х,У, Я центра инерции и трех углов, определяющих ориентацию движущихся осей координат относительно неподвижных. Тензор 4ь называется тензором моментов инерции или просто гаензором инерции тела.
Как ясно из определения (32.2), ') В этой главе буквами «, «' к обозначаются теизорные индексы, пробегшошие значения 1, 2, 3. При этом везде применяется извесное правило суммирования, согласно которому знаки сумм опускаются, а по всем дважды повторяющимся (так называемым «немым») индексам подразумевается суммирование по значениям 1, 2, 3; так, А,В, = АВ, А~~ = А~А~ = А и т.д. Обозначение немых индексов можно, очевидно, менять произвольным образом (лишь бы оно не совпало с обозначением других фигурирующих в данном выражении тензорных индексов).
133 ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ он симметричен, т.е. 1ь = 1вп (32.5) Выпишем для наглядности его компоненты в явном виде в следующей таблице: Ят(у + г ) — 2 тху — 2,тхг 1ъ = — ~ тух ) т(х +г ) — ) туг (326) — 2,тех — 2,тгу 2 т(х2 + у2) Компоненты 1, 1кю 1„иногда называют моментами инерции относительно соответствующих осей. Тензор инерции, очевидно, аддитивен — моменты инерции тела равны суммам моментов инерции его частей. Если твердое тело можно рассматривать как сплошное, то в определении (32.2) сумма заменяется интегралом по объему тела: 1ъ = р(х~~б,ь — х;хь) дК (32.7) Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор инерции может быть приведен к диагональному виду путем соответствующего выбора направлений осей хм х2, хз. Эти направления называют главными осями инерции, а соответствующие значения компонент тензора главными моментами инерЦии; обозначим их как 1И 12, 12.
ПРи таком выбоРе осей хм х2, хз вращательная кинетическая энергия выражается особенно просто: ~вр (11~1 + 12П2 + 13П~). (32.8) Отметим, что каждый из трех главных моментов инерции не может быть больше суммы двух других. Так, 11+12 = 2 т(х1+х2+ 2хз) > 2 т(х1+х2) = 1з. (32.9) Тело, у которого все три главных момента инерции различны, называют асимметрическим волчком. Если два главных момента инерции равны друг другу, 11 = = 12 ~ 1з, то твердое тело называют симметрическим волчком. В этом случае выбор направления главных осей в плоскости х1х2 произволен. Если же все три главных момента инерции совпадают, то тело называют шаровым волчком.
В этом случае произволен вы- 134 ГЛ. У1 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА бор всех трех главных осей инерции: в качестве их можно взять любые три взаимно перпендикулярные оси. Нахождение главных осей инерции очень упрощается, если твердое тело обладает той или иной симметрией; ясно, что положение центра инерции и направления главных осей инерции должны обладать той же симметрией. Так, если тело обладает плоскостью симметрии, то центр инерции должен лежать в этой плоскости. В ней же лежат две главные оси инерции, и третья перпендикулярна к ней. Очевидным случаем такого рода является система частиц, расположенных в одной плоскости. В этом случае существует простое соотношение между тремя главными моментами инерции.
Если плоскость системы выбрана в качестве плоскости х1т2, то поскольку для всех частиц хз = О, имеем 11 = 2„тт2~, 12 =2 тг1, 12 = 2„т(х1, +х2~), так что ТЗ .~ 1 + .~ 2. (32.10) Если тело обладает осью симметрии какого-либо порядка, то центр инерции лежит на этой оси. С ней же совпадает одна из главных осей инерции, а две другие перпендикулярны к ней.
При этом если порядок оси симметрии выше второго, то тело является симметрическим волчком. Действительно, каждую главную ось (перпендикулярную к оси симметрии) можно повернуть тогда на угол, отличный от 180', т.е. выбор этих осей становится неоднозначным, а это возможно лишь в случае симметрического волчка. Особым случаем является система частиц, расположенных вдоль одной прямой линии. Если выбрать эту прямую в качестве оси хз, то для всех частиц х1 = х2 = О, и потому два главных момента инерции совпадают, а третий равен нулю: 11 =12=~ тхз, 1з=О. (32.11) Такую систему называют ротатором. Характерной особенностью ротатора в отличие от общего случая произвольного тела является то, что он имеет всего две (а не три) вращательные степени свободы, соответствующие вращениям вокруг осей х1 и х2; говорить же о вращении прямой вокруг самой себя, очевидно, не имеет смысла. Наконец, сделаем еще одно замечание по поводу вычисления тензора инерции. Хотя мы определили этот тензор по отноше- 135 ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ з 32 Задачи 1.
Определить главные моменты инерции для молекул, рассматриваемых как системы частиц, находящихся на неизменных расстояниях друг от друга, в следующих случаях: а) Молекула из атомов, расположенных на одной прямой. Ответ; ~хг т2 12 = 12 = — ~т ~М ь, 12 = 0 зйз ~Ь где т — массы атомов,1,2 — расстояние между ато- т-- — хг мами а и Ь; суммирование производится по всем парам атомов в молекуле (причем каждая пара значений а, Ь входит в сумму по одному разу). Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
