I.-Механика (1109678), страница 26
Текст из файла (страница 26)
11айти условие,при котором вращение волчка вокруг вертикальной оси будет устойчивым. Р е ш е н и е. При В = 0 оси тз и Я совпадают, так что Мз = М, Е' = О. Вращение вокруг этой оси будет устойчивым, если значение В = 0 отвечает минимуму функции 17,ф(0). При малых В имеем откУда находим Условие Мзг > 41,'1«Я1 или 41,' пя1 Пз> уг з 3. Определить движение волчка в случае, когда кинетическая энергия его собственного вращения велика по сравнению с энергией в поле тяжести (так называемый «быстрый» волчок). Р е ш е н и е.
В первом приближении, если пренебречь полем тяжести, происходит свободная прецессия оси волчка вокруг направления момента М (отвечающая в данном случае нутации волчка); она происходит согласно г В, а б 150 ГЛ. »'1 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА (33.5) с угловой скоростью М й„з, = —,. (1) р В следующем приближении появляется медленная прецессия момента М вокруг направления вертикали (рис. 50). Для определения скорости этой прецессии усредним точное уравнение движения (34.3) 4М сМ по периоду нутвции.
Момент сил тяжести, действующих на волчок, равен К = Р1(пзк), где пз — единичный вектоР в напРавлении оси волчка. Из соображений симметрии очевидно, что результат усреднения К по «конусу нутации» сводится к замене вектора пз его проекцией соз и М/М на направление М (и — угол между М и осью волчка). Таким образом, получим уравнение ИМ р1 «11 М = — соз сг — [ЕМ). Оно означает,что вектор М прецессирует вокруг направления И (вертикали) со средней угловой скоростью — ц1соз сг (2) Рис.
50 (малой по сравнению с й„„,). В рассматриваемом приближении входя- щие в формулы (1) и (2) величины М и соз сг постоянны (хотя и не являются, строго говоря, интегралами движения). Они связаны, с той же точностью, со строго сохраняющимися величинами Ь и Мз соотношениями М /соз и зш п1 Мз = Мсозс«, Š— ( -> 2 1, 1з Х,',) 3 36. Уравнения Эйлера Написанные в 3 34 уравнения движения относятся к неподвижной системе координат: производные с(Р/с(з и «1М/«11 в уравнениях (34.1) и (34.3) представляют собой изменения векторов Р и М по отношению к атой системе. Между тем, наиболее простая связь между компонентами вращательного момента М твердого тела и компонентами угловой скорости имеет место в подвижной системе координат с осями, направленными по главным осям инерции.
Для того чтобы воспользоваться втой связью, необходимо предварительно преобразовать уравнения движЕния к пОдвижным кООрдинатам Х1, Х2, Хз. 1 36 УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА — + [ОА). (36.1) С помощью этой общей формулы мы можем сразу переписать уравнения (34.1) и (34.3) в виде + [ПР) = Г, + [ПМ) = К. [36.2) Поскольку дифференцирование по времени производится здесь в подвижной системе координат, то мы можем непосредственно спроецировать уравнения на оси системы, написав ( 1'Р) а, ( 1'М) 1М, где индексы 1, 2, 3 означают компоненты по осям х1, х2, хз. При этом в первом уравнении заменяем Р на 11Ч и получаем И [ + П2рЗ Па~2) = г1~ I Л'~ 1, 41 ц [ — + Пзрт — П1рз) = Г2 / Л'з [, 41 111 +П1г2 П2г1) =гз ° I й1'3 1, М Предполагая оси х1, х2, хз выбранными по главным осям инерции, во втором из уравнений (36.2) пишем М1 = 1101 и т.д.
11 4 + [13 — 22)П2П3 = %1 12 11 + (11 .13)113111 = К2~ (36.4) Ь „;+% — 11)П1П2 = Кз. Уравнения (36.4) называются уравнениями Эйлера. (36.3) Пусть аА/Ж скорость изменения какого-либо вектора А по отношению к неподвижной системе координат. Если по отношению к вращающейся системе вектор А не изменяется, то его изменение относительно неподвижной системы обусловлено только вращением, и тогда — = [йА] (см. 3 9, где было указано, что такие формулы, как (9.1), (9.2), справедливы для любого вектора).
В общем случае к правой части этого равенства надо добавить скорость изменения вектора А по отношению к подвижной системе; обозначив эту скорость, как д'А/<й, получим 152 ГЛ. р'1 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА При свободном вращении К = О и уравнения Эйлера принимают вид 1р — 12Й Й + 1 2 3 = (36.5) ~й4+ 12 — 11Й й ,и 1, 1 2 = В качестве примера применим эти уравнения к уже рассматривавшемуся нами свободному вращению симметрического волчка. Положив 11 = 12р имеем из третьего уравнения йз = О, т.е. Йз = сопвФ.
После этого первые два уравнения напишем в виде йг = — прй2, Й2 = шйы где введена постоянная величина пр=йз ' (36.6) Умножив второе уравнение на г и сложив с первым, получим — (Й1 + гй2) = гШ(Й1 + гй2), Н откуда й1+ гй2 = Ае'~~, где А -- постоянная; последнкпо можно считать вещественной (это сводится к надлежащему выбору начала отсчета времени), и тогда Й2 = А сов ар1, Й2 = А в1ппр1. (36.7) Этот результат показывает, что проекция угловой скорости на плоскость, перпендикулярную к оси волчка, вращается в этой плоскости с угловой скоростью ш, оставаясь постоянной по ве° рррЩрЩ=р).п, «р р„«р и,» тоже постоянна, то и весь вектор Й равномерно вращается с угловой скоростью ш вокруг оси волчка, оставаясь неизменным по величине.
Ввиду связи М1 = 11йм М2 = 12Й2, Мз = 1зйз между компонентами векторов й и М такое же движение (по отношению к оси волчка) совершает, очевидно, и вектор момента М. Полученная картина представляет собой, разумеется, лишь другой аспект того же движения волчка, которое уже было рассмотрено в 3 ЗЗ и 35 по отношению к неподвижной системе координат. В частности, угловая скорость вращения вектора М (ось Я на рис. 48) вокруг направления хэ совпадает, в терминах эйлеровых углов, с угловой скоростью — ~>.
С помощью уравнений АСИММЕТРИЧЕСКИЙ ВОЛЧОК 153 з 37 (35.4) имеем Мсозв /1 11 Ф= — фсоз9 = Мсоз9 ~ — — — ) 1з 1з й или в согласии с (36.6), 1з — й 1з 3 37. Асимметрический волчок Применим уравнения Эйлера. к более сложной задаче о свободном вращении асимметрического волчка, у которого все три момента инерции различны. Для определенности будем считать, что (37.1) 13 ~ "2 ~ 11 ° Два интеграла уравнений Эйлера известны заранее. Они даются законами сохранения энергии и момента и выражаются равенствами 11%1+ 12П2+ 13Пз = 2Е 12сзз + 121з2 + 12сзз = М2 (37. 2) где энергия Е и абсолютная величина момента М вЂ” заданные постоянные.
Эти же два равенства, выраженные через компоненты вектора М, имеют вид (37.3) (37.4) Уже отсюда можно сделать некоторые заключения о характере движения волчка. Для этого заметим, что уравнения (37.3) и (37.4) представляют собой, геометрически в осях М1, Мз, Мз, уравнения соответственно поверхности эллипсоида с полуосями ,772Е11, 1772 Е12,,ЛЕ13 и сферы радиусом М. При перемещении вектора М (относительно осей инерции волчка) его конец движется вдоль линии пересечения указанных поверхностей (на рис. 51 изображен ряд таких линий пересечения эллипсоида со сферами различных радиусов).
Самое наличие пересечения обеспечивается очевидными неравенствами (37.5) 2Е11 < М < 2Е1з 154 ГЛ. У1 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА Рис. 51 геометрически означающими, что радиус сферы (37.4) лежит между наименыпей и наибольшей из полуосей эллипсоида (37.3). Проследим за изменением характера этих «траекторий» конца вектора М ') по мере изменения величины М (при заданной энергии Е). Когда Мэ лишь немногим превышает 2Е11, сфера пересекает эллипсоид по двум замкнутым маленьким кривым, окружающим ось т1 вблизи соответствующих двух полюсов эллипсоида (при М~ — + 2Е11 эти кривые стягиваются в точки-- полюсы).
По мере увеличения М кривые расширяются, а при М~ = 2Е1з превращаются в две плоские кривые (эллипсы), пересекающиеся друг с другом в полюсах эллипсоида на оси хэ. При дальнейшем увеличении М~ вновь возникают две раздельные замкнутые траектории, но окружающие уже полюсы на оси хз, при М~ — + 2Е1з они стягиваются в эти две точки. Отметим, прежде всего, что замкнутость траекторий означает периодичность перемещения вектора М по отношению к телу волчка; за время периода вектор М описывает некоторую коническую поверхность, возвращаясь в прежнее положение.
Далее отметим существенно различный характер траекторий, близких к различным полюсам эллипсоида. Вблизи осей т1 и хз траектории расположены целиком в окрестности полюсов, и ) Аналогичные кривые, описываемые концом вектора й, называются пюлодиами. АСИММЕТРИЧЕСКИЙ ВОЛЧОК 155 1 37 М ) 2Е12 1в обратном случае во всех следующих ниже формулах надо переставить индексы 1 и 3). Вводим вместо 1 и Й2 новые пере- менные 1г113 — 1г) 2Е1з — Мг (37.8) и положительный параметр )з ( 1 согласно 11г — 1з)(2Е1з — М ) (1з — 1г ) (Мг — 2Е1з ) (37.9) Тогда получим Нз т= ,'О=*зз з *) О а траектории, проходящие вблизи полюсов на оси х2, в своем дальнейшем ходе удаляются на большие расстояния от этих точек. Такое различие соответствует разному характеру устойчивости вращения волчка вокруг его трех осей инерции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
