I.-Механика (1109678), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Отправным пунктом при решении этого вопроса снова является принцип наименьшего действия, применимость которого не ограничена никаким выбором системы отсчета; вместе с ним остаются в силен уравнения Лагранжа (39.2) Однако функция Лагранжа уже не имеет вида (39.1), и для ее нахождения необходимо произвести соответствующее преобразование функции Ьо.
Это преобразование мы произведем в два приема. Рассмотрим сначала систему отсчета Л',которая движется относитель- 1 39 дВижение В неинеРциАльнОЙ системе ОтсчетА 167 но инерциальной системы Ло поступательно со скоростью Ч(г). Скорости чо и ч' частицы относительно систем Кв и Л' связаны друг с другом соотношением чо = ч + ~(г). (39.3) Подставив это выражение в (39.1), получим функцию Лагранжа в системе К а Ь~= ™~ +тч М+™вЂ” ~ — Г 2 2 Но $'2(г) есть заданная функция времени; она может быть представлена как полная производная по 1 от некоторой другой функции, и потому третий член в написанном выражении может быть опущен.
Далее, ч~ = дг'/П1, где г' — радиус-вектор частицы в системе координат Л', поэтому Р тЧЯч' = т'17 — = — (т'~1г') — тг' —. п1 сЫ ~й Подставив это в функцию Лагранжа и снова опустив полную производную по времени, получим окончательно: а ь' = — тг1Г(г)г' — У, (39.4) где гг' = ЫЧ/П1 -- ускорение поступательного движения системы отсчета Х~. Составляя с помощью (39.4) уравнение Лагранжа, получим (39.5) Мы видим, что в смысле своего влияния на уравнения движения частицы ускоренное поступательное движение системы отсчета эквивалентно появлению однородного силового поля, причем действующая в этом поле сила равна произведению массы частицы на ускорение гг' и направлена в противоположную этому ускорению сторону.
Введем теперь еще одну систему отсчета, Л,которая имеет общее с системой К' начало, но вращается относительно нее с угловой скоростью Й(1); по отношению же к инерциальной системе Ло система .К совершает как поступательное, так и вращательное движение. Скорость ч' частицы относительно системы К ' складывается из ее скорости н относительно системы Л и скорости [Йг) ее вращения вместе с системой К: ч = ч + ~Йг) 168 ГЛ. У1 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА (радиус-векторы г и г' частицы в системах Ки .К' совпадают).
Подставив это выражение в функцию Лагранжа (39.4), получим Ь = ~~ +тч[йг]+ ™[йг] — тЖг — Г [39.6) Это есть общий вид функции Лагранжа частицы в произвольной неинерциальной системе отсчета. Отметим, что вращение системы отсчета приводит к появлению в функции Лагранжа члена совершенно особого вида линейного по скорости частицы. Для вычисления производных, входящих в уравнение Лагранжа, запишем полный дифференциал а1 = ту «1ч + т ау[йг] + тч [й дг] + т[йг] [Й аг]— — т»»Г Ыг — — Нг = тч Йч + т «Ьг [йг] + дУ дг + т дг[чй] + т[[йг]й] с~г — т»г с1г — — 6г. дг Собирая члены, содержащие «Ь~ и Нг, найдем дЬ вЂ” = пл~ + т[йг], — = т[чй] + т[[йг]й] — т9»" — —. дЕ дс Подставив эти выражения в [39.2), получим искомое уравнение движения т — = — — — т»«Г + т[гй] + 2т[чй] + т[й[гй]].
(39.7) Мы видим, что «силы инерции», обусловленные вращением системы отсчета, слагаются из трех частей. Сила т[гй] связана с неравномерностью вращения, а две другие присутствуют и при равномерном вращении. Сила 2т[чй] называется силой Кориолисгб в отличие от всех ранее рассматривавшихся [не диссипативных) сил она зависит от скорости частицы. Сила т[й[гй]] называется центпробежной. Она направлена в плоскости, проходящей через г и Й перпендикулярно к оси вращения (т.е. направлению й), в сторону от оси; по величине центробежная сила равна трй, где р -- расстояние частицы от оси вращения. Рассмотрим особо случай равномерно вращающейся системы координат,не имеющей поступательного ускорения. Положив в (39.6) и [39.7) Й = соцвФ, 'ба = О, получим функцию Лагранжа Ь = + тч[йг] + — [йг] — У [39.8) и уравнение движения т — = — — + 2т[ьй] + т[й[гй]].
[39.9) 1 39 ДВижение В неинерциАльнОЙ системе ОтсчетА 169 Вычислим также энергию частицы в этом случае. Подставив р = — = тч + т[йг] (39.10) в Я = рч — Ь, получим (39.11) Обратим внимание на то, что в энергии линейный по скорости член отсутствует. Влияние вращения системы отсчета сводится к добавлению в энергии члена, зависящего только от координат частицы и пропорционального квадрату угловой скорости.
Эта дополнительная потенциальная энергия †(т(2)[йг] называет- 2 ся центробежной. Скорость ч частицы относительно равномерно вращающейся системы отсчета связана с ее же скоростью чо относительно инерциальной системы Кс соотношением че = ч + [11г]. (39.12) Поэтому импульс р (см.[39.10)) частицы в системе К совпадает с ее же импульсом ре = тче в системе Кс. Вместе с ними совпадают также моменты импульсов Мс = [грс] и М = [гр].
Энергии же частицы в системах К и Ко различны. Подставив ч из (39.12) в (39.11), получим 2 тЧО[еьт] + с' 2 + с' т[ГЧОЛ. Первые два члена представляют собой энергию Ео в системе Ке. Вводя в последний член момент импульса, получим Е = ЕО (39.13) Этой формулой определяется закон преобразования энергии при переходе к равномерно вращающейся системе координат.
Хотя мы вывели его для одной частицы, но очевидно, что вывод может быть непосредственно обобщен на случай любой системы частиц, это приводит к той же формуле (39.13). Задачи 1. Найти отклонение свободно падаюпсего тела от вертикали, обусловленное вращением Земли. (Угловую скорость вращения считать малой.) Р е ш е н и е. В поле тяжести о' = — гпйт, где и — вектор ускорения свободного падения; пренебрегая в уравнении (39.9) центробежной силой, содержащей квадрат й, получим уравнение движения в виде 9 = 2[ей] + и. (1) 170 ГЛ. У1 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА Решаем это уравнение последовательными приближениями.
Для этого полагаем; ч = чг + чг, где чг — решение уравнения чг — — Е, т е. чг — — йг+ те (че — начальная скорость). Подставляя ч = ч1+ чг в (1) и оставляя справа только чг,получим уравнение для чг: чг = 2[чгй] = 21[Ей] + 2[чей] Интегрируя, получим 2 3 г = Ь+ чс1+ — + — [Кй] + 1 [чей], Е1 г 2 3 (2) где 12 -- вектор начального положения частицы. Выберем ось 2 по вертикали вверх„а ось х по меридиану к полюсу; тогда я =д„=о, д,= — и; Й,=йсоэЛ, Йр — — О, Й,=Й31ПЛ, где Л вЂ” широта (которую для определенности предполагаем северной).
По- ложив в (2) чэ = О, найдем 3 х = О, у = — — хй сов Л. 3 Подставив сюда время падения 1 ш „/2ЬЯ~, найдем окончательно: 1 г2613!2 х = О, у = — — ( — ) ййсоэЛ 3(,а) (отрицательные значения у соответствуют отклонению на восток). 2. Определить отклонение от плоскости для тела, брошенного с поверх- ности Земли с начальной скоростью че. Р е ш е н и е. Выбираем плоскость хг так, чтобы чо лежала паней. На- чальная высота Ь = О. Для бокового отклонения получим из (2) (задача 1): 13 У = — — Ей* -~- 1'(Й*ее. — Й.чо.), 3 или, подставив время полета 1 2сэ,7я: 4 (~се*й — ве Й ). 3.
Определить влияние, оказываемое вращением Земли на малые коле- бания маятника (так называемый маятник Фуко). Р е ш е н и е. Пренебрегая вертикальным смещением маятника как ма- лой величиной второго порядка, можно считать движение тела происходя- щим в горизонтальной плоскости ху. Опуская члены, содержащие йг,на- пишем уравнения движения в виде х+ шгх = 2й,у, у+ ш~у = — 2й„х, где ш — частота колебаний маятника без учета вращения Земли. Умножив второе уравнение на 1 и сложив с первым, получим одно уравнение Г, + 21й,й+ юга = О для комплексной величины с = х + гу. При Й„(( ш решение этого уравне- ния имеет вид Е = е *о*'(Аге* + Аге ' ) х+гу = е * * (ха+ гуо), где функции хс(1), уо(1) дают траекторию маятника без учета вращения Земли.
Влияние этого вращения сводится, следовательно, к повороту тра- ектории вокруг вертикали с угловой скоростью Й„. ГЛАВА УП КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИИ й 40. Уравнения Гамильтона Формулирование законов механики с помощью функции Лагранжа (и выводимых из нее уравнений Лагранжа) предполагает описание механического состояния системы путем задания ее обобщенных координат и скоростей. Такое описание, однако, не является единственно возможным. Ряд преимуществ, в особенности при исследовании различных общих вопросов механики, представляет описание с помощью обобщенных координат и импульсов системы. В связи с этим возникает вопрос о нахождении уравнений движения, отвечающих такой формулировке механики. Переход от одного набора независимых переменных к другому можно совершить путем преобразования, известного в математике под названием преобразовании Лежандра.
В данном случае оно сводится к следующему. Полный дифференциал функции Лагранжа как функции координат и скорости равен аь „~ ~ох Это выражение можно написать в виде 1Ь =)',р,аЧ;+~',р,4)0 поскольку производные дЬ/дЧ, являются, по определению, обобщенными импульсами, а дА/дЧ; = р, в силу уравнений Лагранжа. Переписав теперь второй член в (40.1) в виде 'СР йн =4ХРгЧ') — 'СЧгг1Р0 перенеся полный дифференциал дД р,Ч,) в левую часть равенства и изменив все знаки, получим из (40.1): и Д~ Р~Чь' — ь) = — ~ Рь' пЧг + ~ Ф прь 172 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. Уп Н(р, д, ~) = ~ р дг — ~,. Из дифференциального равенства йН = — ~;р, йдг + ~ д; йрб (40.2) (40.3) следуют уравнения (40.4) Это — искомые уравнения движения в переменных р и д, так называемые уравнения Гамильтона.
Они составляют систему 2г дифференциальных уравнений первого порядка для 2г неизвестных функций р(Ф) и д(8), заменяющих собой г уравнений второго порядка лагранжевого метода. Ввиду их формальной простоты и симметрии эти уравнения называют также каноническими. Полная производная от функции Гамильтона по времени дН дН дН.
дН. — = — +,') — д, +,'~ — р,. ог дг дд, ' др; При подстановке сюда д; и р, из уравнений (40.4) последние два члена взаимно сокращаются, так что (40.5) В частности, если функция Гамильтона не зависит от времени явно, то ЙН)ог = О, т.е. мы снова приходим к закону сохранения энергии. Наряду с динамическими переменными д, д или д, р функции Лагранжа и Гамильтона содержат различные параметры — величины, характеризующие свойства самой механической системы или действующего на нее внешнего поля. Пусть Л вЂ” такой параметр.
Рассматривая его как переменную величину, будем иметь вместо (40.1) выражение вида оЬ = 2 р; одг + 2 р, од; + — оо, после чего вместо (40.3) получим Ер~ йдг + 'ЕЧь' нрг ~"~~. д7. Отсюда находим соотношение Величина, стоящая под знаком дифференциала, представляет собой энергию системы (см. 3 6); выраженная через координаты и импульсы, она называется гамиаътпоноеой функцией системы 173 1 40 УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА (ол)р, (ал),,' (40.0) (40.8) Задачи 1.
Найти функцию Гамильтона для одной материальной точки в декартовых, цилиндрических и сферических координатах. О т в е т: В декартовых координатах х, у, % Н вЂ” — (р +р„+р,)+Г1(х,у,г), в цилиндрических координатах ц <р, г: г Н = — р„+ — т + р„) + 0(т, ег, г); 2ш ~, " в сферических координатах ц 9, йе Н= — ~~р„+ —,+,, )~+и(т,9, Р). г Ре Рр 2„л 1 " гг тге1вг9 2. Найти функцию Гамильтона частицы в равномерно вращающейся системе отсчета. Р е ш е н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
