I.-Механика (1109678), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Произвольный вектор г(г, р) может быть написан в виде г = гЧз + руз + ~гр)9зз, где ум 9зз, 9зз — скалярные функции. Искомое соотношение проверяется прямым вычислением с помощью формул (42.9), (42.11), (42.12) и формулы, указанной в задаче 3. $ 43. Действие как функция координат При формулировке принципа наименьшего действия мы рассматривали интеграл зз о= 1Ж, (43.1) и взятый по траектории между двумя заданными положениями д~ ) и д~ ), которые система занимает в заданные моменты времени 11 и 12. При варьировании же действия сравнивались значения этого интеграла для близких траекторий с одними и теми же значениями д(з1) и д(з2).
Лишь одна из этих траекторий отвечает минимальному движению -- та, для которой интеграл о' минимален. Рассмотрим теперь понятие действия в другом аспекте. Именно, будем рассматривать о как величину, характеризующую движение по истинным траекториям, и сравним значения, которые она имеет для траекторий, имеющих общее начало 9(11) = 91Ц, но проходящих в момент 42 через различные положения.
Другими словами, будем рассматривать интеграл действия для истинных траекторий как функцию значений координат в верхнем пределе интегрирования. Изменение действия нри переходе от одной траектории к близкой к ней другой траектории дается (при одной степени сво- ДЕЙСТВИЕ КАК ФУНКЦИЯ КООРДИНАТ 181 1 43 боды) выражением (2.5) и Поскольку траектории действительного движения удовлетворяют уравнениям Лагранжа, то стоящий здесь интеграл обращается в нуль.
В первом же члене полагаем на нижнем пределе Ьд(14) = О, а значение Ьд(1з) обозначим просто, как Ьд. Заменив также д.б/дд нар, получим окончательно: Ьо = рбмк или вобщем случае любого числа степеней свободы Ьо = 2 р,бо,. (43.2) Из этого соотношения следует, что частные производные от действия по координатам равны соответствующим импульсам (43.3) Аналогичным образом действие можно понимать как явную функцию времени, рассматривая траектории, начинающиеся в заданный момент времени г4 в заданном положении д~ ~, но заканчивающиеся в заданном положении д1 ~ в различные моменты времени 1з = 1.
Понимаемую в этом смысле частную производную дЯ/д1 можно найти путем соответствующего варьирования интеграла. Проще, однако, воспользоваться уже известной нам формулой (43.3), поступив следующим образом. По самому определению действия его полная производная по времени вдоль траектории равна "'=1,. (43.4) С другой стороны, рассматривая о' как функцию координат и времени в описанном выше смысле и используя формулу (43.3), имеем — = — +,).—,ч = — +~.рп). дд дд дд . дд 44 д4 дд; ' д4 з Сравнивая оба выражения, находим дд — — РлУ1 или окончательно (43.5) 182 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. НН Формулы (43.3) и (43.5) вместе можно записать в виде вы- ражения г = ) (Ер; «» — н«') (43.8) и рассматривать координаты и импульсы как независимо варьи- руемые величины. Предполагая снова для краткости, что имеет- ся всего одна координата (и один импульс), запишем вариацию действия в виде Б»=) 1«»««»»«ь« — — «««5 — — Б»й).
дя др ) См. «Теория поля», гл. Н11. еьэ" = ~; рг й)1 — Н йг (43.6) для полного дифференциала действия как функции координат и времени в верхнем пределе интегрирования в (43.1). Предположим теперь, что изменяются координаты (и время) не только конца, но и начала движения. Очевидно, что соответствующее изменение о будет даваться разностью выражений (43.6) на обоих концах, т.е.
Ы=~ '2)й '" — Н(')йР) — ~- '"ЬР+Н~1)й1~1). (43.7) Это соотношение уже само по себе показывает, что, каково бы ни было внешнее воздействие на систему во время движения, ее конечное состояние не может быть произвольной функцией начального, возможны только такие движения, при которых выражение в правой части равенства (43.7) является полным дифференциалом.
Таким образом, уже самый факт существования принципа наименьшего действия, независимо от конкретного вида функции Лагранжа, накладывает на совокупность возможных движений определенные ограничения. В частности, оказывается возможным установить ряд общих закономерностей (не зависящих от вида имеющихся внешних полей) для пучков частиц, разлетающихся из заданных точек пространства.
Изучение этих закономерностей составляет предмет так называемой геометрической оптики '). Интересно отметить, что уравнения Гамильтона могут быть выведены формальным образом из условия минимальности действия, если написать последнее, на основании (43.6), в виде ин- теграла 183 ПРИНЦИП МОПЕРТЮИ 1 44 Преобразование второго члена (интегрирование по частям) дает бр= / бр (бр — — Рб) Рррр — 1 бр(брР— бб). На границах интегрирования мы должны положить Ьд = О, так что проинтегрнрованный член выпадает. Остающееся же выражение может быть равным нулю при произвольных независимых Ьр и Ьб1 лишь при условии обращения в нуль подынтегральных выражений в каждом из двух интегралов: б1б7 = — <11б б1р = — — Жб дР ' д4 т.е, мы получаем после деления на ббб уравнения Гамильтона.
8 44. Принцип Мопертюи Принципом наименьшего действия движение механической системы определяется полностью: путем решения следующих из этого принципа уравнений движения можно найти как форму траектории, так и зависимость положения на траектории от времени. Если ограничиться более узким вопросом об определении лишь самой траектории (оставляя в стороне временную часть задачи), то оказывается возможным установить для этой цели упрощенную форму принципа наименьшего действия. Предположим, что функция Лагранжа, а с нею и функция Гамильтона не содержат времени явно, так что энергия системы сохраняется: Н(р, д) = Е = сопзб.
Согласно принципу наименьшего действия вариация действия для заданных начальных и конечных значений координат и моментов времени (скажем, 1о и 1) равна нулю. Если же допускать варьирование конечного момента времени 1 при фиксированных по-прежнему начальных и конечных координатах, то имеем (ср. (43.7)): ЬЯ = — НЫ. 144.1) Будем теперь сравнивать не все виртуальные движения системы, а лишь те, которые удовлетворяют закону сохранения энергии.
Для таких траекторий мы можем заменить Х в (44.1) постоянной Е,что дает ЬЯ+ Яй = О. (44.2) 184 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. УН Написав действие в виде (43.8) и снова заменяя Н на Е, имеем Е = (Е,р1г1д, — Е(~ — ~о). (44.3) Первый член в этом выражении (44.4) 1 иногда называют укороченным действием. Подставив (44.3) в (44.2), найдем боо = О. (44.5) Таким образом, укороченное действие имеет минимум по отношению ко всем траекториям, удовлетворяющим закону сохранения энергии и проходящим через конечную точку в произвольный момент времени.
Для того чтобы пользоваться таким вариационным принципом, необходимо предварительно выразить импульсы, а с ними и все подынтегральное выражение в (44.4) через координаты д и их дифференциалы 11д. Для этого надо воспользоваться равенствами „; = —,1,(д, ф), (44 б) представляющими собой определение импульсов, и уравнением закона сохранения энергии Е(д, — ~) =Е. (44.7) Выразив из последнего уравнения дифференциал пг через координаты д и их дифференциалы од и подставив в формулы (44.6), мы выразим импульсы через д и 11д, причем энергия Е будет играть роль параметра. Получающийся таким образом вариационный принцип определяет траекторию системы; этот принцип называют обычно принципом Мопертюи (хотя его точная формулировка была дана Эйлером и Лагранжем).
Произведем указанные действия в явном виде для обычной формы функции Лагранжа (5.5) как разности кинетической и потенциальной энергий: ь = — ~ а1ь(д)д1дь — У(д). 1,Ь При этом импульсы дЬ р; = —, = р п1Ь(д)да, дд; ь 185 ПРИНЦИП МОПЕРТЮИ 1 44 а энергия Б И=О, т.е. частица движется по кратчайшему пути по прямой. Вернемся снова к выражению для действия (44.3) и произведем на этот раз его варьирование также и по параметру Е: БЕ = ", БŠ— (1 — 1о)БŠ— ЕБ1. Подставив это в (44.2), находим , = г — го.
(44.11) Для укороченного действия в форме (44.9) это равенство приводит к соотношению 2 , 'а,й дщ дуй 2(Š— У) (44.12) Е = — ~~) а4й(д)д;Щ + 1) (9). з,й Из последнего равенства имеем а;й Ыд, Ной (44.8) 2(Š— У) и, подставляя это выражение в Е' -Е Ной р4(1% =,Р анй — „~ 41гй, 3 4,й найдем укороченное действие в виде (44.9) Ой В частности, для одной материальной точки кинетическая энергия '= 7 (.-") где т — масса частицы, а Ж вЂ” элемент длины траектории, и вариационный принцип для определения формы траектории Б 2т(Š— У)й = О, (44.10) где интеграл берется между двумя заданными точками пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
