I.-Механика (1109678), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Вращение вокруг осей хз и хз (отвечающих наибольшему и наименьшему из трех моментов инерции волчка) устойчиво в том смысле, что при малом отклонении от этих состояний волчок будет продолжать совершать движение, близкое к первоначальному. Вращение же вокруг оси х2 неустойчиво; достаточно малого отклонения, чтобы возникло движение, уводящее волчок в положения, далекие от первоначального. Для определения зависимости компонент Й (или пропорциональных им компонент М) от времени обратимся к уравнениям Эйлера 136.5).
Выразив Й7 и Йз через Й2 из двух уравнений 137.2), (37.3) Йз = ((2Егз ™ ) — г2(гз г2)Й2)~ 1г(1з - 1,) (37.6) Йз = ((М 2ЕЫ 12% — 17) ЙФ 1з(1з 1з) и подставив во второе из уравнений (36.5), найдем 'ЙРЙ3 = Ц(2Е13 — М )— ~11 1г 1г Ъ7ХГз з2(гз г2)Й2)[(М 2Ег1) г2(12 г1)Й2)1 (37 7) Разделяя в этом уравнении переменные и интегрируя, получим функцию 1(Й2) в виде эллиптического интеграла.
При приведении его к стандартному виду будем считать для определенности, что 156 гл. и ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА (начало отсчета времени условно выбираем в момент, когда йг = О). При обращении этого интеграла возникает, как известно, одна из эллиптических функций Якоби з = вп т, чем и определяется зависимость йг от времени. Функции йг(1) и йз(1) выражаются алгебраически через йг(~) согласно равенствам (37.6). Учитывая определение двух других эллиптических функций — з. =А:з'". получим окончательно следующие формулы: гЕТз — М' й1= спт, 2ЕТ вЂ” М (37.10) 12 (1з 12) й = 'дп Тз(Тз — Тз) Функции (37.10) периодические, причем их период по переменной т равен, как известно, величине 4Л, где Л есть полный эллиптический интеграл первого рода: 1 зс/2 'з:зз — з"з Период же по времени дается, следовательно, выражением (37.12) По истечении этого времени вектор й возвращается в свое начальное положение относительно осей волчка.
(Самый же волчок при этом отнюдь не возвращается в свое прежнее положение относительно неподвижной системы координат — см. ниже.) При 71 = 12 формулы (37.10), разумеется, приводятся к формулам, полученным в предыдущем параграфе для симметрического волчка. Действительно, при 11 — + 12 параметр к~ — + О, эллиптические функции вырождаются в круговые: вп т -+ вшт, сп т — з сов т, с1п т -+ 1, и мы возвращаемся к формулам (36.7). АСИММЕТРИЧЕСКИЙ ВОЛЧОК 157 1 37 Отсюда Тгйг и, используя формулы (37.10), найдем (37.14) сов 9 =, дп т, 1з (М вЂ” 2Е11 ) Мг (Тг — 11 ) Тг(11 — Тг) сп т таф = Тг(11 — Тг) гп т (37.15) чем и определяется зависимость углов О и ф от времени; вместе с компонентами вектора Й они являются периодическими функциями с периодом (37.12).
Угол 1р в формулы (37.13) не входит, и для его вычисления надо обратиться к формулам (10), выражающим компоненты Й через производные по времени эйлеровых углов. Исключая О из равенств й1 = фяпОяпф+ Осозф, Й2 = 1р 81П О Соз ф О 81п фг получим йгяпф+ йг соя сг ггп 8 после чего, используя формулы (37.13), найдем При М2 = 2Е1з имеем: Й1 = Й2 = О, йз = соп8$, т.е.
вектор Й постоянно направлен вдоль оси инерции хз, этот случай соответствует равномерному вращению волчка вокруг оси хз. Аналогичным образом при М2 = 2Е11 (при этом т = О) имеем равномерное вращение вокруг оси х1. Перейдем к определению абсолютного (по отношению к неподвижной системе координат Х, 1; Я) движения волчка в пространстве как функции времени. Для этого вводим эйлеровы углы ф, 1р, О между осями волчка х1, хз, хз и осями Х, У, 2, выбрав при этом неподвижную ось Е вдоль направления постоянного вектора М.
Поскольку полярный угол и азимут направления Я по отношению к осям х1, хз, хз равны соответственно О и 71/2 — ф (см. примеч. на с. 146), то, проецируя вектор М на ОСИ т1г Х2г ХЗ, ПОЛУЧИМ М ьшО яп ф = М1 = 71Й1, М яп 9 соз ф = М2 = 12Й2 (37.13) М сов О = Мз = Тзйз. 158 ГЛ. У1 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА оср М 11Пс -~- 12П2 (37.16) с(1 7,'П'г -~- ТЩ ' Отсюда функция ср(с) определяется квадратурой, но подынтегральное выражение содержит сложным образом эллиптические функции.
Путем ряда довольно сложных преобразований этот интеграл может быть выражен через так называемые тэта-функции; не приводя вычислений '), укажем лишь их окончательный результат. Функция ср(2) может быть представлена (с точностью до произвольной аддитивной постоянной) в виде суммы двух членов ср (с) сР1(с) + сР2(с)~ (37.17) один из которых дается формулой 21срс(С) дог (217Т вЂ” ссс) (37.18) дш (217т+1сс) ' где дш -- тэта-функция, а сс — вещественная постоянная, определяемая равенством Мт — 2гз вп(г 2ссК) = г (37.19) (К и Т вЂ” из (37.11), (37.12)).
Функция в правой части (37.18)— периодическая с периодом Т(2, так что ср1(б) изменяется на 271 за время Т. Второе слагаемое в (37.17) дается формулой Эта функция испытывает приращение 2п за время Т'. Таким образом, движение по углу ср представляет собой совокупность двух периодических изменений, причем один из периодов (Т) совпадает с периодом изменения углов ~> и 8, а другой (Т') — несоизмерим с первым. Последнее обстоятельство приводит к тому, что при своем движении волчок никогда не возвращается, строго говоря, в свое первоначальное положение. Задачи 1.
Определить свободное вращение волчка вокруг оси, близкой к оси инерции хз (или хс). Р е ш е н и е. Пусть к направлению М близка ось хз. Тогда компоненты Мс и Мз являются малыми величинами, а компонента Мз М (с точ- ) Их можно найти в книге: Е. Т. Унттекер. Аналитическая динамика.— Мс ОНТИ, 1937. АСИММЕТРИЧЕСКИЙ ВОЛЧОК 159 1 37 Для самих же величин Мг и Мг получим Пз Пз Мз = Маг( — — 1 совшй Мг = Маг( — — 1 вшшй (2) гг ")( 1, где а — произвольная малая постоянная. Этими формулами определяется движение вектора М относительно волчка;в построении на рис. 51 конец вектора М описывает (с частотой ш) малый эллипс вокруг полюса на оси хз.
Для определения абсолютного движения волчка в пространстве определяем его эйлеровы углы. В данном случае угол наклона 9 оси хз к оси Я (направлению М) мал, и согласно формулам (37.14) Мз г Мз 1 Мз + Мг Зйф = —, 9 2(1 — сов 9) = 2 1 — — ж Мг ' М( Мг подставляя (2), получаем Зйф = сгйшй гг(1з — 1г) 9 = а ~( — — 1) сов шв+ ( — — 1) вш шв~ . (3) Для вычисления угла зг замечаем, что согласно третьей из формул (10) при 9((1 Пе Пз ф -~ ф, Поэтому ~р = Пев-ф (4) (произвольную постоянную интегрирования опускаем).
Более наглядное представление о характере движения волчка получается, если проследить непосредственно за изменением направления его трех осей инерции (единичные векторы вдоль этих осей обозначим через пм пг, пз). Векторы пг и пг равномерно вращаются в плоскости ХУ с частотой йе, одновременно испытывая малые колебания с частотой ш в поперечном направлении; эти колебания определяются ь-компонентами указанных векторов, для которых имеем Пз = аз( — — 1 сов шЙ (Тз = а)( — — 1 сбпшй 1з Мг пгя М Мг пгя М пастью до величин первого порядка малости). С этой же точностью первые два из уравнений Эйлера (36.5) запишем в виде ' = (1 — — ') П,М„' = ( — ' — 1) П.М„ где мы ввели постоянную Пе = Мг'1з. Следуя общим правилам, иязем решение для Мм Мг в виде, пропорциональном ез ~, и для частоты ш получаем значение 169 ГЛ.
У1 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА Для вектора пз имеем с той же точностью: ,.гяВя. р, п,„=-В р, (полярный угол и азимут направления пз по отношению к осям Х, 1; Я равны 9 и <р — и/2; см. примеч. на с. 146). Далее пишем (используя при этом формулы (37.13)): Мз пз, = Вя1п(йоя — ф) = Вяшйоя сояф — Всояйог я1пф = — я1пйог— М Мз Пз Пз — — соя Паз = а)~ — — 1я1пйаз я1пшз — а)~ — — 1 соя йог соя шг, М )/1, или окончательно; пз = — — )) — — 1+)~ — — 1 соя[(йо+ш)1)+ г ~~) 1з + — ~ — — 1 — ~) — — 1 соя ~(йо — ш)З).
2 ~ 'з'1з ~)1з Аналогичным образом пзз — ~ )) 1 + )~ 1 я1п )(йо + ш)1) + 2 1 'у 1з 'з' 1з + — ~ — — 1 — ~ — — 1 яш )Гйо — ш)С). 2 ~ 0 11 З 1з Отсюда видно, что движение вектора пз представляет собой наложение двух вращений вокруг оси Я с частотами (Йо х ш). 2.
Определить свободное вращение волчка при М = 2Е1г. Р е ш е н и е. Этот случай отвечает в построении на рис. 51 перемеще- нию конца вектора М по кривой, проходящей через полюс на оси хз. Уравнение (37.7) принимает вид з (1з — 11)(13 — 12) Йз Ыт 1,1, " ' й, где введено обозначение йа = М(1з = 2Е/М. Интегрируя зто уравнение, а затем воспользовавшись формулами (37.6), получим 1з(1з — 1з) 1 1з(1з — 1з) сЬ т' йз — йо 1Ь т 1з (1з 11) 1 1~(,1 — 1~) сЬ Для описания абсолютного движения волчка вводим эйлеровы углы, определив В как угол между осью Я (направлением М) и осью инерции волчка хз (а не хз, как в тексте).
В формулах (37.14), (37.16), связывающих компоненты вектора Й с эйлеровыми углами, надо при этом сделать цикли- ческую перестановку индексов 123 э 312. Подставив затем в эти формулы выражения (1), получим 161 СОПРИКОСНОВЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 1 38 13(12 11) сонэ = Еьт, <р = йес-~-солне, Екф = 11(1а — т») Иа полученных формул видно, что вектор м асимптотически (при Š— » оо) приближается к оси тж которая одновременно асимятотически приближается к неподвижной оси «С. $ 38.
Соприкосновение твердых тел Условия равновесия твердого тела, как это видно из уравнений движения (34.1) и (34.3), можно сформулировать в виде равенства нулю действующих на него полной силы и полного момента сил: Г=) У=О, К=~ (гГ) =О. (38.1) Суммирование производится здесь по всем приложенным к телу внешним силам, а г — радиус-векторы «точек приложения» сил; при этом точка (начало координат), относительно которой определяются моменты, может быть выбрана произвольным образом: при Е = О значение К не зависит от этого выбора (см. (34.5)). Если мы имеем дело с системой соприкасающихся друг с другом твердых тел, то в равновесии условия (38.1) должны выполняться для каждого из тел в отдельности. При этом в число сил должны быть включены также и силы, действующие на данное тело со стороны остальных соприкасающихся с ним тел.
Эти силы приложены в точках соприкосновения тел и называются силами реакции. Очевидно, что для каждых двух тел их взаимные силы реакции равны по величине и противоположны по направлению. В общем случае как величины, так и направления реакций определяются в результате совместного решения системы уравнений равновесия (38.1) для всех тел.
В некоторых случаях, однако, направление сил реакции задается уже условиями задачи. Так, если два тела могут свободно скользить по поверхности друг друга, то силы реакции между ними направлены по нормали к поверхности. Если соприкасающиеся тела движутся друг относительно друга, то, кроме сил реакции, появляются также силы диссипативного характера — силы трения.
Возможны два типа движения соприкасающихся тел снольэсение и качение. При скольжении реакции перпендику- 162 ГЛ. У1 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА лярны к соприкасающимся поверхностям, а силы трения направлены по касательным к ним. Чистое качение характеризуется тем, что в точках соприкосновения нет относительного движения тел; другими словами, катящееся тело в каждый момент времени как бы закреплено в точке соприкосновения. При этом направление силы реакции произвольно, т.е, не обязательно нормально к соприкасающимся поверхностям. Трение же при качении проявляется в виде дополнительного момента сил, препятствующего качению. Если при скольжении трение настолько мало, что им можно вовсе пренебречь, то поверхности тел называются абсолютно гладкими.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
