I.-Механика (1109678), страница 23
Текст из файла (страница 23)
36 Для двухатомной молекулы сумма сводится к одному члену, давая заранее очевидный результат произведение приведенной массы обоих атомов на квадрат расстояния между ними: тгтг г тг+тг б) Трехатомная молекула в вице равнобедренного треугольника (рис. 36). О т в е т: Центр инерции лежит на высоте треутг гольника на расстоянии Хг = т2522р от его основания. Моменты инерции: 2пгггпг 2 тг г 12 = Ь, 12 = — а, 1з = 12+ 12. р 2 тг в) Четырехатомная молекула с атомами, располоа а женными в вершинах правильной трехугольной пирамиды (рис. 37).
О т в е т: Центр инерции лежит на высоте пирамиды на расстоянии Хз = тгб/р от ее основания. Моменты инерции: 2 3тгтг г гаго г 12 = 12 = Ь +, 12 = тга . 2 тг ~о тг тг О ™' Рис. 37 нию к системе координат с началом в центре инерции (только при таком определении справедлива основная формула (32.3)), для его вычисления, однако, может иногда оказаться удобным вычислить предварительно аналогичный тензор 1гь — — 2, т(х 2 бгь — х;хь), определенный по отношению к другому началу 0'. Если расстояние 00 дается вектором а, то г = г'+ а, х, = х2+а;; учитывая также, что 2 тг = О, по определению точки О, найдем: 1Ь 12ь + Р(а бгов — агиаь).
(32.12) По этой формуле, зная 12ы легко вычислить искомый тензор 1ре 136 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ГЛ. Ч1 ПРи тг = тг, Ь = ауг2/3 мы имеем тетРаэдРическУю молекУлУ с моментами инерции 1г = 1г = 1з = тга . г 2. Определигь главные моменгы инерции сплошных однородных тел.
а) Тонкий стержень длиной 1. О т в е т: 1г = 1г = Н1~,112, 1з = 0 (толщиной стержня пренебрегаем). б) Шар радиуса Л. Ответ: Л = 1г = 1з = — НЛ 2 5 (вычислять следует сумму 1г + 1г + 1з = 2р 1 г~а'г'), в) Круговой цилиндр радиуса Л и высотой Ь. Ответ: Л = 1г = — (Л + — ), 1з = — Л 4(, 3)' 2 (хз — ось цилиндра). г) Прямоугольный параллелепипед с длинами ребер а, Ь, с.
Ответ; Н- (Ь + ) 1, Н (,г + ' ) 12 ' 12 (оси хм хг,хз параллельны ребрам а, Ь, с). д) Круговой конус с высотой Ь и радусом основания Л. Р е ш е н и е. Вычисляем сначала тензор 1,ь по отношению к осям с началом в вершине конуса (рис. 38). Вычисление легко производится в цилиндрических координатах и дает г г ! 3 Л г г 3 г 1, = 1.
= -Н ( — + Ь ), 1з = — НЛ 5 14 )' 10 хг Центр тяжести находится, как показывает простое вычисление, на оси конуса на расстоянии а = ЗЬ/4 от вершины. По формуле (32.12) находим окончательно 1з= — (а -НЬ) 12 3 (', Ь~ г' 1~=1 =1~ — Н.а = — Н(Л + — ) 20 1 4) г хг х уг — -~- — ~- — = 1 аг Ьг сг единичной сферы 1 +ч +б =1. в уравнение поверхности Рис. 38 1з = 1з = — Н.Л . 10 е) Трехосный эллипсоид с полуосями а, Ь, с.
Р е ш е н и е. Центр инерции совпадает с центром зллипсоида, а главные оси инерции с его осями. Интегрировавие по объему эллипсоида может быть сведено к интегрированию по объему сферы путем преобразования координат х = аЬ, у = Ьц, г = сб, превращающего уравнение поверхности эллипсоида 137 ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ Ь 32 Гак, для момента инерции относительно оси х получаем 1,= Я(„'- ')4*4„4 = = р або ~~~ (Ь ц + с б ) <К гб1 Аб = — 1 (бг -р с ), где 1' момент инерции шара единичного радиуса.
Учитывая, что объем эллипсоида равен 4пабс/3, получим окончательно моменты инЕрции 1г = — (б -г с ), 1г = — (а + с ), 1з = — (а -'г Ь ). 5 ' 5 ' 5 3. Определить частоту малых колебаний физического маятника (твердое тело, качающееся в поле тяжести около неподвижной горизонтальной оси). Р е ш е н и е. Пусть 1 — расстояние от центра инерции маятника до оси вращения, а и, (З,у — углы между направлениями его главных осей инерции и осью вращения.
В качестве переменной координаты вводим угол ег между вертикалью и перпендикуляром, опущенным из центра инерции на ось вращения. Скорость центра инерции И = 1Ф, а проекции угловой скорости на главные оси инерции; ф сов ц, ф сов ~, ф сову. Считая угол ег малым, находим потенциальную энергию в виде 1 г 11 = ц81(1 — соз <р) — абгар . 2 Поэтому функция Лагранжа ц( г 1 г г г 1 = — ф + — (1г соз ц+ 1г соз 5 + 1з соэ у) ф — ег . г М 2 2 2 Отсюда для частоты колебаний имеем ц81 р(г + 1г соэг и -Р 1г созг 8 -Р 1з соэг у 4.
11айти кинетическую энергию системы, изображенной на рис. 39; ОА и А — тонкие однородные стержни длиной 1, шарнирно скрепленные в точке А. Стержень ОА вращается (в плоскости рисунка) вокруг точки О, а конец В стержня АВ скользит вдоль оси Ох. ~у Р е ш е н и е. Скорость центра инерции А стержня ОА (находящегося на его середине) есть 1Ф/2, где ег -- угол АОВ. Поэтому кинетическая энергия стержня ОА т= — Ф+ Ф 1'.г 1., зг 8 2 О х (ц — масса одного стержня).
В Декартовы координаты центра инерции Рис. 39 стержня АВ; Х = (31/2) сое ег 1' = ф2) зш Чг. Так как угловая скорость вращения этого стержня тоже равна ф, то его кинетическая энергия тг = — (Х + 1 ) -~- — ф = — (1 -> 8сбп <р)ф + ц 'г 'г 1.г р1 . г .г 1Ф 2 2 8 2 Полная кинетическая энергия системы т = — (1+ззш )Ф ц(' 3 (подставлено 1 = р('/12 согласно задаче 2, а)). 138 ГЛ.
У1 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 5. Найти кинетическую энергию цилиндра (радиуса Н), катящегося по плоскости. Масса цилиндра распределена по его объему таким образом, что одна из главных осей инерции параллельна оси цилиндра и проходит на расстоянии а от нее; момент инерции относи гельно этой главной оси есть 1. Р е ш е н и е. Вводим угол Чг между вертикалью и перпендикуляром, опущенным из центра масс на ось цилиндра (рис. 40).
Движение цилиндра в каждый момент времени можно рассматривать как чистое вращение вокруг мгновенной оси, совпадающей с линией его соприкосновения с неподвижной плоскостью; угловая скорость этого вращения есть ф (угловая скорость вращения вокруг всех параллельных осей одинакова). Центр инерции находится на расстоянии Лгя — гя зг Рис. 40 г=з 'зя' — 2 я Полная кинетическая энергия Т = — (а -р Н вЂ” 2а11соз ег)чг + — чг г г 1 г 2 2 6.
Найти кинетическую энергию однородного цилиндра радиуса а, катящегося по внутренней стороне цилиндрической поверхности радиуса гс (рис. 41). Р е ш е н и е. Вводим угол <р между линией, соединяющей центры обоих цилиндров,и вертикалью. Центр инерции катящегося цилиндра находится на оси и его скорость Ъ' = ф(й — а). УглоРис. 41 вую скорость вычисляем,как скорость чистого вращения вокруг мгновенной оси, совпадающей с линией соприкосновения цилиндров;она равна 1' .Н вЂ” а й = — = 4г а а Если 1з — момент инерции относительно оси цилиндра, то т= — (Л вЂ” а) Ф + — Ф = — р(й — а) Ф 1з (Л вЂ” а) г 3 г ° г 2 2 аг 4 (32.13) (1з — из задачи 2, в)).
7. Найти кинетическую энергию однородного конуса, катянзегося по плоскости. Р е ш е н и е. Обозначим через 0 угол между линией ОА соприкосновения конуса с плоскостью и каким-либо неподвижным направлением в этой плоскости (рис. 42). Центр инерции находится на оси конуса и его скорость И = асов п 9, где 2п — угол раствора конуса, а а — расстояние центра инерции от вершины. Угловую скорость вращения вычисляем, кэк скорость чистого вращения вокруг мгновенной оси ОА: И О=, =всзй а э1п сг 139 ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ Одна из главных осей инерции (ось хз) совпадает с осью конуса, а другую (ось хг) выбираем перпендикулярно к оси конуса и линии ОА.
Тогда проекции вектора й (направленного параллельно ОА) на главные оси инерции будут й вш щ О, й сов и. В результате находим для искомой кинетической энергии; ра г 'г 1г г 'г 1з сов и з 3Ф 'г г 4 г Т= — сов сз Е + — сов сг В + — г В = В(1+бсов а) г 2 2 2 взпг гг 40 (6 — высота конуса; Тм 1г, а — из задачи 2 д)). Рис.
43 Рис. 42 8. Найти кинетическую энергию однородного конуса, основание кото- рого катится по плоскости, а вершина постоянно находится в точке над плоскостью на высоте, равной радиусу основания (так что ось конуса па- раллельна плоскости). Р е ш е н и е. Вводим угол В между заданным направлением в плоско- сти и проекцией на нее оси конуса (рис. 43). Тогда скорость центра инерции И = ае (обозначения те же, что в задаче 7). Мгновенной осью вращения является образующая конуса ОА, проведенная в точку его соприкоснове- ния с плоскостью. Центр инерции находится на расстоянии а взп и от этой оси и потому и е й= авгпез в1пез Проекции вектора й на главные оси инерции (ось хг выбираем перпендику- лярной к оси конуса и линии ОА): йсйп ге = Е, О, й сов ге = Е сзв ее Поэтому кинетическая энергия ра 'г 11 'г 13 'г г 3Ф г т= — В -р — Е 4- — В сгв а= Е ( +3). 2 2 2 40 (совг гг 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
