I.-Механика (1109678), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Иа (39.11) и (39.10) нолучим Н = — — Й)тр]+ Г = р' 2т связывающее частные производные по параметру Л от функций Лагранжа и Гамильтона; индексы у производных указывают, что дифференцирование должно производиться в одном случае при постоянных р и 9, а в другом при постоянных 9 и д. Этот результат может быть представлен и в другом аспекте. Пусть функция Лагранжа имеет вид Т = Те+ Ь', где Н представляет собой малую добавку к основной функции Ье. Тогда соответствующая добавка в функции Гамильтона Н = Не+ Н' связана с Ь соотношением Ф')р, =-Ж'),, (40.7) Заметим, что в преобразовании от (40.1) к (40.3) мы не писали члена с Ж, учитывающего возможную явную зависимость функции Лагранжа от времени, поскольку последнее играло бы в данном аспекте лишь роль параметра, не имеющего отношения к производимому преобразованию.
Аналогично формуле (40.6) частные производные по времени от Т и от Н связаны соотно- шением 174 ГЛ. УН КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 3. Найти функцию Гамильтона системы из одной частицы с массой М и п частиц с массами т, с исключенным движением центра инерции (см. задачу к 1 13). Р е ш е н и е. Энергия Е получается из найденной в задаче к 313 функции Лагранжа изменением знака перед 11. Обобщенные импульсы: д7, тз Р ° = =тч — — ~ч .
ц Отсюда имеем пт тМ р = т~~~ ч — ~~~ ч = ~~ ч„ р ц 1 ч = — + — тт р. т М Подставив в Е, найдем Н = — ~~',р'. -~ — (~р.) -Р 11. 3 41. Функция Рауса В некоторых случаях может оказаться целесообразным при переходе к новым переменным заменить на импульсы не все обобщенные скорости, а только некоторые из них. Соответст- вующее преобразование вполне аналогично произведенному в предыдущем параграфе.
Для упрощения записи формул предположим сначала, что имеются всего две координаты, которые мы обозначим, как д и с„и произведем преобразование от переменных д, с„д, ц к переменным д, ц, р, ц, где р обобщенный импульс, соответ- ствующий координате д. Дифференциал функции Лагранжа Цд, г„д, ц) равен 47. = 4д+ 4д+ — 4~+ —.4~ = дд дд дЕ дг = рад+ рЩ+ — ац+ — ~К, дй дЕ дй дЕ откуда получаем й(й — рд) = рйд — ддр+ — 11~+ —.с%.
дЬ дЬ д1, Введем функцию (так называемую функцию Рауса) л(д р ц с) = рд — 1 (41.1) в которой скорость д выражена через импульс р при помощи равенства р = дЬ/дд. Дифференциал г1гс = — р11д+ ддр — — 11ц — —.дЬ. дЬ дЕ (41.2) дЕ, 175 ФУНКЦИЯ РАУСА 1 41 Откуда следует, что ч= — р= —— ал . ал (41.3) Н1 4) Ж Ж' д5 аа Подставляя последние равенства в уравнение Лагранжа для координаты г„ получим (41.5) Таким образом, функция Рауса является гамильтоновой по отношению к координате д (уравнения (41.3)) и лагранжевой по отношению к координате 5 (уравнение (41.5)). Согласно общему определению энергия системы .дЬ 'дЬ .
'дЬ Е = д —, + Š—. — Ь = рд + с,—. — Ь. дд д5 дЕ, Ее выражение через функцию Рауса получается путем подста- новки сюда (41.1) и (41.4) Е =  — 5 — '. (41.6) д1, Обобщение полученных формул на случай, когда имеется по нескольку координат д и с„ очевидно. Применение функции Рауса может быть целесообразным, в частности, при наличии циклических координат. Если координа- ты д — циклические, то они не входят явным образом в функцию Лагранжа, а потому и в функцию Рауса, так что последняя бу- дет функцией только от р, 5, с,. Но импульсы р, соответствующие циклическим координатам, постоянны (это следует и из второ- го из уравнений (41.3), которое в этом смысле не дает ничего нового). После замены импульсов р их заданными постоянными значениями уравнения (41.5) д дЛ(р., 4„~) дВ(р, 1, 1,) и д5 И, превратятся в уравнения, содержащие только координаты с„так что циклические координаты тем самым исключаются полно- стью.
Если эти уравнения решены и функции 4,18) найдены, то, подставив их в правую часть уравнений дй(р, Е„, .4,) др мы найдем прямым интегрированием функции д(1). 176 ГЛ. УН КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Задача Найти функцию Рауса симметрического волчка во внешнем поле 11(~р, В), исключив циклическую координату Ф (ф, гг, В -- зйлеровы углы). Р е ш е н и е. Функция Лагранжа е='— '<в'-ьф'в1 'в)ь'— '(ф'-ьф -е)'-цсбр,в) 2 2 (ср, задачу 1 1 35).
Функция Рауса г Я = реф — Ь = — — Риф сове — — (В + ф в1п 6) + 17(ср,е); Ре 1г 'г .г . г 21г 2 первый член в атом выражении представляет собой постоянную, которая может быть опущена. $ 42. Скобки Пуассона Пусть 11р, д, с) — некоторая функция координат, импульсов и времени. Составим ее полную производную по времени и Подставив сюда вместо дь и рь их выражения из уравнений Гамильтона (40.4), получим "=' +~Н~), (42.1) где введено обозначение ь Выражение (42.2) называют скобками Пуассона для величин Ни у. Такие функции от динамических переменных, которые остаются постоянными при движении системы, называются, как мы знаем, интегралами движения.
Мы видим нз (42.1), что условие того, чтобы величина 1 была интегралом движения (сгг'1'Ж = 0), можно написать в виде — +1Н1") = О. (42.3) Ксли же интеграл движения не зависит от времени явно, то 1Н1') = О, (42.4) т.е. его скобки Пуассона с функцией Гамильтона должны обращаться в нуль. Для любой пары величин 1' и н скобки Пуассона определяются аналогично (42.2): 177 СКОБКИ ПУАССОНА (42.5) Скобки Пуассона обладают следующими свойствами, легко выводимыми из определения.
Если переставить функции, то скобки переменят знак; если одна из функций постоянная (с), то скобка равна нулю: (УИ = -(аЛ, (,7с) = О. (42.6) (42.7) Далее, (11 + 22~ К) (Лнт + (121~~ (42.8) 171 72 ~ д) = 71 (720) + 72(713). (42.9) Взяв частную производную от (42.5) по времени, получим л1 (™ = ( д1 К) + (Х д1 ) .
(42.10) (.1"дь) = —,~ (42.11) (Лъ) = — —,~. (42.12) Формулу (42.11), например, получим, положив в (42.5) и = дь, вся сумма сведется при этом к одному члену, так как — = Ьм, дд, дф а д' = О. Положив в (42.11) и (42.12) функцию 7" равной д1 и р,, дщ получим, в частности, (д1дь1 = О, (Р1Рь) = О, (Р1дь) = бие (42.13) Между скобками Пуассона, составленными из трех функций, существует соотношение (ЛаЧ) + Ы(МИ+ (ЧУЮ = О (42.14) оно называется тозсдеством Якоби. Для его доказательства заметим следующее. Согласно определению (42.5) скобки Пуассона (Я) являются билинейной однородной функцией производных первого порядка от величин 7 и в. Поэтому, например, скобка (6(~ф) представляет собой линейную однородную функцию производных второго порядка от 7 и д. Вся же левая часть равенства (42.14) в целом есть линейная однородная функция вторых производных от всех трех функций Если одна из функций 7" или д совпадает с одним из импульсов вли координат, то скобки Пуассона сводятся просто к частной производной: 178 ГЛ.
Уп КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Ь. Соберем вместе члены, содержащие вторые производные от 7'. Первая скобка таких членов не содержит в ней есть только первые производные от 1. Сумму же второй и третьей скобок перепишем в символическом виде, введя линейные дифференциальные операторы Р1 и Рз согласно Р~(Ч ) = Еа р) Рт(ЧР) = СМ).
Тогда 1811 й) + 1Ч1"аН = Ы1 Л) — МаУН = Р1(Р2(У)) Р2(Р1(Х)) (Р1Р2 Р2Р1)1 Легко видеть, что такая комбинация линейных дифференциальных операторов не может содержать вторых производных от 7. В самом деле, общий вид линейных дифференциальных операторов есть Р, = ~> »й д, Р, = ') цй д, й й где»й, Лй — произвольные функции переменных хй, хт,... Тогда = Е»",.'„, Е~ ~„' —,'., д' ч д» д РгР~ =~цй4д д +,7 цйд д дхйдх~ ~ дхй дх~ ' йй йй а разность этих произведений Р1Р2 112Р1 = 7 (»й цй дл, д»1 д дхй дхй,) дх~ йй есть снова оператор, содержащий только однократные диффе- ренцирования.
Таким образом, в левой части равенства (42.14) взаимно сокращаются все члены со вторыми производными от 7, а поскольку то же самое относится, очевидно, и к функциям д и 6, то и все выражение тождественно обращается в нуль. Важное свойство скобок Пуассона состоит в том, что если 1 и я -- два интеграла движения, то составленные из них скобки тоже являются интегралом движения 118) = сопэ$ (42.15) (так называемая теорема Пуассона). Доказательство этой теоремы совсем просто, если 1 и д не зависят от времени явно. Положив в тождестве Якоби 6 = Н, получим 1Н(УаН + У(8НИ + Ы(НУН = О. 179 СКОБКИ ПУАССОНА Отсюда видно, что если (Нй) = 0 и (Ну) = О, то и (Н() 9)) = О, что и следовало доказать.
Если же интегралы движения 1 и я зависят явно от времени, то можно записать на основании (42.1) —,",(Уа) = К(Ха) + (НИа)). Воспользовавшись формулой 142.10) и заменив скобку (Н()й)) двумя другими при помощи тождества Якоби, получим или (42.16) откуда очевидно доказательство теоремы Пуассона в общем случае. Разумеется, применяя теорему Пуассона, мы не всегда будем получать новые интегралы движения, так как их число вообще ограничено (2л — 1, где з число степеней свободы). В некоторых случаях мы можем получить тривиальный результат скобки Пуассона сведутся к постоянной. В других случаях вновь полученный интеграл может оказаться просто функцией исходных интегралов от 2у и я.
Если же не имеет места ни тот, ни другой случай, то скобки Пуассона дают новый интеграл движения. Задачи 1. Определить скобки Пуассона, составленные из декартовых компонент импульса р и момента импульса М = )гр) материальной частицы. Р е ш е н и е. С помощью формулы 142.12) находим дМ, д (М*ру) = — * = — — 1рр.
— яру) = -р. др др и аналогичным образом еще две формулы (М.р.) = О, (М„р,) = ру. Остальные скобки получаются отсюда циклической перестановкой индексов я, у, у. 2. Определить скобки Пуассона, составленные из компонент М. Р е ш е н и е. Прямое вычисление ло формуле 142.5) дает (М„Му) = — Мю (Мум,) = — Мю (М,М ) = — Му. Поскольку импульсы и координаты различных частиц являются не зависимыми друг от друга переменными, то легко видеть, что полученные в задачах 1 и 2 формулы справедливы и для полных импульса и момента любой системы частиц. 180 ГЛ. УН КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 3.
Показать, что (~рМ,) =0, где ср — любая скалярная функция координат и импульса частицы. Р е ш е н и е. Скалярная функция может зависеть от компонент векторов г и р только в комбинациях г, р, гр. Поэтому 2 2 дчз дзэ ду дг д(г)з д(рг) и аналогично для ду/др. Искомое соотношение проверяется прямым вычислением по формуле (42.5) с учетом указанных правил дифференцирования. 4. Показать что 1гМ„) = 11п), где à — векторная функция координат и импульса частицы, а и — единичный вектор в направлении оси з. Р е ш е н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
