I.-Механика (1109678), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Поэтому 1 1 х = — (С)с+ с2г), у = — (с2с — с2г) ъ'2 ъ'2 (коэффициенты 1/у2 соответствуют указанной в тексте нормировке нормальных координат). ГЛ. У МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ При сс « шег (слабая связь) имеем п11 пго — сс/(2шо), шг ага + пс(2ша). Изменение х и у представляет собой в этом случае наложение двух колебаний с близкими частотами, т.е. имеет характер биений с частотой шг — шг = = пссше (см. в 22). При этом в момент, когда амплитуда координаты х проходит через максимум, амплитуда у проходит через минимум и наоборот. 2. Определить малые колебания двойного плоского маятника (см, рис, 1).
Р е ш е н и е. Для малых колебаний (срс « 1, срг « 1) найденная в задаче 1 В 5 функция Лагранжа принимает вид п11+т2 2 2 п12 2 2 тг+ тг 2 тг Л= 2 11ф1 + 12Ф2 + сп21112ф1Ф2— 2 2 611ср1 612 срг ° 2 Уравнения движения: (тг -~- тг)111Р1 + тг41рг + (тс + тг)ррг = О, 111Р1+1гсрг+ йсР2 = О. После подстановки (23.6): А1(тг+ тг)(я — 11ш ) — Агсо т24 = О, — А111ш + Аг(у — 4со ) = О. Корни характеристического уравнения; ш,д — — (т1 + тг)(11 -р 12) ~ 2п11114 1 (тг + тг)[(тг+ тпг)(11 +1г) — 4т1114)). При тг — с сю частоты стремятся к пределам 2сдД~ и эсд712, соответствуюсцим независимым колебаниям двух маятников. 3. Найти траекторию движения частицы в центральном поле 61 = 1сг 1'2 г (так называемый пространственный осциллятор). Р е ш е н и е.
Как и во всяком центральном поле, движение происходит в одной плоскости, которую выбираем в качестве плоскости ху. Изменение каждой из координат х, у — простое колебание с одинаковыми частотами аг = ~,47т1 х = а соя (ш1+ сс), у = д сов (шг + б) или х = асов ср, у = Ьсоя(ср+ 6) = Ьсоябсояср — Ьсйпбсйпср, где введены обозначения ср = шс+ и, 6 = Π— сс.
Определив отсюда соя ср и вш ср и составив сумму их квадратов, получим уравнение траектории х у 2ху — + — — — сов 6 = я1п 6. аг Ьг аЬ Это — эллипс с центром в начале координат '). При 6 = О или п траектория вырождается в отрезки прямой. ) Тот факт, что в поле с потенциальной энергией (1 = Ьг~,12 движение происходит по замкнутой прямой, был уже упомянут в в 14. 95 КОЛЕЬАНИЯ МОЛЕКУЛ 1 24 й 24. Колебания молекул Если мы имеем дело с системой частиц, взаимодействующих друг с другом, но не находящихся во внешнем поле, то не все ее степени свободы имеют колебательный характер. Типичным примером таких систем являются молекулы.
Помимо движений, представляющих собой колебания атомов около их положения равновесия внутри молекулы, молекула как целое может совершать поступательное и вращательное движения. Поступательному перемещению соответствуют три степени свободы. Столько же имеется в общем случае вращательных степеней свободы, так что из Зп степеней свободы и-атомной молекулы всего Зп — 6 отвечают колебательному движению.
Исключение представляют молекулы, в которых все атомы расположены вдоль одной прямой. Поскольку говорить о вращении вокруг этой прямой не имеет смысла, то вращательных степеней свободы в этом случае всего две, так что колебательных имеется Зп — 5. При решении механической задачи о колебаниях молекулы целесообразно с самого начала исключить из рассмотрения поступательные и вращательные степени свободы. Чтобы исключить поступательное движение, надо считать равным нулю полный импульс молекулы.
Поскольку это условие означает неподвижность центра инерции молекулы, его можно выразить в виде постоянства трех координат последнего. ПоложИВ Га = Гап + Па (ГДЕ Гас — РаДИУС-ВЕКТОР НЕПОДВИЖНОГО ПО- ложения равновесия а-го атома, а и его отклонение от этого положения), представим условие ШаГа = СОПЗ1 = „,~ ШаГап Е в виде (24.1) Шаиа — О. Чтобы исключить вращение молекулы, следует положить равным нулю ее полный момент импульса. Так как момент не является полной производной по времени от какой-либо функции координат, то условие его исчезновения не может быть, вообще говоря, выражено в виде равенства нулю такой функции.
Однако случай малых колебаний как рзз представляет исключение. В самом деле, снова положив г, = г с + и и пренебрегая малыми величинами второго порядка по смещениям п„представим ГЛ. х' МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ момент импульса молекулы в виде тпа[гана) ~ тпа[гаепа) = ~ хна[говна) ° Условие его исчезновения в этом приближении можно, следовательно, представить в виде тпа[гаопа] = 0 (24.2) (начало координат может быть при этом выбрано произвольным образом).
Нормальные колебания молекулы могут быть классифицированы по характеру движения атомов в них на основании соображений, связанных с симметрией расположения атомов (в положениях равновесия) в молекуле. Для этой цели существует общий метод, основанный на использовании теории групп; он изложен в другом томе этого курса '). Здесь же мы рассмотрим лишь некоторые элементарные примеры. Если все п атомов молекулы лежат в одной плоскости, то можно различать нормальные колебания, составляющие атомы в этой плоскости, и нормальные колебания, при которых атомы выводятся из плоскости.
Легко определить число тех и других. Так как всего для плоского движения имеется 2п степеней свободы, из которых две поступательные и одна вращательная, то число нормальных колебаний, не выводящих атомы из плоскости, равно 2п — 3. Остальные же (Зп — 6) — (2п — 3) = п — 3 колебательных степеней свободы отвечают колебаниям, выводящим атомы из плоскости. В случае линейной молекулы можно различать продольные колебания, сохраняющие ее прямолинейную форму, и колебания, выводящие атомы с прямой. Так как всего движению п частиц по линии отвечает п степеней свободы, из которых одна поступательная, то число колебаний, не выводящих атомы с прямой, равно и — 1. Поскольку же полное число колебаний степеней свободы линейной молекулы есть 3п — 5, то имеется 2п — 4 колебаний, выводящих атомы с прямой.
Этим колебаниям, однако, отвечают всего п — 2 различные частоты, так как каждое из таких колебаний может осуществляться двумя независимыми способами — в двух взаимно перпендикулярных плоскостях (проходящих через ось молекулы); из соображений симметрии ) См. т. 111, «Квантовая механика», ~ 100. 97 КОЛЕЬАНИЯ МОЛЕКУЛ З 24 очевидно, что каждая такая пара нормальных колебаний имеет одинаковые частоты. Задачи ) ( ) тл(хг + хз) + бпвхг = О. С его помощью исключаем хг из функции Лагранжа продольного движения молекулы б = — (х1 + хз) + Х2 — — ((х1 — Х2) + (хз — Х2) тл .2,2 тв .2 /с~ 2 2 2 2 после чего вводим новые координаты Сз = хг -'г хз, С,), = х) — хз. В результате получим ли~)~ та~~ й~Р.
4)~ а)с ~ 4"'в (ц = 2тл -> тв -- масса молекулы). Отсюда видно, что 14 и О., являются (с точностью до нормировки) нормальными координатами. Координата 14' отвечает антисимметричному относительно середины молекулы колебанию (х) = хз; 3 1 2 1 1 рис. 28 а) с частотой бо Й)Д а тлтв Координата бзб соответствует симметрично- б ), = -*; . )бб) б той А В А о1,1 = )(— Рис. 28 Поперечные смещения атомов уг, уг,уз в силу (24.Ц н (24.2) связаны соотношениями тл(у1 + уз) + тауг = О, у) = уз, (симметричное колебание изгиба; рис. 28 в). Потенциальную энергию изгиба молекулы запишем в виде 1б21 Ь~))2, где Ь вЂ” отклонение угла АВА от значения тй оно выражается через смещения согласно 1 б = —,((у — уг) + (уз — уг)) ') Расчеты колебаний более сзожных молекул можно найти в книгах: М.
В. Волькенштейн, М. А. Ельяшевич, Б.И. Степанов. Колебания молекул.— Мл Гостехиздат, 1949; Г. Г е р ц б е р г, Колебательные н вращательные спектры многоатомных молекул. Мл ИЛ, 1949. 1. Определить частоты колебаний линейной трехатомной симметричной молекулы АВА (рис. 28). Предполагается, что потенциальная энергия молекулы зависит только от расстояний А — В и  — А и угла АВА. Р е ш е н и е.
Продольные смещения атомов х), хг, хз связаны в силу 24.1 соотношением 98 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГЛ. У Выражая все смещения у1, уг, уз через б, получим функцию Лагранжа поперечного колебания ввиде шА(.2 .2) тв.г йг~ 2 тлтв г 2 Ы 2 2 2 2 Ь = — 91+ Уз + — У2— 2 2 49 2 откуда частота 2кгц шлаен 2. То же для молекулы АВА треугольной формы (рис.
29). Р е ш е н и е. В силу (24.1), (24.2) составляющие смещений и атомов по направлениям Х и 1 (рис. 29) связаны соотношениями тА(тг + хз) + твхг = О, гпА(У1 ч уз) гс гпВУ2 = О, (У1 — Уз) Згп сс — (Х1 + Хз) соз ц = О. Изменения Ыг и Ыг расстояний А — В и  — А получаются путем проек- тиРованиЯ вектоРов пз — пг и пз — пг на напРавлениЯ линий АВ и ВА: Ы1 = (Х1 Х2) З1П и ч (У1 У2) соз и Ы2 = — (хз — х2) з1п сс+ (уз — У2) соз и. Изменение же угла АВА получается проектированием тех же векторов на (1' направления, перпендикулярное к отрезкам '--ф= ' .
Функция Лагранжа молекулы ПЗА .2 .2 1ПВ .2 ь = — (пг-~- пз) -> — пг— 2 2 йг~ бг 2 е ~1 2 2 — — (Ы1 + Ыг) 2 Рис. 29 Вводим новые координаты ч1 =х1+хз, 9 1=хг — хз, Ч2 Компоненты векторов и выражаются через них согласно = У1 + Уз. ША тв ША У2 — Чзз тв а для функции Лагранжа получим после вычисления: 1 Х1 = — (Я,. + Ч.1), 2 1 У1 = (Чзг + сз' с18 и) 2 1 б = — ((Х1 — хг) соз и — (уг — уг) зш сг) + 1 + — ( — (хз — хг) соз с1 — (Уз — Уг) юп и).
1 хз = — (1е — Ч 1), хг = 2 1 Уз = — (Ч, г — 1„2 ссй ц), 2 99 КОЛЕБАНИЯ МОЛЕКУЛ 1 24 тА 1'2тА 1 1 ' г пгА .г тлр.г + . 2 )42 + 21+ чг 4 тв зшгсс~ ' 4 ' 4тв 2 г — — (йгяп а+ 2йг сов и) — д,г 1йгсоз 11+ 2йгяп с1)+ 21 .2 г г П 2 2 4 ' 4тгв + д го г (2йг — й1) вшс4сози. ц 2тв Отсюда видно, что координата 1„2 отвечает нормальному колебанию с частотой пг = — (1+ яп гг), П1А тн антисимметричному относительно оси 1' гхг = хз, У1 = — уз; рис. 29 а).
Координаты же д41, у„г совместно соответствуют двум колебаниям (симметричным относительно оси 1': хг = — хз, у1 = уз, рис. 29 б и е), частоты которых а1,1, ш,г определяются как корни квадратного (по ш ) г характеристического уравнения 4 2~ 1 (1 гпА 2 ) 2 (1 тА 2 )~ Р 1 2 0 1ПА Пгн тА тв твт,г При 2и = и все эти частоты совпадают с найденными в задаче 1. 3. То же для линейной несимметричной молекулы АВС 1ряс. 30).
Р е ш е н и е. Продольные (х) н поперечные 1у) смещения атомов связаны соотношениями 3 1г 2 11 1 тлх1 + твхг + тсхз = О, С В А Рис. 30 тАУ1 4-твуг 4 тсуз = О, гиА11У1 = тс12уз. Потенциальную энергию растяжения и изгиба запишем в виде — 1311) + — 1612) + б йг г йг г й21 г 2 2 2 (21 = П + 12). Вычисления, аналогичные произведенным в задаче 1, при- водят к значению гпс тА гпв для частоты поперечного колебания и к квадратному 1по аг ) уравнению 2 й й' для частот шп, шя двух продольных колебаний. ГЛ. У МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 2 25.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
