07 (1109369)
Текст из файла
Функции нескольких переменных.
Точки в пространстве
будем обозначать векторами 
д-окрестность 
точки 
будем обозначать множество:
Функцией 
будем называть отображение: 
определенное на некотором множестве 
Будем говорить, что функция непрерывна в точке 
если
Пример функции непрерывной по каждой из переменных, но разрывной по совокупности переменных в данной точке.
Рассмотрим функцию
Исследование эту функцию на непрерывность в точке (0,0).
Заметим, что f(0, x2)=f(x1,0)≡0, те по каждой из переменных x1 и x2 при фиксированном значении второй переменной эта функция непрерывна. Предположим, что 
Пусть 
и 
Если x1=x2, то 
Следовательно, f(x1, x2) разрывна в 
.
В дальнейшем мы в основном будем рассматривать только функции от двух переменных f(x, y) для того, чтобы формулировать утверждения и доказательства было проще.
Дифференцируемость функции f(x, y) в точке (x0, y0).
Определение. Функция f(x, y) дифференцируема в точке (x0, y0) (или сокращенно 
), если справедливо равенство:
-
f(x, y)=f(x0, y0) + A(x - x0) + B(y - y0) +
![]()
где ![]()
- некоторые константы, а ![]()
Зафиксируем одну из переменных, например: y=y0. Тогда f(x0, y0) будет функцией от x и равенство (1) примет вид: f(x0, y)=f(x0, y0) + A(x - x0) + B(y - y0) + o(x - x0). Следовательно, число A есть производная функции f(x0, y) в точке x=x0. Эта производная обозначается так: 
и называется частной производной f(x, y) по x в точке (x0, y0). Аналогично: 
Таким образом условие дифференцируемости функции f(x, y) в точке (x0, y0) можно представить в виде:
f(x, y)=f(x0, y0) ++
+
Функция может быть дифференцируема по каждой из переменных в отдельности и при этом не быть дифференцируемой по совокупности переменных (см. разобранный выше пример разрывной в функции).
Теорема (достаточное условие дифференцируемости функции в точке).
Пусть функция f(x, y) определена в некоторой окрестности точки (x0, y0) и f(x, y), 
Тогда 
Доказательство.
Рассмотрим разность: f(x, y) - f(x0, y0) = f(x, y) - f(x0, y) + f(x0, y) - f(x0, y0).
Используя формулу Лагранжа, получим равенства:
f(x, y) - f(x0, y) = 
f(x0, y) - f(x0, y0) = 
где 
Далее, ввиду непрерывности частных производных 
и 
в точке (x0, y0), справедливы соотношения: 
и 
Следовательно, имеют место равенства:
f(x, y) - f(x0, y0) = f(x, y) - f(x0, y) + f(x0, y) - f(x0, y0) = 
+ 
= 
+ o(x – x0) + + o(y – y0) = + + 
так как o(x – x0) = 
и o(y – y0) =
Теорема доказана.
Замена переменных.
При u=v: 
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
