02 (1109359)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Несобственные интегралы.

Пусть функция f(x) определена на полуинтервале (a, b] и , ; кроме того

Определение: Несобственным интегралом 1рода от f(x) на (a, b] называется предел:

если этот предел существует. В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится.

Пример:

Если  = 1, то

Следовательно, при  < 1 интеграл

Аналогично определяется несобственный интеграл, если

Определение несобственного интеграла 2 рода:

Пусть : и существует предел:

Тогда этот предел называется несобственным интегралом 2 рода, т.е.

Пример:

Если  = 1, то

Следовательно, несобственный интеграл

Для исследования сходимости и расходимости несобственных интегралов применяется признак сравнения:

Пусть функция f(x) и g(x) удовлетворяют неравенству: и несобственный интеграл сходится. Тогда сходится и несобственный интеграл .

Доказательство: В силу сходимости по критерию Коши для функции , выполняется неравенство . Но тогда, ввиду неравенств: аналогично неравенство будет справедливо и для функции f(x), т.е.

Следовательно, по критерию Коши существует предел:

, т.е. этот интеграл сходится.

Замечание1: Аналогичный признак сравнения справедлив и для несобственных интегралов 2 рода.

Замечание2: Отрицанием признака сравнения будет следующее утверждение: если несобственный интеграл расходится, то расходится и несобственный интеграл .

Эйлеровы интегралы () и (, ).

Определим функцию () равенством:

.

Покажем, что интеграл сходится при  > 0. Представим этот интеграл в виде суммы двух интегралов:

и докажем сходимость каждого из этих интегралов при  > 0.

Обозначим и .

Если x(0, 1], то: . Так как интеграл , как это было доказано выше сходится при 1 - < 1, т.е. при >0, то по признаку сравнения интеграл сходится при >0. Если x[1, + ) , то для некоторой константы c>0 выполняется неравенство: .

Заметим, что , т.е. этот интеграл сходится при любых R. Следовательно, функция Эйлера () = ₁() + ₂() определена для всех >0.

Далее, определим функцию (, ) = и докажем, что эта функция определена для любых >0 и >0.

Обозначим: и .

Если x(0, 1/2], то . Интеграл сходится по признаку сравнения 1 - a<1, т.е. при a>0 и при любых значениях b. Заметим, что, если в интеграле B₂(a, b) сделать замену t = 1 – x, то мы B₁(b, a), который, как мы выяснили, сходится при >0 и при любых a.

Следовательно, функция Эйлера B(a, b) = B₁(a, b) + B₂(a, b) определена для любых a>0 и b>0. Отметим (без доказательства) следующие свойства интегралов Эйлера:

1. G(1) = 1

2. G(a + 1) = aG(a), a>0

3. G(n + 1) = n!, nN

4. G(a)G(1 - a) = , 0<a<1

5. G(1/2) =

6. B(a, b) =

Пример:

Вычислить интеграл вероятности .

В силу чётности функции интеграл вероятности можно представить в виде:

.

Сделав в этом интеграле замену t = x² , получим следующий интеграл:

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций