09 (1109373)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Дифференциалы высших порядков.

Формула Тейлора.

Определение: Дифференциалом порядка k, k>1 от функции f(x,y) в точке (x₀,y₀) называется дифференциал от дифференциала порядка k-1.

Можно по индукции доказать следующее равенство:

, k = 1, 2…

Так, при k=2 и k=3 получим следующие равенства:

Заметим, что свойством инвариантности относительно замены переменных обладает только первый дифференциал. Однако, если замена переменных линейная, им будут обладать все дифференциалы порядков выше первого, так как в этом случае d²x=0 и d²y=0. В частности, при замене x = a + bt, y = c + et, , получим равенства:

Формула Тейлора для функции f(x,y).

Теорема. Пусть функция f(x,y) и все её частные производные до порядка n+1 непрерывны в некоторой окрестности точки (x₀,y₀). Тогда справедлива формула Тейлора:

где dx=x-x₀, dy=y-y₀ и - остаток в форме Лагранжа.

Пусть точка (x,y) лежит в рассматриваемой окрестности точки (x₀,y₀). Сделаем следующую замену переменных:

Зафиксируем значения x и y. Тогда справедлива формула Тейлора для функции f₁(x)=f(x’,y’) в точке t=0:

где

С другой стороны в силу инвариантности дифференциалов при линейной замене получим равенство:

где

Теорема доказана.

Необходимое и достаточное условие локального экстремума для функции f(x,y).

Определение: точка (x_0,y₀) называется точкой локального максимума функции f(x,y), если найдётся такая окрестность точки (x₀,y₀), что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство: f(x,y) < f(x₀,y₀). Если выполняется обратное неравенство, f(x,y) > f(x₀,y₀), то такая точка называется точкой локального минимума функции f(x,y).

Точка (x₀,y₀) называется точкой максимального экстремума, если она является либо точкой локального максимума, либо точкой локального минимума функции f(x,y).

Теорема (необходимое условие локального экстремума).

Пусть функция f(x,y) и её частные производные непрерывны в точке (x₀,y₀).

Кроме того, точка (x₀,y₀) есть точка локального экстремума функции f(x,y). Тогда выполняются равенства:

и или

Доказательство.

Зафиксируем переменную y, положив y=y₀. Рассмотрим функцию f(x,y₀), которая есть функция от x, и в точке x=x₀ эта функция имеет локальный экстремум. Тогда по теореме Ферма: . Аналогично доказывается, что . Теорема доказана.

Теорема (достаточное условие локального экстремума).

Пусть функция f(x,y) и её частные производные непрерывны в окрестности точки (x₀,y₀). Кроме того, выполняются следующие условия:

Тогда точка (x₀,y₀) есть точка локального минимума.

или

Тогда точка (x₀,y₀) есть точка локального максимума.

Доказательство.

Воспользуемся формулой Тейлора при n=2:

f(x,y) = f(x₀,y₀) + df(x₀,y₀) + или f(x,y) - f(x₀,y₀) =

Знак левой части последнего равенства определяется знаком Пользуясь критерием Сильвестра

и .

и .

Следовательно, если выполнены условия A, то и f(x,y) - f(x₀,y₀) > 0, т. е. точка (x₀,y₀) есть точка локального минимума.

Если выполнены условия B, то (x₀,y₀) есть точка локального максимума. Теорема доказана.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций