01 (1109357)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Математический анализ.

2 семестр.

Интегрирование функции одного переменного.

§ 1. Первообразная и неопределенный интеграл.

Определение: Функция F(x)=D(a,b) называется первообразной для функции f(x) на (a,b), если F’(x)=f(x), .

Пример 1.

Функция ln x есть первообразная для , x>0, а функция ln(-x) есть первообразная для , x<0.

Пример 2.

Функция есть первообразная для f(x)=|x|,

Теорема 1. Если F(x) есть первообразная для f(x) на (a,b), то для любой константы функция F(x) + c также есть первообразная для f(x) на (a,b).

Доказательство:

(F(x) + c)’=F’(x) + (c)’ = F’(x)=f(x), .

Следовательно, по определению первообразной функция F(x) + c есть первообразная для f(x) на (a,b).

Теорема 2. Пусть F₁(x) и F₂(x) две различные первообразные для f(x) на (a,b). Тогда .

Доказательство:

(F₁(x) – F₂(x))’ = (F₁(x))’ – (F₂(x))’ = f(x) – f(x) = 0, .

По следствию из теоремы Лагранжа (см. 1 семестр): F₁(x) – F₂(x) = c,
F₁(x) = F₂(x) + c.

Теорема доказана.

Следовательно, если F(x) – одна из первообразных для f(x) на (a,b), то множество всех первообразных есть {F(x) + c, }.

Определение. Если у функции f(x) существует хотя бы одна первообразная F(x) на (a,b), то неопределенным интегралом функции f(x) на (a,b) называется множество всех первообразных функции f(x).

Неопределенный интеграл обозначается так:

Из доказанных теорем следует, что где F(x) – одна из первообразных, а - произвольная константа.

Основные свойства неопределенного интеграла:

1).

2). Замена переменной в неопределенном интеграле.

Пусть F(x) – первообразная для f(x) на (a,b), функция и .

Тогда справедлива формула:

Доказательство.

Докажем, что .

Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции

Следовательно, функция есть первообразная для на .

Замечание. Формулу замены переменных следует понимать так: при замене переменной множество первообразных для f(x) на (a,b) переходит во множество первообразных для на .

3). Интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Пусть функции u(x) и v(x) непрерывно диффенцируемы на (a,b). Тогда справедлива следующая формула:

Доказательство.

Доказательство существования первообразных для функций и будет приведено в следующих параграфах (см.)

Пусть F₁(x) и F₂(x) соответственно некоторые первообразные для и .

Тогда по определению первообразной и правилу дифференцирования произведения двух функций + = , .

Следовательно, по следствию из теоремы Лагранжа:

F₁(x) + F₂(x) = + c, где c – некоторая константа, или F₁(x) = - F₂(x).

Так как из данного равенства следует, что

Замечание: Формулу интегрирования по частям следует понимать так: множество функций {F₁(x) + C₁}, стоящих в левой части равенства, совпадает со множеством функций { - F₂(x) + c₃}, стоящих в правой части, где с₃ = с – с₂, а с₁ и с₂ – произвольные числа.

4). Связь между дифференциалом и неопределенным интегралом.

Справедливы следующие равенства:

а)

б)

Эти равенства следуют из определений:

и .

Основные формулы:

7. , a>0, a≠1

8. , a≠0

9. , a≠0

Примеры вычислений связанных с неопределенным интегралом

Пример 1.

Найти уравнение кривой, угловой коэффициент которой в точке (x,y) равен если известно, что она проходит через точку (1,1).

Решение.

Если y=y(x) – уравнение искомой кривой, то угловой коэффициент в точке x равен

Следовательно, имеет место равенство

Кроме того, по условию задачи:

Ответ: y=2x-x²

Замечание. Рассмотренный пример показывает, что неопределенная константа c может быть вычислена, если задано значение первообразной в некоторой точке x.

Пример 2.

Скорость химической реакции пропорциональна количеству вещества, вступившего в реакцию. Найти функцию m(t), где t – время, а m(t) – количество вещества, вступившего в реакцию в момент времени t, если задано:

m(0)=m₀ и m(1)=m₁.

Решение:

По условию задачи:

где k>0 – некоторая константа.

Это уравнение можно переписать так: или

Используя условия: m(0)=m₀ и m(1)=m₁, получим равенство:

m₀=e^c и m₁=e^-k+c=m₀e^k.

Следовательно, окончательно получаем:

.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций