08 (1109371)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Дифференцирование сложной функции.

Теорема: Пусть и функции x = x(u, v) , y(u, v) = x(u₀, v₀), y₀ = y(u₀, v₀).

Тогда f(x(u, v), y(u, v))D(u₀, v₀) и

Доказательство: Рассмотрим разности:

из которых следует, что

f(x(u, v), y(u, v)) - f(x(u₀, v₀), y(u₀, v₀)) =

Следовательно, по определению дифференцируемости функция двух переменных:

f(x(u, v), y(u, v))D(u₀, v₀) и

Теорема доказана.

Дифференциал функции двух переменных. Свойство инвариантности дифференциала.

Пусть .

Определение: Дифференциал d функции в точке называется следующее выражение:

или сокращённо: , где dx и dy – дифференциалы переменных x и y.

Пусть x = x(u, v) и y(u, v) .

Тогда по определению:

Следовательно, мы можем представить df в следующем виде:

Последнее равенство следует из доказанных формул замены переменных.

Таким образом df можно представить в виде:

Это равенство и выражает свойство инвариантности первого дифференциала.

Частные производные высших порядков. Равенство вторых смешанных производных.

Первые частные производные и есть функции от переменных x и y. Назовём по определению вторыми частными производными функции следующие выражения:

Пример:

Заметим, что = . Это свойство обобщается следующей теоремой.

Теорема: Пусть , и непрерывны в некоторой окрестности точки (x, y), а и непрерывны в самой точке (x, y). Тогда в точке (x, y) равенство:

=

Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию

.

Обозначим

Заметим, что

.

По формуле Лагранжа:

где x₁(x, x + Δx), y₁(y, y + Δy).

Аналогично, для функции h(x, y) справедливы равенства:

где x₂(x, x + Δx) и y₂(y, y + Δy).

Из доказанных равенств следует, что

Если

Поэтому, ввиду непрерывности функций и в точке (x, y) справедливо равенство: =

Теорема доказана.

Следствие:

Для смешанных производных высших порядков верно равенство:

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций