05 (1109365)
Текст из файла
Свойства определенного интеграла.
Используя определение предела интегральных сумм, получаем следующие свойства определенного интеграла:
Доказательство свойств.
-
1) Напишем интегральную сумму для функции
.
Обозначими
.
Тогда получим равенство:.
Так каки
то
и по определению он равен
что и доказывает свойство 1.
-
Напишем интегральную сумму для f(x):
.
Обозначимs=0,…,n и
s=1,…,n.
В интегральной сумме S заменим k=n-s:
По определению есть интегральная сумма для интеграла
что и доказывает свойство 2.
-
Без доказательства.
-
Так как
то интегрируя эти неравенства, ввиду свойства 5, получим:
-
Так как f(x)
, то f(x)
(это будет доказано в следующем параграфе).
Из свойства 6 следует, чтогде
и
По теореме о промежуточном значении непрерывной на отрезке функциитакая, что
или
Замечание
Это свойство обычно называют теоремой о среднем.
Критерий интегрируемости функций на отрезке. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций.
Пусть задано некоторое разбиение T отрезка [a, b]: a=x0<x1<…<xn=b. Пусть f(x) . Тогда по доказанному ранее f(x) ограничена на [a, b] и, следовательно, f(x) ограничена на каждом из отрезков разбиения [xk-1, xk], k=1,…,n.
Суммы и
называются соответственно верхняя и нижняя суммы Дарбу.
Критерий интегрируемости
(без доказательств).
Теорема об интегрируемости непрерывных функций.
Доказательство.
По теореме Кантора о равномерной непрерывности непрерывной на отрезке функции:
Пусть разбиение T отрезка [a, b] имеет диаметр Тогда из равномерной непрерывности функции f(x) на [a, b] следует, что
k=1,…,n.
Запишем разность и
в виде суммы:
Следовательно и по критерию интегрируемости f(x)
. Теорема доказана.
Теорема об интегрируемости монотонных на отрезке функций.
Пусть f(x) – монотонная на отрезке [a, b] функция. Тогда f(x) .
Доказательство.
Предположим для определенности, что f(x) – неубывающая на [a, b] функция. Пусть T – некоторое разбиение [a, b].
Тогда, ввиду неубывания f(x), Mk=f(xk) и mk=f(xk-1).
Следовательно, разность -
можно оценить следующим образом:
По критерию интегрируемости f(x) . Теорема доказана.
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.