04 (1109363)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Интеграл как функция верхнего предела интегрирования.

Формула Ньютона – Лейбница.

Рассмотрим функцию F(x), связанную с функцией равенством:

Теорема 1: Функция

Доказательство: Пусть - произвольная точка. Докажем, что

Рассмотрим разность:

Так как , то f(x) ограничена на [a, b], т.е.

Следовательно, по свойству определённого интеграла и , что и требовалось доказать.

Теорема 2: Пусть и . Тогда и .

Доказательство: Рассмотрим следующее выражение:

Так как и по условию , то при

Следовательно, при имеют место соотношения т.е.

Теорема 2 доказана.

Формула Ньютона – Лейбница.

Теорема: Пусть . Тогда и, если F₁(x) – любая первообразная для f(x) на [a, b], то справедливо равенство:

(эта формула носит название формулы Ньютона - Лейбница).

Доказательство: Рассмотрим, как и выше, функцию

.

Так как, по условию теоремы , то в силу теоремы 2

, .

Следовательно, F(x) – есть первообразная для f(x) на [a, b].

Заметим, что F(a) = 0 и .

Пусть F₁(x) – любая из первообразных для f(x). Как было доказано выше F₁(x) = F(x) + C, где - некоторая константа.

Запишем разность

Теорема доказана.

Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле.

Теорема (о замене переменной в определённом интеграле):Пусть и . Кроме того: .

Тогда справедлива формула

Доказательство:

Пусть F(x) – некоторая первообразная для f(x) на [a, b]. Тогда по свойству замены переменных в неопределённом интеграле и ввиду формулы Ньютона – Лейбница есть первообразная для на и справедливо равенство:

Теорема доказана.

Теорема (об интегрировании по частям в определённом интеграле):Пусть .

Тогда справедливо равенство:

.

Доказательство:

Так как первообразной для функции будет u(x)v(x), то по формуле Ньютона – Лейбница

Левую часть этого равенства можно представить в виде:

и, следовательно, имеет место равенство

.

Теорема доказана.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций