03 (1109361)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Определённый интеграл.

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b].

y

ξ₁ ξ₂ ξ_n

a = x₀ x₁ x₂ x_n-1 x_n = b x

Зададим разбиение Т отрезка [a, b] точками а = x₀ < x₁ <x₂ < … < x_n-1 < x_n = b. На каждом из отрезков разбиения [x_i-1, x_i], i = 1, …, n, выберем произвольным образом точку ξ_iÎ[x_i-1, x_i], i = 1, …, n, и запишем сумму:

которую будем называть интегральной суммой. Сумма S зависит от функции f(x), разбиения Т и точек ξ₁, …, ξ_n.

Назовём диаметром разбиения d(Т) следующую величину:

т.е. длину максимального из отрезков разбиения Т.

Определении: Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b] называется предел : , если он существует, и обозначается так:

Более подробно это определение можно представить следующим образом:

число I = , если |I – S| < 

Замечание. (геометрический смысл определённого интеграла)

Пусть f(x) С[a, b] и f(x) 0, x[a, b]

Далее будет доказано, что f(x) интегрируема на [a, b]. Зададим произвольное разбиение Т отрезка на [a, b] и выберем точки ξ_i: , i = 1, …, n. Тогда график функции y = f(x) на каждом отрезке [x_i-1, x_i] будет лежать не выше прямой, y = , i = 1, …, n. Следовательно, площадь криволинейной трапеции:

K = :

не превосходит интегральной суммы S. Если , то площадь K будет сколь угодно мало отличаться от значения определённого интеграл I. Таким образом, численное значение площади K равно I. В этом заключается геометрический смысл определённого интеграла.

Необходимое условие существования определённого интеграла от функции f(x) на отрезке [a, b].

Определение: Функция f(x) называется ограниченной на множестве MR, если

Если f(x) интегрируема на [a, b], то будем это обозначать так: f(x)ÎR[a, b].

Теорема: Если f(x)ÎR[a, b], то функция f(x) ограничена на [a, b].

Доказательство: Предположим, что f(x)ÎR[a, b] и f(x) неограничена на [a, b].

Из условия теоремы о существовании следует ограниченность интегральных сумм S.

Рассмотрим произвольную интегральную сумму:

Так как f(x) неограничена на [a, b], то она также будет неограничена хотя бы на одном из отрезков разбиения Т. Пусть для определённости это будет отрезок , .

Так как интегральные суммы S ограничены, то .

Зафиксируем данное разбиение Т, число i₀ и все числа ξ_i , , .

Обозначим числом d сумму:

Тогда . Так как , то

и, следовательно,

для любой точки ξ₀ , о противоречит предположению о неограниченности функции f(x) на .

Теорема доказана.

Замечание. Условие ограниченности функции на отрезке [a, b] не является достаточным. В качестве примера рассмотрим функцию Дирихле:

на отрезке [0, 1].

Пусть для произвольного разбиения Т отрезка [0, 1] все ξ_iQ, i = 1, …, n.

Тогда

Если все ξ_i Q, i = 1, …, n, то

Следовательно, не существует для функции Дирихле D(x).

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций