06 (1109367)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Теорема о неявной функции.

Теорема: Пусть функция f(x, y) и непрерывны в окрестности точки ; кроме того, = 0 и . Тогда такие, что .

Доказательство: Пусть для определённости > 0. Зафиксируем переменную x = x₀. Тогда функция > 0 в некоторой окрестности точки y₀, т.е.

Пусть Обозначим ₁ = y₁ – y₀. В точке выполняется неравенство . Кроме того, на отрезке [y₀ – ₁, y₀ + ₁) функция монотонно возрастает. Следовательно, и . В силу непрерывности функции f(x, y), . Зафиксируем . Тогда функция f(x, y) при будет монотонно возрастающей, так как > 0,  ,  .

Следовательно,  .

Далее, рассмотрим разность для этих x и y = y(x):

, так как f(x, y) = 0, .

Из этого равенства следует, что

или при .

Теорема доказана.

Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

Пусть функция f(x, y) и дифференцируема в некоторой окрестности точки ; . Тогда согласно предыдущей теореме уравнение f(x, y) = 0 определяет в некоторой окрестности точки неявную функцию y = y(x), такую, что . Далее, пусть g(x, y) некоторая функция непрерывная вместе с частными производными в некоторой окрестности точки .

Рассмотрим функцию: .

Необходимое условие экстремума функции

или .

Кроме того, в точке , функция y = y(x) удовлетворяет условию:

.

Обозначим .

Тогда в точке должна выполняться система уравнений:

.

Это есть необходимое условие того, чтобы функция g(x, y) имела в точке локальный экстремум при условии: f(x, y) = 0.

Достаточным условием экстремума функции g(x, y) при условии f(x, y) = 0 будет неравенство: .

В общем случае задача условного экстремума состоит в следующем: требуется найти экстремум функции при наличии условий:

Метод множителей Лагранжа для нахождения условного экстремума состоит в том, что рассматривается вспомогательная функция Лагранжа:

.

В точке экстремума dG = 0

или .

Из этой системы находится точка локального экстремума.

Пример: Найти экстремум функции g(x, y) = xy при условии x+ y = 1.

Запишем функцию Лагранжа:

.

В точке экстремума dG ,

т.е. .

Из этой системы находим .

Для исследования экстремума рассмотрим функцию:

. Заметим, что . Кроме того, в силу уравнения . Следовательно, и точка есть точка условного максимума функции g(x, y) = xy при условии x + y =1.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций