И.К. Лифанов - Особые интегральные уравнения и методы их численного решения (1109002)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Факультет Вычислительной математики и кибернетики

Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Лифанов И.К.

Особые интегральные уравнения и методы их численного решения

Учебное пособие

Учебное пособие издано при поддержке образовательной программы «Формирование системы инновационного образования в МГУ».

Макс Пресс0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Москва

2006

УДК 519

ББК

Учебно-методическое пособие

Лифанов И.К. Особые интегральные уравнения и методы их численного решения. Учебное пособие по курсу лекций. Москва, 2006 год. – 68 с.

Москва, «МАКС-Пресс», 2006 г. – 68 стр.

В этом спецкурсе излагается теория одномерных особых интегральных уравнений первого рода в периодическом случае и на отрезке с помощью элементарных средств без использования достаточно сложного аппарата краевых задач теории аналитических функций. Для этих уравнений изложен метод дискретных вихрей их численного решения.

ISBN

Факультет Вычислительной математики
и кибернетики МГУ им. М. В. Ломоносова,

Кратко об авторе.

Иван Кузьмич Лифанов – доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный деятель науки Российской Федерации, почетный профессор Военно-воздушной инженерной академии им. Н.Е. Жуковского, почетный доктор Одесской национальной академии связи им. А.С. Попова.

Работает на кафедре вычислительных технологий и моделирования факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, заведует кафедрой высшей математики в Военно-воздушной инженерной академии им. Н.Е. Жуковского и является главным научным сотрудником Института вычислительной математики РАН.

Его научные интересы: теоретические исследования и численные методы для особых интегральных уравнений, математическое моделирование в аэродинамике, электродинамике, дифракции волн.

Имеет более 290 научных публикаций, в том числе 11 монографий из которых 3 на английском языке и одна на украинском.

Более 20 лет совместно с профессором Е.В. Захаровым руководит научно-исследовательским семинаром «Интегральные уравнения и их приложения» на факультете ВМиК в МГУ.

Один из организаторов Международных симпозиумов «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики», которые регулярно проводятся уже 23 года.

Председатель докторского диссертационного совета в ВВИА им. Н.Е. Жуковского и член такого совета в ИВМ РАН.

Заместитель председателя научно-методического совета по математике Минобрнауки РФ.

Член редколлегий ряда научных журналов.

Член Национального комитета по теоретической и прикладной механики РАН.

В этом спецкурсе мы хотим изложить теорию одномерных особых интегральных уравнений первого рода в периодическом случае и на отрезке с помощью элементарных средств без использования достаточно сложного аппарата краевых задач теории аналитических функций. Потом изложить для этих уравнений метод дискретных вихрей их численного решения.

Текст разбит на четыре пункта. В каждом пункте нумерация сквозная. Если ссылка идет на формулу из другого пункта, то указывается номер пункта и формулы, а если из того же пункта, то указывается только номер формулы.

Оглавление дано в виде вопросов для подготовки к сдаче спецкурса. К каждому вопросу даны страницы в пособии, где излагается этот вопрос, а в круглых скобках указана литература, где можно посмотреть этот вопрос более подробно. Сами вопросы выделены в тексте жирным шрифтом.

п.1. Особые интегралы и уравнения с ними в периодическом случае.

Рассмотрим вначале интегральный оператор с ядром Гильберта

(1.1)

который по определению полагаем равным . (1.2)

Так как функция нечетна на отрезке , то справедливо равенство

(1.3)

Можно доказать, что оператор определен для любой периодической функции , удовлетворяющей условию Гельдера степени на отрезке , т.е. для любых и из отрезка [0,2 ] выполняется соотношение , где А>0 некоторая константа.

Утверждение 1.1.Справедливы следующие спектральные соотношения для интегрального оператора с ядром Гильберта

(1.4)

где

(1.5)

. (1.6)

Действительно, при целом положительном n имеем

. (1.7)

Переходя в равенстве (7) к комплексно сопряженным величинам, получаем

. (1.8)

Таким образом, для отрицательных целых чисел n имеем

. (1.9)

Интегрируя тождества (7) и (8) и меняя местами аргументы под котангенсом получаем равенство (4). Для получения равенства (5) надо взять равенство (4) при n=1 и n=-1, сложить их и разделить на 2. Аналогичным образом получается равенство (6).

Так как оператор Гильберта обладает свойством линейности, т.е.

, (1.10)

то знак конечной суммы для функций , и знак оператора Гильберта можно менять местами. Поэтому оператор Гильберта переводит тригонометрические полиномы в тригонометрические полиномы. В силу этого этот оператор можно распространить на пространство комплекснозначных периодических функций на [0, ] с интегрируемым квадратом модуля. В этом пространстве вводится норма , где под знаком квадратного корня стоит скалярный квадрат функции f. Скалярное произведение функций f и g в этом пространстве вводится следующим образом: . Указанное пространство является Гильбертовым и поэтому в нем имеется базис, состоящий из функций , . Пусть теперь - периодическая функция из , тогда

, , (1.11)

причем выполняется соотношение

. (1.12)

Для этих функций будем по определению полагать

. (1.13)

Последнее равенство справедливо в силу того, что последний ряд сходится в . Действительно, имеем

. (1.14)

Итак, по определению имеем

. (1.15)

Таким образом, если функция принадлежит пространству , то функция , определяемая равенством

= (1.16)

так же принадлежит пространству .

Утверждение 1. 2. При , справедливо равенство

. (1.17)

Действительно

.

Теперь заметим, что в равенствах (4) и (17) вместо функции , , можно поставить функцию .

Обратимся теперь к характеристическому интегральному уравнению первого рода с ядром Гильберта. Так называется уравнение вида

, . (1.18)

Утверждение 1.3. Пусть принадлежит пространству . Тогда, для того чтобы уравнение (18) имело решение из необходимо выполнение равенства

. (1.19)

Действительно, пусть функция , принадлежащая пространству , является решением уравнения (18). В этом случае должно выполняться равенство

= . (1.20)

Из последнего равенства следует равенство (19).

Пусть теперь функция в (18) принадлежит пространству и для нее выполняется равенство (19). Тогда в силу равенства (17) и определения интеграла с ядром Гильберта от функции из получаем, что функция , определяемая равенством

=

(1.21)

является решением уравнения (18). Ясно, что в силу равенство (3) функция +С для произвольной константы С так же является решением уравнения (18).

Приведенные выше рассуждения показывают справедливость следующей теоремы.

Теорема 1.1. Пусть в уравнении (18) функция принадлежит пространству и для нее выполняется равенство (19). Тогда общее решение этого уравнения, так же принадлежащее , дается формулой

= . (1.22)

Теперь рассмотрим интегральный оператор с логарифмической особенностью. Так будем называть оператор

, . (1.23)

Если является непрерывной функцией на , то интеграл в (23) имеет логарифмическую особенность при и поэтому определен. Обозначим через некоторую первообразную функции . Тогда интегрируя по частям получим равенство

+ .

Так как первое слагаемое справа в последней формуле равно нулю, в силу периодичности функции (предполагается, что не является константой), то получаем равенство

, . (1.24)

Интеграл справа в (24) определен, так как функция удовлетворяет условию Гельдера при , т.е. условию Липшица. Поэтому равенство (24) справедливо. Возьмем = , тогда можно взять = . Теперь в силу равенства (4) получаем соотношение

, . (1.25)

Наконец, осталось вычислить значение . Это значение имеется в справочниках (см. [1] стр. 107), но мы здесь дадим вычисление этого значения, приведенное в учебном пособии Гандель Ю.В. Введение в методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов, Харьков-2001, 92 с. В силу периодичности функции с периодом получаем

+

. (1.26)

Таким образом, получаем

-2ln2. (1.27)

В силу формулы (24) и формул (5), (6) получаем справедливость соотношений

, n=1,2,… (1.28)

, n=1,2,… (1.29)

Наконец, отметим, что из соотношений (4) и (25), (27) следует справедливость следующей теоремы.

Теорема 1.2. Пусть функция принадлежит пространству , т.е. , на , и функция удовлетворяет равенству

, . (1.30)

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов книги