И.К. Лифанов - Особые интегральные уравнения и методы их численного решения (1109002), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

где полагается , а величина , , удовлетворяет соотношению (67) для .

Для доказательства теоремы 7 надо воспользоваться доказательством теоремы 3 с учетом специфики правой части уравнения (72) и рассуждениями при доказательстве теоремы 6.

Рассмотрим теперь применение метода дискретных вихрей для численного решения характеристического сингулярного интегрального уравнения первого рода на отрезке, когда в правой части имеется функция, имеющая в некоторой точке отрезка особенность типа 1/x. Конкретно рассмотрим уравнение

, . (4.77)

Ясно, что решением этого уравнения будет функция , . Если мы желаем рассматривать для уравнения (77) решения индекса , то дельта функцию надо рассматривать как произведение , , , , где функция является элементом соответствующего пространства обобщенных функций, а правую часть в (77) надо рассматривать как элемент пространства обобщенных функций. Заметим, что для уравнения (77) существует решение индекса -1, так как верно равенство

, , (4.78)

а общее решение индекса 1 задается формулой

+ . (4.79)

Численное решение уравнения (77) рассмотрим в случае индекса 1 как наиболее интересным с точки зрения приложений. Возьмем на отрезке [-1,1] множества и , образующие каноническое разбиение этого отрезка, и будем предполагать, что точка при некотором k= , т.е. = . Заменим уравнение (77) следующей системой

, , (4.80)

.

Для упрощения рассуждений возьмем С=-1. Тогда в силу теоремы 1 имеем

= . (4.81)

Запишем последнюю формулу в виде

= , , (4.82)

= . (4.83)

Перепишем формулу (82) в виде

= , .

Теперь из формул (25) и (26) и равенства [1]

, , (4.84)

Следует, что

= + , , (4.85)

где величина удовлетворяет неравенствам (68) и (69).

Теперь рассмотрим равенство (83). Используя равенство [262 из [2]]

(4.86)

можно доказать, что

= . (4.87)

Введем теперь функцию , , по правилу = , , = , . Тогда проведенные выше рассуждения показывают, что в смысле обобщенных функций, имеем соотношение

. (4.88)

Наконец рассмотрим применение метода дискретных вихрей для численного решения характеристического гиперсингулярного интегрального уравнения первого рода на отрезке, когда в правой части имеется функция, имеющая в некоторой точке отрезка особенность типа 1/x. Конкретно рассмотрим уравнение

, . (4.89)

Используя решение (3.79) для уравнения (3.74), получим, что решение уравнения (89) будет задаваться по формуле

= (4.90)

где =0, при , = , при t=q, =1, при .

Чтобы применить метод дискретных вихрей к численному решению уравнения (89), как и для уравнения (38), пусть множества и образуют такое разбиение отрезка с шагом , что , , , , и будем предполагать, что точка при некотором k= , т.е. = . Заменим теперь уравнение (89), как и уравнение (38), системой

, . (4.91)

Повторяя теперь в дискретном виде процесс получения решения уравнения (3.74) и доказательство сходимости численного решения к точному для уравнения (77), получим, что, в смысле сходимости обобщенных функций, имеем

= , (4.92)

где это та функция, которая имеется в формуле (88).

Замечание 4.3. Чтобы говорить о скорости сходимости в пространствах обобщенных функций, надо рассматривать эти уравнения в паре соответствующих пространств . Например, если ввести функцию , то уравнение (89) относительно функции надо рассматривать в паре пространств и для , так как правая часть этого уравнения лежит в любом пространстве , . Действительно, будем рассматривать функцию как элемент пространства , тогда

= , =

= , n=0,1,… (4.93)

Из формулы (93) следует, что для любого функция

(4.94)

принадлежит пространству .

Обратимся теперь к рассмотрению метода дискретных вихрей для особых интегральных уравнений в периодическом случае.

Вначале рассмотрим применение метода дискретных вихрей к численному решению характеристического сингулярного интегрального уравнения первого рода на окружности, т.е. к уравнению

, (4.95)

в котором L является окружностью радиуса единица с центром в начале координат. Пусть множества и образуют каноническое разбиение окружности. т.е. точки разбивают окружность на равные части, а точка является серединой дуги между точками и . Справедлива следующая

Теорема 4.8. Пусть функция на L. Тогда между решением системы линейных алгебраических уравнений

, (4.96)

где , и решением уравнения Error: Reference source not found ( см. [1])

(4.97)

выполняется соотношение

, (4.98)

в котором величина удовлетворяет неравенству

. (4.99)

Доказательство. Система Error: Reference source not found совпадает с системой Error: Reference source not found, если в последней заменить h на . Поэтому те же рассуждения дадут

, (4.100)

где .

Так как теперь L– окружность, то к изучению множителей и придется подойти иначе, нежели в теореме Error: Reference source not found. Напомним, что

.

Поэтому можно написать

. (4.101)

Так как точки , разбивают окружность L на равные части, а является серединой дуги , то , . Вводя теперь перенумерацию, с учетом периодичности функции можно написать

.

Для вычисления заметим, что числа , являются корнями n-й степени из числа , т.е.

или

.

Последнее равенство есть тождество. Поэтому, устремляя z к единице, в пределе получим

. (4.102)

Для вычисления заметим, что числа , являются корнями n-й степени из числа , т.е.

.

Последнее равенство верно при любом z, поэтому при получаем

. (4.103)

Формулы – Error: Reference source not found показывают, что

, (4.104)

Аналогично можно показать, что

. (4.105)

Из формул Error: Reference source not found, Error: Reference source not found и Error: Reference source not found следует, что

. (4.106)

Учитывая теперь результаты для квадратурных формул метода дискретных вихрей на окружности [1] (3.2.10), видим справедливость теоремы Error: Reference source not found8.

Используя теперь рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 8, можно рассмотреть применение метода дискретных вихрей к численному решению характеристического интегрального уравнения с ядром Гильберта первого рода

. (4.107)

Выберем на отрезке точки , которые, интерпретируемые как точки единичной окружности L, разбивают ее на n равных частей; , , делит пополам дугу .

Напомним Мусх 1968, что уравнение Error: Reference source not found имеет решение только при условии

, (4.108)

которое и будем считать выполненным. Для выделения единственного решения надо задать значение решения в некоторой точке либо значение интеграла от решения (последнее более часто встречается в приложениях).

Справедлива следующая теорема.

Теорема 4.9. Пусть функция на [0,2], , и для нее выполняется равенство Error: Reference source not found. Тогда между решением системы линейных алгебраических уравнений

(4.109)

и решением уравнения Error: Reference source not found, задаваемым формулой ( см. (1.22))Error: Reference source not foundМусх 1968

(4.110)

при условии

, (4.111)

выполняется соотношение

, (4.112)

где , если п произвольно и , , если n нечетно и .

Доказательство. Просуммировав первые n уравнений в системе Error: Reference source not found и учитывая равенство Error: Reference source not found, получим

. (4.113)

Отсюда следует, что при тогда и только тогда, когда уравнение Error: Reference source not found имеет решение.

Идея дальнейших рассуждений состоит в сведении системы Error: Reference source not found к системе вида Error: Reference source not found для уравнения на окружности с помощью равенства

. (4.114)

Умножим последнее равенство в системе Error: Reference source not found на (–i) и прибавим ко всем первым п уравнениям. Учитывая равенство Error: Reference source not found, получим после умножения обеих частей на 

или

, (4.115)

где , , , , .

Система Error: Reference source not found совпадает с системой Error: Reference source not found, и поэтому ее решение дается формулой Error: Reference source not found. В силу равенств Error: Reference source not found и Error: Reference source not found получаем

, (4.116)

где .

Таким образом, опять воспользовавшись равенствами

, k=1,…n

и Error: Reference source not found, имеем

(4.117)

Сравнивая формулы Error: Reference source not found и Error: Reference source not found, и учитывая свойства квадратурных формул метода дискретных вихрей интеграла с ядом Гильберта [1], видим справедливость теоремы.

Обсудим еще вопрос применения метода дискретных вихрей к численному решению характеристического интегрального уравнения первого рода с логарифмической особенностью в периодическом случае, т.е. к уравнению

Характеристики

Список файлов книги