И.К. Лифанов - Особые интегральные уравнения и методы их численного решения (1109002), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

. (4.47)

где

,

,

причем и при должно выполняться условие

. (4.48)

Отметим, что ядро имеет вид

, (4.49)

где  и  равны 0 или 1/2, а функция Ф(t,) непрерывна на множестве [–1,1][–1,1]. Отметим, что к интегральному уравнению второго рода с ядрами вида Error: Reference source not found применима полностью теория Фредгольма построения приближенного решения и нахождения его решений [35Гурса, Error: Reference source not found из [2]Привалов Инт.ур. 1935]. Однако уравнение Error: Reference source not found можно непосредственно свести к уравнению Фредгольма второго рода с непрерывным ядром с помощью соответствующей замены переменной. Это замечание позволит систему линейных алгебраических уравнений для уравнения Error: Reference source not found, получаемую в рассматриваемом численном методе, эквивалентным образом преобразовать в систему линейных алгебраических уравнений для уравнения Фредгольма второго рода, эквивалентного уравнению Error: Reference source not found в данном классе решений.

Справедлива следующая

Теорема 4.4. Пусть в уравнении (Error: Reference source not found функции и принадлежат классу Н на множествах [–1,1] и [–1,1][–1,1] соответственно и это уравнение имеет единственное решение в соответствующем данному индексу  классе функций (для  = 1 считаем заданным значение интеграла от решения). Тогда между решениями систем линейных алгебраических уравнений

, (4.50)

(4.51)

, (4.52)

и соответствующими решениями уравнения Error: Reference source not found выполняется соотношение Error: Reference source not found, в котором величина удовлетворяет неравенствам Error: Reference source not found и Error: Reference source not found. Здесь множества и образуют каноническое разбиение отрезка [–1,1].

Доказательство. В системах Error: Reference source not found-(52) оставим слева слагаемые, соответствующие характеристическому сингулярному интегральному уравнению, а все остальное перенесем вправо. Используя результаты теоремы Error: Reference source not found получим, что рассматриваемые системы эквивалентны системам (=0,1,–1)

, (4.53)

где

определение см. Error: Reference source not found.

Дальнейшее доказательство проведем более подробно для , так как в остальных случаях оно аналогично. Из формулы Error: Reference source not found видно, что если умножить обе части системы Error: Reference source not found на множитель , потом произведение на этот множитель обозначить через и рассматривать вновь полученную систему линейных алгебраических уравнений, то она аппроксимирует интегральное уравнение Фредгольма второго рода с ограниченным ядром

, (4.54)

где

,

,

,

,

.

Причем, как следует из формулы Error: Reference source not found, порядок аппроксимации будет иметь вид

. (4.55)

Из теории численных методов для интегральных уравнений Фредгольма второго рода [49 из [2]Канторович, Крылов] с непрерывным ядром следует, что порядок аппроксимации функции такой же. Возвращаясь теперь к функциям и , получаем справедливость сформулированной теоремы для . Для и –1 она доказывается аналогично.

Опираясь на теорему 4 рассмотрим теперь метод дискретных вихрей численного решения характеристического сингулярного интегрального уравнения первого рода на системе отрезков, т.е. уравнения

, (4.56)

где L является совокупностью l штук непересекающихся отрезков .

Идея дальнейших рассуждений будет состоять в представлении уравнения Error: Reference source not found как системы сингулярных интегральных уравнений на отрезке [–1,1]. Поэтому, в соответствии с терминологией в теории таких систем [Error: Reference source not found из [2]Мусх 1968], будем говорить, что решение уравнения Error: Reference source not found имеет индекс если оно: не ограничено на обоих концах; не ограничено на одном конце; ограничено на обоих концах отрезка . Будем это решение обозначать через . Рассмотрим отображение отрезка [–1,1] на отрезок , где

. (4.57)

Обозначим

(4.58)

Будем использовать равномерное разбиение на каждом из отрезков . На отрезке выберем каноническое разбиение с шагом множествами и . Тогда справедлива

Теорема 4.5. Пусть функция на L. Тогда между решением системы линейных алгебраических уравнении

(4.59)

и решением уравнения Error: Reference source not found, для которого известны значения интегралов по тем отрезкам, составляющим L, на которых оно имеет индекс 1, выполняется соотношение Error: Reference source not found.

Доказательство. С помощью отображений Error: Reference source not found уравнение Error: Reference source not found можно рассматривать как систему l сингулярных интегральных уравнений на [–1,1], которая при соответствующих дополнительных условиях (известно значение интеграла от решения на тех отрезках из L, на которых решение не ограничено на обоих концах, т.е. на которых оно имеет индекс 1) имеет единственное решение. Следовательно, эта система [Error: Reference source not found из [2]Мусх 1968] эквивалентна системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода, которая также имеет единственное решение. Поэтому, повторив в дискретном виде процесс перехода к системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода, получим, что система линейных алгебраических уравнений Error: Reference source not found эквивалентна системе линейных алгебраических уравнений для этой системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Такой переход возможен в силу того, что разрешимы системы Error: Reference source not found– при любом .

Рассмотрим теперь применение метода дискретных вихрей для численного решения характеристического сингулярного интегрального уравнения первого рода на отрезке, когда в правой части имеется дельта функция, т.е. к уравнению

+ , . (4.60)

Таким образом, уравнение (60) рассматривается в пространстве обобщенных функций. Используя формулы обращения для уравнений (3.47)-(3.49), соотвтствующие решения уравнения (60) можно записать в виде

, ,(4.61)

где , ,

, , .

Напомним, что решение индекса =-1 существует при выполнении условия

. (4.62)

Из равенства (62) следует, что если функция на отрезке [-1,1], то решение индекса =-1 для уравнения (60) существует при

. (4.63)

Для применения метода дискретных вихрей для численного решения уравнения (60) возьмем на отрезке [-1,1] множества и , образующие каноническое разбиение этого отрезка, и будем предполагать, что точка при некотором j= , т.е. = , и введем функцию по правилу: = , , и =0, . Теперь заменим уравнение (61) следующей СЛАУ

, , (4.64)

, , (4.65)

, , . (4.66)

Справедлива следующая теорема.

Теорема 4.6. Пусть функция на отрезке [-1,1]. Тогда между решением системы (64), (65) или (66) и решением уравнения (60) соответственно индекса =0,1,-1 выполняется соотношение

, , (4.67)

в котором величина удовлетворяет неравенствам

1) для всех , где сколь угодно мало,

, , (4.68)

2) для всех точек

, , (4.69)

где - некоторые константы, не зависящие от n.

Доказательство. Так как матрицы систем (64)-(66) такие же как у соответствующих систем (3)-(5), то получаем

=

+ + , , (4.70)

где

, .

Запишем теперь решение в формуле (61) в виде

= + + , (4.71)

где

= , = .

Теперь рассуждения в теореме 1 показывают, что модуль разности и удовлетворяет соотношению (6), а модуль разности и удовлетворяет соотношению (67). Теорема 6 доказана.

Теперь рассмотрим применение метода дискретных вихрей для численного решения характеристического гиперсингулярного интегрального уравнения первого рода на отрезке, когда в правой части имеется дельта функция, т.е. к уравнению

+ , . (4.72)

Таким образом, уравнение (72) рассматривается в пространстве обобщенных функций. Используя формулу обращения (3.62) для этого уравнения, получаем

+ . (4.73)

Чтобы применить метод дискретных вихрей к численному решению уравнения (72), как и для уравнения (38), пусть множества и образуют такое разбиение отрезка с шагом , что , , , . и будем предполагать, что точка при некотором j= , т.е. = , и введем функцию по правилу: = , , и =0, . Теперь заменим уравнение (72) следующей СЛАУ

+ , . (4.74)

Оказывается справедлива следующая теорема.

Теорема 4.7. Пусть функция на отрезке [-1,1]. Тогда между решением системы (74) и решением уравнения (72) выполняется соотношение

, , (4.75)

а так же соотношение

, , (4.76)

Характеристики

Список файлов книги