И.К. Лифанов - Особые интегральные уравнения и методы их численного решения (1109002), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

(3.29)

(3.30)

где ‑ периодическая обобщенная функция.

Уравнение (28) имеет единственное решение для любой обобщенной функции , а уравнения (29) и (30) имеют решение с точностью до константы и условием их разрешимости является равенство

, (3.31)

где под значением интеграла от по [0,2 ] понимается величина . Причем формулы обращения для этих уравнений в пространстве обобщенных функций те же, что и в пространстве и имеют следующий вид (см. п.1). Для уравнения (28) имеем

, (3.32)

для уравнения (29) имеем

, (3.33)

для уравнения (30) имеем

, (3.34)

где в (33) и (34) для С выполняется равенство

, (3.35)

так как для разрешимости этих уравнений должно выполняться равенство (31).

Однако для построения вычислительных методов решения уравнений

(28)-(30) надо уметь оценивать близость решений этих уравнений по близости их правых частей. Для этого заметим, что если взять произвольный ряд из экспонент (обобщенную функцию) и применить к нему один из операторов L, S или H, то, получим аналогичный ряд у которого коэффициенты отличаются от коэффициентов исходного ряда множителем порядка , = . Поэтому естественно возникает идея использования пространств типа пространств Соболева обобщенных функций. Пусть - периодическая обобщенная функция на , тогда

, , (3.36)

где под понимается значение обобщенной функции (линейного функционала) на функции = . Обозначим через множество таких обобщенных функций , что

, (3.37)

т.е. функция принадлежит пространству .

Введем теперь для функций из скалярное произведение по формуле

. (3.38)

Так введенное скалярное произведение делает гильбертовым пространством причем - пространство функций с интегрируемым квадратом модуля на

Теперь рассмотрим характеристические особые интеральные

уравнения на отрезке. Для этого опять вначале напомним спектральные соотношения, полученные в п.1

, (3.39)

(3.40)

, , , (3.41)

, , , (3.42)

, , , (3.43)

, , , (3.44)

, , , (3.45)

где , , , . Теперь характеристические особые интегральные уравнения на отрезке записываются в виде (см. п.1)

, , (3.46)

, , (3.47)

, , (3.48)

, , (3.49)

, , (3.50)

, , (3.51)

где , , , .

Рассмотрим Гильбертовы пространства построенные в п.2 и возьмем пространства обобщенных функций . Пусть теперь является обобщенной функцией на , т.е. , тогда

, , (3.52)

где под понимается значение обобщенной функции (линейного функционала) на функции . Обозначим через множество таких обобщенных функций на , что

, (3.53)

т.е. функция принадлежит пространству . Введем теперь для функций из скалярное произведение по формуле

. (3.54)

Так введенное скалярное произведение делает гильбертовым пространством причем - пространство функций с интегрируемым квадратом модуля на [-1,1]. Теперь для любой обобщенной функции , , k=1-4, будем полагать, что значение , , , получается по правилу перемены местами знаков интеграла и суммы в этих операторах. Теперь соотношения (39)-(45) показывают следующее. Оператор взаимнооднозначно отображает пространство обобщенных функций на себя и пространство на пространство ; оператор отображает на и ядром отображения является множество констант и с таким же свойством на ; оператор отображает в и для функций из образа выполняется соотношение

(3.55)

и с таким же свойством в ; оператор отображает взаимнооднозначно на и на ; оператор отображает взаимнооднозначно на и на ; и , наконец, оператор отображает взаимнооднозначно на и на .

Важно, что теперь можно говорить о близости правых частей и соответсвующих решений, являющихся обобщенными функциями.

Теперь сделаем следующее важное замечание. Для уравнений (46)-(51) на базисных элементах соответсвующих пространств справедливы формулы обращения, полученные в п.1. Поэтому, в силу определения значений операторов , , , на обобщенных функциях соответствующих пространств, для уравнений (46)-(51) справедливы следующие формулы обращения.

Для уравнения (46) имеем

, , (3.56)

для уравнения (47) имеем

, , (3.57)

, (3.58)

для уравнения (48) имеем

, , (3.59)

при выполнении условия (55),

для уравнения (49) имеем

, , (3.60)

для уравнения (50) имеем

, , (3.61)

для уравнения (51) имеем

, . (3.62)

Используя проведенные выше построения в пространствах обобщенных функций получим теперь некоторые точные решения характеристических особых интегральных уравнений первого рода в этих пространствах.

Например, задача бесциркуляционного обтекания кругового цилиндра потоком идеальной несжимаемой жидкости при наличии на нем устройства отсоса внешнего потока сводится к решению уравнения [3]

. (3.63)

В равенстве (63) под функцией понимаем периодическую дельта функцию, определяемую равенствами: =0, при , и =+ , при , и для любой функции , , выполняется равенство . Из этого вытекает, что если обобщенная функция, то так же имеем равенство . Теперь из (33) получаем, что решением уравнения (63) является фунция

. (3.64)

Таким образом, получаем формулу[3]

. (3.65)

Этот же результат получается [3] если обобщенные функции и представить рядами Фурье по функциям и подставить эти ряды в уравнение (63). Действительно, имеем

= ,

= .

Теперь из (1.4) следует

= , . (3.66)

Используя опять (1.4) получим

= =

= . (3.67)

С другой стороны, по определению функци полусаем

= = + . (3.68)

Сравнивая (67) и (68), видим справедливость равенства (65).

Из представлений рядами Фурье (66) и (68) следует, что обе функции и принадлежат любому пространству для . Заметим так же следующее. Из соотношений (22), (23) следует, что равенство (65) можно почленно интегрировать и поэтому верно соотношение

, (3.69)

где , ; , ; , , и , а для q=0 имеем , ; , ; , . Так как свободный член ряда Фурье для функции справа в (69) должен быть равен нулю, то . Отметим, что функция является первообразной для функции , обращающаяся в нуль при .

Решение задачи о расчете входного сопротивления тонкой проволочной антенны при запитке антенны источником тока, повлекло за собой рассмотрение гиперсингулярного интегрального уравнения на отрезке, в правой части которого стоит функция с особенностью типа 1/x внутри области поиска решения [5]. Аналогом этого уравнения в периодическом случае будет уравнение

= , . (3.70)

В силу формулы обращения (34) для рассматриваемого уравнения и формулы (69) получаем, что решнием уравнения (70) будет функция

, , (3.71)

для которой выполняется равенство (35).

Для приближенного метода решения уравнения (63) методом дискретных вихрей важно, что функция является пределом в смысле определения 4 последовательности периодических функций = , ; =0, , , т.е. .

Теперь рассмотрим уравнение (47) на отрезке. Возьмем в его правой части функцию , , тогда в силу формулы (57) получим, что решением этого уравнения будет функция (С=0)

. (3.72)

Подставляя теперь последнюю функцию в уравнение (47) получаем интересное равенство

, . (3.73)

Наконец рассмотрим еще частный случай уравнения (51)

, , (3.74)

который встречается в теории антенн. Оператор, стоящий слева в (74) отображает пространство на себя. Поэтому решение этого уравнения и его правую часть рассматриваем как элементы этого пространства. Как и при обращении уравненя (2.45) сведем уравнение (74) к кравнению

, , (3.75)

которое эквивалентно уравнению (74) при выполнении условия

=0, (3.76)

где . Из формулы обращения (2.48) для уравнения (2.41) получаем, что общее решение уравнения (75) дается формулой

, . (3.77)

В силу равенства (76) получаем, С=1. Поэтому, так как , имеем

= , , (3.78)

где =0, при , = , при x=q, =1, при . Функция является первообразной для функции на отрезке [-1,1], . Таким образом, решение уравнения (74) дается формулой

= , . (3.79)

П.4. Метод дискретных вихрей численного решения характеристических особых интегральных уравнений.

Вначале рассмотрим численное решение характеристических особых интегральных уравнений на отрезке. Потом будем рассматривать эти уравнения в периодическом случае. Поскольку в периодическом случае при рассмотрении метода дискретных вихрей удобно будет ввести в рассмотрение точки комплексной плоскости, которые обычно принято обознать буквой [2], то и при рассмотрении метода дискретных вихрей для особых интегральных уравнений на отрезке будем использовать вместо переменной переменную . В классической теории сингулярных интегральных уравнений уравнения (3.47)-(3.50) записывают единным образом в виде

, . (4.1)

Характеристики

Список файлов книги