И.К. Лифанов - Особые интегральные уравнения и методы их численного решения (1109002), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

, . (4.118)

Как было показано в п.3, уравнение (118) имеет единственное решение для любой правой части из пространства обобщенных функций и эквивалентно в смысле разыскания решения системе равенств

, , (4.119)

.

Теперь в силу теоремы 9 для численного решения уравнения (118) по методу дискретных вихрей надо взять СЛАУ

(4.120)

Теорема 9 дает оценку близости в точках между решением уравнения (118) и решением системы (120).

Теорема 9 дает возможность рассмотреть так же применение метода дискретных вихрей к численному решению характеристического гиперсингулярного интегрального уравнения первого рода в периодическом случае, т.е. к уравнению

= , , (4.121)

где функция принадлежит множеству на отрезке [0,2 ].

Уравнение (121), как и уравнение (107), имеет решение с точностью до константы, а условием существования решения является равенство (108). Поэтому, по аналогии с уравнением (107), для уравнения (121) методе дискретных вихрей применяют следующим образом. На отрезке [0,2 ] берем два множества точек и , где точки , которые, интерпретируемые как точки единичной окружности L, разбивают ее на n равных частей; , , делит пополам дугу .

Теперь уравнение (121) заменяем СЛАУ

= , j=1,…,n, (4.122)

,

где .

Интегрируя интегралы в системе (122) запишем ее в виде

= , j=1,…,n, (4.123)

.

Система (123) эквивалентным образом может быть записана в виде

= , j=1,…,n, (4.124)

, ,

где , .

Действительно, первые n+1 уравнений в (124) совпадают с системой (109) относительно переменных . Поэтому она имеет единственное решение относительно этих переменных. Следовательно, величины , представляются в виде = , , где - известные числа, и поэтому из последнего уравнения системы (124) найдем , а значит и все остальные величины . Теперь из приведенных рассуждений и теоремы 9 получаем справедливость следующей теоремы.

Теорема 4.10. Пусть в уравнении (121) функция принадлежит множеству на отрезке [0,2 ] и удовлетворяет равенству (108). Тогда между решением уравнения (121), удовлетворяющего равенству (111), и решением системы (123) выполняются неравенства

, , (4.125)

, , (4.126)

где .

Рассмотрим теперь применение метода дискретных вихрей для особых интегральных уравнений в случае, когда в правой части имеется дельта функция. Начнем с уравнения (3.63) с ядром Гильберта, т.е с уравнения

, (4.127)

которое имеет решение

. (4.128)

Возьмем на отрезке [0,2 ] два множества точек и , как для уравнения (121), и будем полагать, что . Теперь уравнение (127) заменим СЛАУ

= , j=1,…,n, (4.129)

,

где функция определена сразу после формулы (3.71). Поскольку левая часть системы (129) совпадает с левой частью системы (109), то ( см. (117))

= , . (4.130)

В силу определения функции и равенства

,

окончательно получаем равенство

= . (4.131)

Из сравнения формул (128) и (131) видим соотношение между точным и численным решениями.

Рассмотрим еще гиперсингулярное интегральное уравнение в периодическом случае, когда в правой части имеется дельта функция

, (4.132)

Используя множества и , как для уравнения (127), для численного решения уравнения (132) надо взять СЛАУ

= , j=1,…,n, (4.133)

.

Рассмотрим еще применение метода дискретных вихрей для особых интегральных уравнений в случае, когда в правой части имеется функция . Начнем с уравнения ядром Гильберта

= , . (4.134)

Ясно, что решением уравнения (134) является функция

= . (4.135)

Для численного решения уравнения (134) возьмем на отрезке [0,2 ] два множества точек и , как для уравнения (121), и будем полагать, что , т.е. . Нам удобно будет полагать, что . Теперь заменим уравнение (134) СЛАУ

= , j=1,…,n, (4.136)

.

В силу симметрии точек , по отношению к любой точке , просуммировав первые n уравнений системы (136), получим равенство

.

Поскольку левая часть системы (136) совпадает с левой частью системы (109), то ( см. (117))

= = , . (4.137)

Для вычисления суммы используем формулу

=

при , в силу которой имеем

= = , . (4.138)

При , т.е. , имеем

= = = (4.139)

, .

Из выражений (138), (139) следует, что сумму можно представить в виде

= + , ,

=0, , = , .

Покажем, что последовательность функций , , , где полагаем , сходится к функции . Действительно, имеем

= = при ,

где через O(1) обозначена величина порядка 1, т.е. ограниченная величина.

Далее, так как

при , то, учитывая известное равенство [1, c. 334]

,

получаем, что

.

Введем теперь функцию , . Тогда проведенные выше рассуждения показывают справедливость следующей теоремы.

Теорема 4.11. Для решения уравнения (134), определяемого формулой (135), и функции , получаемой из решения , , системы (136), выполняются соотношения

= =0, , , (4.140)

. (4.141)

Наконец рассмотрим гиперсингулярное интегральное уравнение первого рода

= , . (4.142)

Для численного решения уравнения (142) надо взять множества и , как и для системы (136), и взять следующую СЛАУ

= , j=1,…,n, (4.143)

.

Исследовать систему (143) надо так же как систему (123) с учетом особенности правой части.

В заключение рассмотрим метод дискретных вихрей численного решения задачи обтекания кусочно-гладкого простого контура. Исторически метод дискретных вихрей был вначале построен для циркуляционного и без циркуляционного обтекания идеальной несжимаемой жидкостью гладкого разомкнутого контура. Математическое обоснование этого метода, в этом случае, было дано в монографии Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях, М., Наука, 1985, 256 с. Однако потребности практики побудили авторов указанной монографии со своими учениками, на основе численного эксперимента и сравнении результатов этих экспериментов с результатами физических экспериментов, распространить этот метод на широкий класс контуров. Однако математического обоснования в этом общем случае пока нет. Решение этой задачи было бы хорошим трамплином для молодого математика в численных методах.

Пусть контур L обтекаемого профиля задается параметрически: , и он находится в стационарном потоке идеальной несжимаемой жидкости. Выполняя условие не протекания в точках контура L, приходим к уравнению (см. Error: Reference source not found)

. (4.144)

Если контур L является гладким разомкнутым, то уравнение Error: Reference source not found является сингулярным интегральным уравнением первого рода на отрезке вида Error: Reference source not found, и, следовательно, метод дискретных вихрей в этом случае строится следующим образом. На отрезке [0,l] параметра l берут каноническое разбиение, состоящее из множеств: , , и , . В точках , , , контура L помещаем дискретные вихри интенсивности , а точки , , , берем расчетными. Теперь также как для тонкого слабоизогнутого профиля, т.е. для уравнения Error: Reference source not found) в зависимости от рассматриваемой задачи: циркуляционной, бесциркуляционной или безударной (если она осуществима), уравнение Error: Reference source not found заменяем соответственно системой линейных алгебраических уравнений

, (4.145)

(4.146)

, (4.147)

где

,

.

Система Error: Reference source not found дает решение уравнения Error: Reference source not found, неограниченное на кромке профиля, соответствующей значению параметра . Признаком существования безударного обтекания является стремление к нулю при регуляризирующей переменной .

В рассматриваемом случае теорема 1 дает математическое обоснование метода дискретных вихрей для гладкого разомкнутого профиля, описываемого системами Error: Reference source not found–Error: Reference source not found. Эти системы получаются из выполнения условия не протекания от системы дискретных вихрей и набегающего потока в расчетных точках, выбор которых диктуется Б-условием метода дискретных вихрей [1].

Замечание 4.3. После решения систем Error: Reference source not found–Error: Reference source not found можно находить все аэродинамические характеристики обтекаемого профиля, используя в дискретном виде соответствующие формулы гл.9 в [1Error: Reference source not foundЛИК 1995]. При этом, если в этих формулах используется функция , то дискретизацию формулы удобнее проводить по точкам и полагать , где – расстояние на контуре L между точками и , а если используется функция , то дискретизацию формулы удобнее проводить по точкам и полагать , так как в циркуляционной задаче и в бесциркуляционной.

Замечание 4.4. Если контур L является простым разомкнутым, но кусочно-гладким, то точки расположения дискретных вихрей надо выбирать так, чтобы угловые точки контура L входили в их число (Рис. 4.1).

Пусть теперь контур L является гладким замкнутым (Рис. 4.2), т.е. , и орт касательного вектора непрерывен. Тогда уравнение Error: Reference source not found является сингулярным интегральным уравнением с ядром Гильберта видаError: Reference source not found. Его решение определено с точностью до константы, которая определяется тем, что в аэродинамике в этом случае рассматривается бесциркуляционная задача, и поэтому

. (4.148)

Характеристики

Список файлов книги