И.К. Лифанов - Особые интегральные уравнения и методы их численного решения (1109002), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Теперь используя формулы обращения для уравнений (3.47)-(3.49), соотвтствующие решения уравнения (1) можно записать в виде

, , (4.2)

где , ,

, , ,

и будем называть их соответственно решениями индекса неограниченными на обоих концах отрезка, индекса ограниченными на обоих концах отрезка и индекса ограниченными в точке 1. Решение индекса с особенностью вида рассматривать не будем, так как из приведенных рассуждений будет видно, что надо изменить в этом случае.

Пусть множества и образуют каноническое разбиение отрезка с шагом , т.е. , , , .Справедлива следующая

Теорема 4.1. Пусть функция принадлежит классу на . Тогда между решениями систем линейных алгебраических уравнений

, , (4.3)

, , (4.4)

, , (4.5)

и решением индекса соответственно в(4.2) уравнения Error: Reference source not found выполняется неравенство

, , (4.6)

в котором величина удовлетворяет неравенствам:

1) для всех точек , где сколь угодно мало,

, ; (4.7)

2) для всех точек

, . (4.8)

Доказательство. Заметим вначале, что в силу результатов о квадратурных формулах для сингулярного интеграла на отрезке [2] системы Error: Reference source not found - аппроксимируют уравнение Error: Reference source not found. Для определителей систем Error: Reference source not found - получим

, , (4.9)

, ,

.

Несложно показатьСМБ, ЛИК 1985, что

, (4.10)

где при и при . Покажем это для , так как для остальных будет аналогично, с некоторыми очевидными изменениями.

Вычтем последнюю строчку в определителе из всех предыдущих и из каждого столбца вынесем множитель , , а из каждой строчки множитель , . Получим

.

Теперь вычтем в последнем определителе последний столбец из всех предыдущих, вынесем множители из каждой строчки и столбца и разложим полученный после этого определитель по последней строчке. Получим

.

Метод математической индукции заканчивает доказательство формулы .

Из формулы Error: Reference source not found видно, что при любом . Применяя правило Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений, получим

(4.11)

где определена в Error: Reference source not found, а в Error: Reference source not found; и получаются соответственно из и заменой -го столбца на столбец из свободных членов правой части системы, а получается из вычеркиванием -й строчки и -го столбца. Для так же как и для , получаем

(4.12)

Поэтому формула Error: Reference source not found получит вид

, (4.13)

где

,

,

, ,

, .

Далее, имеем

, (4.14)

, , ,

, (4.15)

, , .

Напомним, что в рассматриваемом случае

, , ,

. (4.16)

Следовательно, формулы Error: Reference source not found - Error: Reference source not found дают

, . (4.17)

В [Error: Reference source not found из [2]Харди] имеется следующая формула из теории гамма-функции:

, (4.18)

которую можно записать так:

.

Так как нас будет интересовать формула Error: Reference source not found с точностью до величин порядка , то можно написать

. Error: Reference source not found*

Полагая теперь , получим

, . (4.19)

Напомним известные по [Error: Reference source not found из [2]Фихт. т.2] формулы

, , .

Таким образом,

. (4.20)

Аналогично имеем

, ,

(4.21)

Отметим, что в силу формулы Error: Reference source not found имеем

, ,

, . (4.22)

Из формул Error: Reference source not found следует, что формулы Error: Reference source not found и Error: Reference source not found можно записать в виде

, (4.23)

(4.24)

.

Аналогичные рассуждения показывают, что для имеем

, (4.25)

,

, (4.26)

.

Подставляя теперь формулы Error: Reference source not found – Error: Reference source not found в формулу Error: Reference source not found и пользуясь рассуждениями, аналогичными тем, которые были проведены при исследовании квадратурных формул метода дискретных вихрей для сингулярного интеграла на отрезке [2],получим

, , (4.27)

где величина удовлетворяет неравенствам Error: Reference source not found и Error: Reference source not found. Теорема Error: Reference source not found доказана.

Замечание 4.1. Поясним смысл неизвестной в системе . Эта система без переопределена (число уравнений больше числа неизвестных) и, как правило, несовместна. С другой стороны, эта система должна аппроксимировать уравнение Error: Reference source not found, имеющее единственное решение индекса при выполнении условия

. (4.28)

Поэтому уровень рассогласованности системы без должен понижаться, и, следовательно, если эта система с совместна, то . Но это надо доказать. Таким образом, делает определенной систему , и поэтому будем называть ее регуляризирующим фактором. Для нахождения опять воспользуемся правилом Крамера:

. (4.29)

Таким образом, тогда и только тогда, когда решение индекса для уравнения Error: Reference source not found существует. Следовательно, поведение при расчетах является индикатором наличия решения индекса .

Замечание 4.2. Во многих приложениях (в аэродинамике, теории упругости и т.д.) часто требуется вычислить не саму функцию , а интеграл , где на . Из неравенств Error: Reference source not found и Error: Reference source not found следует, что для вычисления указанного интеграла можно воспользоваться формулой прямоугольников по точкам , , причем брать в этих точках не функцию , а значение , т.е. выполняется неравенство

, . (4.30)

Действительно, имеем

где .

Теперь рассмотрим метод дискретных вихрей для численного решения характеристического интегрального уравнения первого рода с логарифмической особенностью на отрезке. Это уравнение теперь запишем в виде

, . (4.31)

Будем предполагать, что на отрезке [-1,1]. Используя теперь рассуждения п.2 при получении формулы обращения уравнения (2.40) получаем, что уравнение (31) эквивалентно в смысле разыскания решения системе

, , (4.32)

. (4.33)

Поэтому для численного решения методом дискретных вихрей уравнения (31) надо рассмотреть следующую систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (см. (4))

, , (4.34)

= .

Справедлива следующая

Теорема 4.2 Пусть на отрезке [-1,1]. Тогда между решением уравнения (31) и решением СЛАУ (34) выполняется соотношение (6) в котором величина , , удовлетворяет соотношениям (7) и (8).

Для доказательства теоремы 2 заметим, что левая часть системы (34) совпадает с левой частью системы (4). Поэтому имеем = (4.35)

Теперь, как и при получении формулы (27), имеем

= + , , (4.36)

где величина , , удовлетворяет соотношениям (7) и (8). Сравнение с формулой (2.61) и доказывает теорему 2, так как из этой формулы следует, что точное решение уравнения (31) в точке получается по формуле

= , . (4.37)

Обратимся теперь к численному решению характеристического гиперсингулярного интегрального уравнения первого рода на отрезке. Запишем это уравнение в виде

, . (4.38)

Как видно из формулы (3.62), уравнение (38) имеет единственное решение.

Пусть множества и образуют такое разбиение отрезка с шагом , что , , , . Теперь заменим уравнение (38) следующей СЛАУ

, . (4.39)

Исходя из определения гиперсингулярного интеграла на отрезке, систему (39) запишем в виде

, . (4.40)

Как следует из результатов [2] для квадратурных формул метода дискретных вихрей для гиперсингулярного интеграла на отрезке, СЛАУ (40) аппроксимирует уравнение (38) так же как СЛАУ (3)-(5) аппроксимируют уравнение (1).

Оказывается справедлива следующая теорема.

Теорема 4.3. Пусть функция на отрезке [-1,1]. Тогда между решением системы (40) и решением уравнения (38) выполняется соотношение

, , (4.41)

а так же соотношение

, , (4.42)

где полагается , а величина , , удовлетворяет соотношениям (7), (8) для .

Доказательство. Вначале заметим, что система (40) эквивалентна системе

, , (4.43)

,

где, напомним, .

Система (43) совпадает с системой (4) и поэтому имеем

, . (4.44)

Теперь сравнение формулы (44) с формулой (2.67) и теорема 1 дают доказательство соотношения (42). Далее из формулы (44) следует, что

= , . (4.45)

Теперь учет формул (2.69) и (25), (26) показывают справедливость соотношения (41).

Теперь сформулируем метод дискретных вихрей для численного решения полного сингулярного интегрального уравнения первого рода на отрезке, т.е. для уравнения

. (4.46)

Будем предполагать пока, что функции и принадлежат классу Н на своих областях определения.

Разрешив уравнение Error: Reference source not found относительно его характеристической части, получим, что оно эквивалентно в смысле разыскания решений индекса уравнению типа Фредгольма второго рода [1ГаховМусх]

Характеристики

Список файлов книги