И.К. Лифанов - Особые интегральные уравнения и методы их численного решения (1109002), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Устройство всасывания внешнего потока внутрь оболочки профиля будем моделировать стоком интенсивности Q в точке согласно экспериментам (см. [314] в [1] ). Поле скоростей , порожденное стоком, имеет особенность в точке и задается формулой

= . (3.3)

Всасывание потока внутрь оболочки профиля означает, что полное поле скоростей = + + , возникающее в этой задаче, имеет особенность типа (3) в окрестности точки с внешней стороны профиля ( ) и не имеет особенности (является гладким ) с противоположной стороны профиля ( ). Среди трех слагаемых в два известны и неизвестным является только . Для его нахождения достаточно найти , которое находят из условия непроницаемости профиля и безотрывности обтекания. Если это условие выполнять на ( ), то придется пропустить точку , так как в ней не выполняется непроницаемость профиля. Поэтому будем выполнять это условие на ( ). Получим равенство

=0, ,

или

=- - , . (3.4)

Равенство (4) можно записать в виде

= , , (3.5)

где = - - , = , = , , .

Уравнение (5) справедливо для замкнутой и разомкнутой кривой . Если

кривая разомкнутая, то уравнение (5) может быть записано в виде

+ = , , (3.6)

а если контур замкнутый, то в виде

+ = , . (3.7)

Если на [0,l] ( для замкнутой кривой), то можно показать [1], что в уравнениях (6), (7) ядра и так же принадлежат классу на соответствующих множествах.

Рассмотрим более подробно правую часть в уравнении (5). Здесь

функция состоит из двух слагаемых. Функция является «хорошей» в окрестности точки , так как она лежит на участке гладкости кривой . Изучим теперь функцию . Из физики движения жидкости ясно, что эта функция описывает распределенную плотность количества жидкости, протекающей через точки кривой . Отсюда видно, что для точек и имеем = = , . В традиционных курсах по математической физики доказано, что если на [0,l] , то функция равномерно по обеим переменным при соответствующем доопределении ее в точке = . Если кривая имеет в точке касательную, то из сущности источника следует, что через точку со стороны протекает жидкости (направление движения точек жидкости в точку со стороны имеет острый угол с вектором ). Поэтому для точек кривой можно написать = + ( ) , где - произвольная точка кривой и функция определяется равенствами: =0 при , , и = при = , а также

Теперь ясно, что поскольку в правой части уравнения (5) стоит обобщенная функция, то решение тоже надо искать в классе обобщенных функций. Как понимать эти обобщенные функции и как понимать особый интеграл от таких функций покажем ниже.

Один вариант обобщенных функций на Гильбертовых пространствах. Рассмотрим бесконечномерное вещественное Гильбертово пространство (для комплексного пространства ниже следующие построения остаются справедливыми с соответствующими изменениями). Операцию скалярного произведения векторов запишем как . Пусть система векторов является ортонормированным базисом в пространстве , т.е. удовлетворяет условиям

, , при i=j и , при , (3.8)

тогда любой вектор f из представляется в виде

, (3.9)

где для коэффициентов выполняется соотношение

.

При этом норма вектора f определяется по формуле

. (3.10)

Определим теперь в пространстве основное множество S векторов.

Определение 3.1. Вектор f пространства H принадлежит основному множеству S, если его разложение по базису имеет только конечное число коэффициентов отличных от нуля, т. е. для разложения (9) существует такое натуральное число K, что

. (3.11)

Отметим, что множество S=S(H) является линейным и всюду плотным в пространстве H, но не является замкнутым в H. Действительно, любой вектор f из H, имеющий в представлении (9) бесконечно много отличных от нуля коэффициентов, является пределом в метрике пространства H последовательности векторов

. (3.12)

Поэтому введем во множестве S другое понятие сходимости векторов.

Определение 3.2. Будем говорить, что последовательность векторов из множества S сходится к вектору f конечномерно, если существует такой общий номер К, что

, (3.13)

и для любого n=1,2,… выполняется условие

, k=1,2,… (3.14)

Кратко это будем записывать так

(3.15)

Итак, другими словами, последовательность векторов из S сходится к вектору f из H, если все они лежат в общем конечномерном подпространстве из H и выполняется соотношение (14). Таким образом, вектор f лежит в том же конечномерном подпространстве и, следовательно, принадлежит множеству S. Это означает, что конечномерная сходимость в S обеспечивает замкнутость S. Теперь множество S с введенной конечномерной сходимостью будем называть пространством S основных векторов. Можно еще сказать, что в S введена конечномерная покоординатная сходимость.

Введем теперь понятие обобщенной функции.

Определение 3.3. Обобщенной функцией называется любой линейный непрерывный функционал F на пространстве основных векторов S. Значение функционала F на основном векторе f будем записывать F(f) или (F,f). При этом непрерывность функционала понимаем следующим образом. Функционал F называется непрерывным на S, если из конечномерной сходимости последовательности векторов пространства S к вектору f из того же пространства следует, что выполняется соотношение

. (3.16)

Множество всех обобщенных функций обозначим через .

Множество является линейным, если линейную комбинацию обобщенных функций F и G определить как функционал, действующий по формуле

, . (3.17)

Следуя методике в [8], можно показать, что функционал линейный и непрерывный на S, т.е. принадлежит .

Интересно отметить следующее. Покоординатная сходимость в S такова, что справедлива следующая теорема.

Теорема 3.1. Любой линейный функционал на S является непрерывным на S в смысле определения 3.

Доказательство. Действительно, пусть последовательность векторов пространства S конечномерно сходится к вектору f из S. Это означает, что для коэффициентов разложения векторов существует некоторое такое K, что . Поэтому, если F линейный на S функционал, то имеем .

Таким образом, теорема 1 справедлива.

Отметим, что любой ряд , а, следовательно, и любой элемент пространства H, определяет на S линейный функционал по следующему правилу. Пусть , тогда по определению полагаем

. (3.18)

Функционал G действительно является линейным, так как

.

Из теоремы 1 следует, что функционал G является непрерывным на S, а, следовательно, является обобщенной функцией на H.

Отметим теперь, что значение обобщенной функции F на элементе f из S определяется как

. (3.19)

Покажем теперь справедливость следующей теоремы.

Теорема 3.2. Пусть задана некоторая обобщенная функция F на H. Тогда ряд

(3.20)

является обобщенной функцией из , совпадающей с F.

Доказательство. Пусть f произвольный элемент из S. Тогда по определению имеем (см. (18) и (19))

.

Итак, получаем важный вывод, что множество произвольных рядов вида и множество обобщенных функций на H, при нашем построении, совпадают.

Определим теперь сходимость в как слабую сходимость последовательности функционалов.

Определение 3.4. Последовательность обобщенных функций из сходится к обобщенной функции F из , если для любого вектора f из S имеем . В этом случае мы будем писать , в .

Линейное множество с введенной в нем сходимостью назовем пространством обобщенных функций .

Теперь можно доказать теорему.

Теорема 3.3. Пусть последовательность из такова, что для каждого вектора f из S числовая последовательность сходится при . Тогда функционал F на S, определенный равенством

, , (3.21)

также является линейным и непрерывным на S, т. е. .

Доказательство. В силу теоремы 1 достаточно доказать линейность функционала F. Действительно, имеем

.

где и произвольные числа, а f и g элементы пространства S.

Теорема 3 показывает, что пространство обобщенных функций является полным относительно введенной в нем сходимости.

Обратимся теперь к рассмотрению характеристических особых интегральных уравнений в пространствах обобщенных функций. Причем начнем с особых интегральных уравнений на классе периодических функций. Для этого вначале напомним спектральные соотношения, полученные в п.1

(3.22)

где

(3.23)

(3.24)

Рассмотрим теперь Гильбертово пространство комплекснозначных периодических функций с интегрируемым квадратом модуля, построенное в п.1. В этом пространстве ортонормированным базисом является система функций , . Ясно, что для этих функций также справедливы спектральные соотношения (22)-(24). Пусть теперь пространство обобщенных функций построенное на пространстве . Теперь для любой обобщенной функции из будем полагать

= = ,(3.25)

= = , (3.26)

= = . (3.27)

Из соотношений (25)-(27) можно сделать следующие выводы для уравнений

(3.28)

Характеристики

Список файлов книги