И.К. Лифанов - Особые интегральные уравнения и методы их численного решения (1109002), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Если функция удовлетворяет требованиям, указанным в Замечании 2.2, то будем говорить, что на [-1,1].

Покажем теперь, что для интеграла (29) выполняется следующее спектральное соотношение.

Утверждение 2.5. Справедливо следующее спектральное соотношение:

, (2.37)

,

где – полином Чебышёва второго рода.

Действительно, используя представление и равенство , можно написать:

. (2.38)

Теперь в силу формулы интегрирования по частям (3Error: Reference source not found), так как , получаем:

. (Ошибка! Текст указанного стиля в документе отсутствует..39)

Последнее равенство справедливо в силу соответствующего спектрального соотношения (17) для сингулярного интеграла на отрезке. Утверждение 5 доказано.

Теперь обратимся к формулам обращения для характеристических уравнений первого рода с особыми интегралами. Для этого, в силу спектральных соотношений (17)-(20), (25), (26), (37), эти характеристические уравнения запишем в следующем виде

, , (2.40)

, , (2.41)

, , (2.42)

, , (2.43)

, , (2.44)

, , (2.45)

где , , , .

Для дальнеших построений напомним сначала понятие пространства функций на отрезке [-1,1] оси ОХ, квадрат модуля которых интегрируем на этом отрезке с весом , т.е. функций , , таких, что , где функция >0 почти всюду на [-1,1]. Естетсвенным образом вводится скалярное произведение функций в этом пространстве . После этого пространство становится гильбертовым и поэтому в нем можно взять полную ортонормированную систему функций , n=0,1,2,…, являющуюся базисом в нем, т.е. , где =0 при и =1 при n=m. Любая функция представляется рядом Фурье по системе этих функций, сходящимся по норме :

, (2.46)

.

В пространстве при полной ортонормированной системой является система функций , n=1,2,…, и , при - система функций , n=0,1,2,…, при - система функций , при - система функций . Теперь в силу (46) видно, что если , то

= . (2.47)

Поэтому значение , , , будем определять по правилу перемены местами знаков интеграла и суммы в этих операторах. Отсюда в силу спектральных соотношений (17)-(20), (25), (26), (37), получаем, что оператор взаимооднозначно отображает пространство в , оператор отображает пространство на , оператор отображает пространство в , оператор отображает пространство на , оператор отображает пространство на , оператор отображает пространство на .

Теперь можно сформулировать результаты об обращении сингулярных интегральных уравнений (40)-(45).

Теорема 2.1. Пусть функция . Тогда уравнение (41) имеет решение с точность до константы принадлежащее , которое получается по формуле

= + , , (2.48)

и удовлетворяет условию

=С. (2.49)

Действительно, пусть

, (2.50)

.

Тогда по (18) получаем

= + = + =

+ = +С. (2.51)

Используя (51), получаем

= = ,

так как (см. (17) при n=0)

.

Аналогично доказываются следующие теоремы.

Теорема 2.2. Пусть функция . Тогда при выполнении условия

(2.52)

уравнение (42) имеет единственное решение принадлежащее пространству , задаваемое формулой

= , . (2.53)

Условие (52) следует из того, при функция не содержит свободного члена.

Теорема 2.3. Пусть функция . Тогда уравнение (43) имеет

единственное решение принадлежащее пространству , задаваемое формулой

= , . (2.54)

Теорема 2.4. Пусть функция . Тогда уравнение (44) имеет

единственное решение принадлежащее пространству , задаваемое формулой

= , . (2.55)

Теперь рассмотрим характеристическое интегральное уравнение первого рода с логарифмической особенностью (39). Вначале заметим, что в силу равенств (24) и (26) получаем справедливость равенств

= =

= =- , , n=1,2,… (2.56)

= =

= =0. (2.57)

Пусть производная функции f(x) удовлетворяет условию , . Пусть функция g(x) является решением уравнения (40). Из равенств (56) и (57) следует, что это уравнение можно почленно продифференцировать. Получим равенство

, . (2.58)

Из уравнения (58) функция g(x) определяется с точностью до константы ( см. теорему 1). Поэтому надо задать значение интеграла стоящего слева в (49). Для этого умножим почленно уравнение (40) на функцию и возьмем интеграл от обеих частей по отрезку [-1,1], получим

= =

= . (2.59)

Из последнего равенства получаем

= . (2.60)

Так как , то по теореме 1 в силу формулы (48) получаем

= , . (2.61)

В первом интеграле справа в (61) произведем интегрирование по частям, получим

= - =

, . (2.62)

Для оправдания равенства (62) напомним, что по определению полагаем

= , (2.63)

где , .

Таким образом, из формул (61), (62) следует справедливость теоремы.

Теорема 2.5. Пусть функция , . Тогда уравнение (40) имеет единственное решение, задаваемое формулой

= , . (2.64)

Наконец рассмотрим характеристическое гиперсингулярное интегральное уравнение первого рода на отрезке (45). Обозначая запишем это уравнение в виде

, . (2.65)

Используя замечание 1, запишем его в виде

, , (2.66)

где функцию можно записать в виде = . Пусть теперь в уравнении (45) , тогда . Если теперь в уравнении (66) функция , то из теоремы 1 следует, что

= = , (2.67)

так как

= =0. (2.68)

В силу того, что и с учетом равенства (68) имеем

= = . (2.69)

Если теперь во внутренном интеграле справа в (69) сделать замену переменного , а затем , то получим

= . . (2.70)

Предыдущие рассуждения в силу формул (67) и (70) показывают справедливость следующей теоремы.

Теорема 2.6. Пусть функция на [-1,1]. Тогда уравнение (45) имеет единственное решение, задаваемое формулой

, . (2.71)

Заметим, что в силу формулы (67) и спектральных соотношений (18) и (37) получаем, что функция определяемая формулой (71) удовлетворяет условию , а сама функция .

Замечание 2.3. Стандартный гиперсингулярный оператор переводит многочлен Чебышева второго рода в многочлен –(n+1) . Теперь исходя из соотношений (24) и (26), а так же из формулы обращения (64) для уравнения с логарифмической особенностью получаем гиперсингулярный оператор который переводит многочлен Чебышева первого рода в многочлен -n , т.е. верно соотношение

, , n=0,1,2,… (2.72)

Равенство (72) еще можно получить заметив, что справедливы равенства

, (2.73)

, n=0,1,2,…, (2.74)

, n=0,1,2,… (2.75)

Аналогично можно заметить, стандартный оператор с логарифмической особенностью переводит многочлен Чебышева первого рода в многочлен , n=1,2,… . Исходя теперь из соотношения (37), а так же из формулы обращения (71) для уравнения с гиперсингулярной особенностью получаем оператор с логарифмической особенностью который переводит многочлен Чебышева второго рода в многочлен , т.е. верно соотношение

, ,n=0,1,2,… (2.76)

П. 3. Обобщенные функции на Гильбертовых пространствах и особые

интегральные уравнения.

В предыдущих двух пунктах были рассмотрены особые интегральные уравнения в наиболее широких, используемых до настоящего времени, пространствах. Пространствах периодических функций с интегрируемым квадратом модуля и пространствах функций с интегрируемым с весом квадратом модуля. Однако в последнее время некоторые прикладные задачи привели к необходимости рассмотреть особые интегральные уравнения в классах обобщенных функций на отрезке.

В качестве примера рассмотрим задачу обтекания профиля с отсосом внешнего потока. Пусть кривая является контуром непроницаемого профиля крыла, безотрывно обтекаемого потенциальным потоком несжимаемой жидкости со скоростью , т.е. = = , -орты осей Ox, Oy, M-точка полскости Oxy, а функция гармонична на всей плоскости. Непроницаемость профиля и безотрывность его обтекания в данной точке означают, что частица жидкости в этой точке имеет только касательную к профилю скорость. Предполагаем, что кривая задана параметрически , , с направлением обхода по часовой стрелке, если кривая замкнутая, а параметр t является длиной дуги кривой . Функции удовлетворяют условию Гельдера степени на , т.е. на , и так как параметр t является длиной дуги на , то , . Если кривая замкнутая, то функции и их производные необходимых порядков периодические с периодом t, причем для простоты будем полагать . Предположим еще, что в точке профиля ( , ) происходит всасывание внешнего потока внутрь оболочки профиля. Требуется найти поле скоростей в жидкости, возмущенное профилем.

Будем моделировать профиль вихревым слоем [1] интенсивности в точке кривой . Тогда профиль возмущает в любой точке плоскости скорость , определяемую формулой

= , , (3.1)

= , = ,

= = .

В каждой точке кривой определен орт касательной = . Выберем направление орта нормали к кривой в этой точке по формуле = и будем обозначать ту сторону кривой , куда направлен вектор , знаком “+” или ( ), а противоположную знаком “-“ или ( ). Тогда известны [1] формулы для скорости от вихревого слоя в точках кривой при подходе к ним с соответствующей стороны

= , . (3.2)

Характеристики

Список файлов книги