И.К. Лифанов - Особые интегральные уравнения и методы их численного решения (1109002), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Тогда на и справедливо следующее равенство

, . (1.31)

Теперь рассмотрим гиперсингулярный оператор. Так будем называть оператор вида

, . (1.32)

Вначале дадим определение , что будем понимать в следующем смысле:

. (1.33)

Теперь для по определению будем полагать

. (1.34)

Справедливы следующие утверждения.

Утверждение 1.4. Оператор определен для любой функции , принадлежащей классу , т.е. удовлетворяет условию Гельдера степени на отрезке .

Действительно, имеем

= + +

, . (1.35)

Первое слагаемое справа в (35) существует как абсолютно сходящийся интеграл, так как из того, что , имеем

. (1.36)

Второе слагаемое равно нулю в силу (33), третье слагаемое существует как сингулярный интеграл.

Утверждение 1.5. Пусть функция - -периодическая и принадлежит классу на . Тогда для интеграла (34) справедлива следующая формула интегрирования по частям:

. (1.37)

Действительно, первообразной для функции является функция . Поэтому, интегрируя по частям, получаем

.

.

Первое слагаемое справа равно нулю в силу периодичности функции .

Итак, для оператора имеем

, . (1.38)

Теперь из формул (4)-(6) и (38) получаем следующие спектральные соотношения

, , (1.39)

, , (1.40)

, . (1.41)

Отметим, что из равенства (38) следует

Утверждение 1.6. Пусть функция принадлежит пространству и функция удовлетворяет равенству

, , (1.42)

тогда функция принадлежит пространству .

А из равенств (4) и (39) следует

Теорема 1.3. Пусть функция принадлежит пространству , т.е. , на , и функция удовлетворяет равенству

= , . (1.43)

Тогда справедливо равенство

= = , (1.44)

Действительно, из равенств (4) и (39) имеем

= = =

- = , . (1.45)

Из последнего равенства следует утверждение теоремы, так как если , то она и ее производная представляются сходящимися рядами Фурье.

Обратимся теперь к рассмотрению интегральных уравнений. Вначале рассмотрим характеристическое интегральное уравнение первого рода с логарифмической особенностью, т.е. уравнение вида

, . (1.46)

Из спектральных соотношений (25), (27) следует, что любая функция является решением уравнения (46) для некоторой функции . Действительно, пусть , т.е.

, , (1.47)

где , причем выполняется соотношение

. (1.48)

Тогда

, . (1.49)

Из последнего равенства следует, что . Из него же и соотношений (25) и (39) следует справедливость следующей теоремы.

Теорема 1.4. Для любой функции уравнение (46) имеет единственное решение, которое задается равенством

, , (1.50)

и принадлежит пространству .

Теперь рассмотрим характеристическое гиперсингулярное интегральное уравнение первого рода, т.е. уравнение вида

, . (1.51)

Из спектральных соотношений (39) следует, что любая функция является решением уравнения (46) для некоторой функции . Действительно, пусть , т.е. . Последнее означает, что

= = = (1.52)

и последний ряд является сходящимся в . Отсюда имеем

= . (1.53)

Из формулы (52) следует, что функция в формуле (53) принадлежит пространству . Последние рассуждения показывают справедливость теоремы.

Теорема 1.5. Пусть в уравнении (51) функция . Тогда условием существования решения этого уравнения является равенство (19), т.е.

,

его решение определено с точностью до константы и задается формулой

. (1.54)

Действительно, если , то из формулы (25) следует, что при из равенства (54) получаем

. (1.55)

Подставляя значения из формулы (55) в формулу (53) получаем справедливость теоремы.

П.2. Особые интегралы и уравнения с ними на отрезке.

Как и для особых интегралов в периодическом случае рассмотрение начнем с оператора Коши на отрезке [-1,1],

= , , (2.1)

который по определению полагаем равным

= . (2.2)

При =1 получаем

= , . (2.3)

Из (2) и (3) следует, что оператор определен для любой функции , которая удовлетворяет условию Гельдера степени на отрезке [-1,1], т.е. . Более того, он определен для любой функции , которая может быть представлена в виде произведения функций на [-1,1] и функции .

Для того, чтобы рассмотреть спектральные соотношения для оператора вначале обратимся опять к интегралу Гильберта. Справедливо следующее утверждение.

Утверждение 2.1. Если функция на и является нечетной, то выполняется равенство

= , , (2.4)

а если является четной , то

= , . (2.5)

Доказательство проведем для равенства (4), так как для равенства (5) оно аналогично. Имеем

= + . (2.6)

Сделаем в первом интеграле справа в (6) замену переменной , поменяем местами пределы интегрирования и обозначим опять через . Получим

= = = . (2.7)

Полагая теперь в (5) = и воспользовавшись равенством (1.5), получим

= , n=0,1,2,… (2.8)

Взяв теперь в (4) = из (1.6) получим

= , n=1,2,… (2.9)

Сделаем теперь в равенствах (8), (9) замену переменной = , = ,

, . Тогда получим

= , n=0,1,2,… (2.10)

= , n=1,2,… (2.11)

Известно (см. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие транцендентные функции, т. II, М., Наука, 1966, 296 с.), что функция

= , n=0,1,2,… (2.12)

является многочленом степени n и называется многочленом Чебышева первого рода, а функция

= , n=1,2,… (2.13)

Является многочленом степени n-1 и называется многочленом Чебышева второго рода. Доказательство того, что функции и являются многочленами, получается следующим образом [7]. Обозначим и напомним, что

(2.14)

Разделяя вещественную и мнимую части, получаем тождества

(2.15)

. (2.16)

Теперь соотношения (10) и (11) можно записать так

=- , , n=0,1,2,… (2.17)

= , , n=1,2,… (2.18)

Равенства (17) и (18) при равным -1 или 1 надо понимать в том смысле, что надо сделать в этих равенствах замену = , = и воспользоваться равенствами (8) и (9). Равенства (17) и (18) и будем называть спектральными соотношениями для интеграла с ядром Коши на отрезке в классах функций, обращающихся в нуль или в бесконечность на концах отрезка.

Теперь, опираясь на соотношения (17) и (18), покажем справедливость еще следующих спектральных соотношений для интеграла с ядром Коши на отрезке

, , n=0,1,2,… (2.19)

, , n=0,1,2,… (2.20)

где , , .

Соотношение (19) легко следует из соотношения (17).

Соотношение (20) получается из следующей цепочки равенств

= =

= =

= = =

= = =

= , , n=0,1,2,… (2.21)

Эта цепочка равенств получается следующим образом. Вначале пользуемся определением функции , затем делаем в интеграле замену = , = и потом пользуемся известными преобразованиями тригонометрических выражений.

Рассмотрим теперь интегральный оператор с логарифмической особенностью на отрезке, т.е. оператор вида

= , . (2.22)

Будем вначале предполагать, что функция представляется в виде произведения функции на [-1,1] и функции , где . В этом случае подынтегральная функция в (22) будет абсолютно интегрируемой на [-1,1] для любого . При сформулированном условии на функцию справедливо следующее утверждение.

Утверждение 2.2. Для интеграла в (22) справедлива формула интегрирования по частям, т.е. справедлива формула

= + , , (2.23)

где некоторая первообразная для функции на [-1,1]

Используя формулу (23) можно доказать следующее соотношение

(2.24)

Действительно, возьмем в равенстве (23) = , тогда можно взять = . При этом получаем G(-1)=G(1)=0. Поэтому получаем следующее равенство

= = =

= , , n=1,2,… (2.25)

которое и доказывает равенство (24).

Отдельно докажем равенство

. (2.26)

Действительно, имеем

= = =

= =-ln2, .

В последней цепочке равенств вначале сделали замену переменной = , = , затем воспользовались формулой разности косинусов, потом формулой (1.27).

Таким образом, равенства (24) и (26) дают спектральные соотношения для оператора с логарифмической особенностью.

Теперь рассмотрим гиперсингулярный оператор. Так будем называть оператор вида

= , . (2.27)

Вначале дадим определение , что будем понимать в следующем смысле:

= = , . (2.28)

Теперь для по определению будем полагать

= , . (2.29)

Докажем теперь следующие два утверждения.

Утверждение 2.3. Интеграл (29) существует для любой функции на отрезке , т.е. классу Гёльдера степени на .

Действительно, преобразуем формулу (29) следующим образом:

=

. (2.30)

В формуле (30) интеграл существует как несобственный интеграл, так как , и поэтому

. (2.31)

Интеграл существует в силу формулы (28), а интеграл существует в смысле главного значения по Коши, см. (3)Гахов 19М. Утверждение 3 доказано.

Утверждение 2.4. Пусть функция на отрезке . Тогда для интеграла (29) справедлива следующая формула интегрирования по частям

(2.32)

Действительно, выполнив в формуле (29) интегрирование по частям, получим:

(2.33)

Интеграл существует в смысле главного значения по Коши. Так как , то

(2.34)

и поэтому предел равен нулю для любого . Утверждение 4 доказано.

Замечание 2.1. Если и на , то формула (Error: Reference source not found ) получает вид:

. (2.35)

Замечание 2.2. Формула (35) справедлива и в том случае, если g(-1) =g(1)=0, а на , т.е. производная на [-1,1] что означает Мусх :

, (2.36)

где на [-1,1], а .

Характеристики

Список файлов книги