В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу (1108944), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Òîãäà ïîëó÷èì:f (x) − f (c)>x−c0 ïðè 0 < |x − c| < δ ,4. Òåîðåìû Ðîëëÿ è Ëàãðàíæà153îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî â δ -îêðåñòíîñòè òî÷êè c f (x) > f (c) ïðè x > cè f (x) < f (c) ïðè x < c. Ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî f (x) âîçðàñòàåò âòî÷êå c. Òåîðåìà 5 äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå. Ïîëîæèòåëüíîñòü f 0 (c) òîëüêî äîñòàòî÷íîå, íîíå íåîáõîäèìîå óñëîâèå âîçðàñòàíèÿ äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè f (x) â òî÷êå c. Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ f (x) = x âîçðàñòàåò âòî÷êå x = 0, íî f 0 (0) = 0.Ïóñòü ñíîâà f (x) îïðåäåëåíà íà (a, b) è c ∈ (a, b).Îïðåäåëåíèå. Ãîâîðÿò, ÷òî â òî÷êå c ôóíêöèÿ f (x) èìååò ëîêàëüíûé ìàêñèìóì (ìèíèìóì), åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿîêðåñòíîñòü òî÷êè c, â êîòîðîé f (x) < f (c) (ñîîòâåòñòâåííî,f (x) > f (c)) ïðè x 6= c.Ëîêàëüíûé ìàêñèìóì è ëîêàëüíûé ìèíèìóì îáúåäèíÿþòñÿîáùèì íàçâàíèåì: ëîêàëüíûé ýêñòðåìóì.Òåîðåìà 6 (òåîðåìà Ôåðìà).
Åñëè ôóíêöèÿ f (x) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå c è èìååò â ýòîé òî÷êå ëîêàëüíûé ýêñòðåìóì,òî f 0 (c) = 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f (x) èìååò â òî÷êå c ëîêàëüíûé ìàêñèìóì (äëÿ ñëó÷àÿ ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà ðàññóæäåíèÿ àíàëîãè÷íûå), ò.å. ñóùåñòâóåò òàêàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè c, â êîòîðîéf (x) < f (c) ïðè x 6= c. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî f 0 (c) 6= 0. Äîïóñòèì,÷òî f 0 (c) > 0. Òîãäà ïî òåîðåìå 5 ôóíêöèÿ f (x) âîçðàñòàåò âòî÷êå c è, ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü òî÷êè c, âêîòîðîé f (x) > f (c) ïðè x > c.
Íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò íåðàâåíñòâóf (x) < f (c) ïðè x 6= c. Ñëåäîâàòåëüíî, f 0 (c) íå ìîæåò áûòü áîëüøå 0. Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî f 0 (c) íå ìîæåò áûòü ìåíüøå0. Ïîýòîìó f 0 (c) = 0, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë òåîðåìû. Åñëè äèôôåðåíöèðóåìàÿ âòî÷êå c ôóíêöèÿ y = f (x) èìååò ëîêàëüíûé ýêñòðåìóì â ýòîéòî÷êå, òî êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè â òî÷êå (c, f (c)) ïàðàëëåëüíà îñè Ox.Çàìå÷àíèå. Óñëîâèå f 0 (c) = 0 òîëüêî íåîáõîäèìîå, íî íåäîñòàòî÷íîå óñëîâèå ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà ôóíêöèè f (x) âòî÷êå c.
Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ f (x) = x óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþf 0 (0) = 0, íî â òî÷êå x = 0 ýêñòðåìóìà ó ôóíêöèè íåò.33 4. Òåîðåìû Ðîëëÿ è ËàãðàíæàÒåîðåìà 7 (òåîðåìà Ðîëëÿ). Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ:1) ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a, b];2) f (x) äèôôåðåíöèðóåìà â èíòåðâàëå (a, b);3) f (a) = f (b).154Ãë. 7. Îñíîâíûå òåîðåìû î íåïðåðûâíûõ è äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèÿõÒîãäà ∃c ∈ (a, b): f 0 (c) = 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà[a, b], òî îíà èìååò íà [a, b] ìàêñèìàëüíîå è ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèÿ (ýòî áûëî îòìå÷åíî ïîñëå äîêàçàòåëüñòâà 2-îé òåîðåìûÂåéåðøòðàññà). ÏîëîæèìM = max f (x),[a,b]m = min f (x).[a,b]Âîçìîæíû 2 ñëó÷àÿ.1) M = m.
Òîãäà f (x) = M = m = const è ∀c ∈ (a, b) : f 0 (c) = 0.2) M > m. Òîãäà ïî êðàéíåé ìåðå îäíî èç çíà÷åíèé M è m ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò âî âíóòðåííåé òî÷êå c ñåãìåíòà [a, b]. Ðàññìîòðèìâîçìîæíûå ïîäñëó÷àè.à) Çíà÷åíèå M ïðèíèìàåòñÿ âî âíóòðåííåé òî÷êå c, à m == f (a) = f (b).á) Çíà÷åíèå m ïðèíèìàåòñÿ âî âíóòðåííåé òî÷êå c, à M == f (a) = f (b).â) Îáà çíà÷åíèÿ M è m ïðèíèìàþòñÿ âî âíóòðåííèõ òî÷êàõ[a, b] (ïóñòü, íàïðèìåð, çíà÷åíèå M ïðèíèìàåòñÿ âî âíóòðåííåéòî÷êå c). ëþáîì ñëó÷àå ïî òåîðåìå Ôåðìà f 0 (c) = 0, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Ôèçè÷åñêèé ñìûñë òåîðåìû ÐîëëÿÏóñòü x âðåìÿ, y = f (x) êîîðäèíàòà òî÷êè, äâèæóùåéñÿïî îñè Oy , â ìîìåíò âðåìåíè x.
Òîãäà â ìîìåíòû âðåìåíè a è bòî÷êà èìååò îäíó è òó æå êîîðäèíàòó f (a) = f (b), ò.å. çàíèìàåòíà îñè Oy îäíî è òî æå ïîëîæåíèå.  ïðîìåæóòêå âðåìåíè îò aäî b òî÷êà êàêèì-òî îáðàçîì äâèæåòñÿ è â ìîìåíò b âîçâðàùàåòñÿâ èñõîäíîå ïîëîæåíèå. ßñíî, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû âåðíóòüñÿíàçàä, îíà äîëæíà â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè c îñòàíîâèòüñÿ,òî åñòü åå ñêîðîñòü â ýòîò ìîìåíò ðàâíà íóëþ: f 0 (c) = 0.Òåîðåìà 8 (òåîðåìà Ëàãðàíæà).
Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ:1) ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a, b];2) f (x) äèôôåðåíöèðóåìà â èíòåðâàëå (a, b).Òîãäà ∃c ∈ (a, b), òàêàÿ, ÷òîf (b) − f (a) = f 0 (c)(b − a).Ýòà ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Ëàãðàíæà.Äîêàçàòåëüñòâî. Ââåäåì ôóíêöèþF (x) = f (x) −f (b) − f (a)· (x − a).b−a4. Òåîðåìû Ðîëëÿ è Ëàãðàíæà155Îíà óäîâëåòâîðÿåò âñåì óñëîâèÿì òåîðåìû Ðîëëÿ:1) F (x) îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà íà [a, b];2) F (x) äèôôåðåíöèðóåìà â èíòåðâàëå (a, b);3) F (a) = F (b) = f (a).Ïî òåîðåìå Ðîëëÿ ∃c ∈ (a, b): F 0 (c) = 0, òî åñòüf 0 (c) −f (b) − f (a)=b−a0,îòêóäà ñëåäóåò ðàâåíñòâî f (b) − f (a) = f 0 (c)(b − a), ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Ôèçè÷åñêèé ñìûñë òåîðåìû ËàãðàíæàÏóñòü x âðåìÿ, y = f (x) êîîðäèíàòà òî÷êè, äâèæóùåéñÿïî îñè Oy , â ìîìåíò âðåìåíè x. Òîãäà f 0 (c) ìãíîâåííàÿñêîðîñòü òî÷êè â ìîìåíò c, à (f (b) − f (a))/(b − a) ñðåäíÿÿñêîðîñòü òî÷êè íà âðåìåííîì ïðîìåæóòêå [a, b].Ôîðìóëà Ëàãðàíæà, çàïèñàííàÿ â âèäåf 0 (c) =f (b) − f (a),b−aïîêàçûâàåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîé ìîìåíò âðåìåíè c, â êîòîðûéìãíîâåííàÿ ñêîðîñòü òî÷êè ðàâíà åå ñðåäíåé ñêîðîñòè íà ïðîìåæóòêå âðåìåíè [a, b].Çàìå÷àíèå.
Ðàññìîòðèì íà ñåãìåíòå [a, b] äâå òî÷êè: x è x ++ ∆x. Ïðèìåíèì ôîðìóëó Ëàãðàíæà ê ñåãìåíòó [x , x + ∆x]:0000f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = f 0 (ξ)∆x.Òî÷êó ξ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ξ = x + (ξ − x ) = x + θ · ∆x,ãäå 0 < θ < 1. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè â òî÷êåx ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî:0000∆f = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = f 0 (x0 + θ · ∆x) · ∆x.x0Îíî íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèé. Îòìåòèì, ÷òîãëàâíàÿ ÷àñòü ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè â òî÷êå x , òî åñòü äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè â òî÷êå x , âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé00df x0= f 0 (x0 )∆x.156Ãë. 7. Îñíîâíûå òåîðåìû î íåïðåðûâíûõ è äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèÿõÍåêîòîðûå òåîðåìû, äîêàçûâàåìûå ñ ïîìîùüþ ôîðìóëûËàãðàíæàÏóñòü X ïðîìåæóòîê, ò.å.
èíòåðâàë, ñåãìåíò, ïîëóïðÿìàÿ èëèâñÿ ïðÿìàÿ.Òåîðåìà 9. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) äèôôåðåíöèðóåìà íà ïðîìåæóòêå X è ∀x ∈ X : f 0 (x) = 0, òî f (x) = const íà X .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà, à x ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà èç X . Ïî ôîðìóëå Ëàãðàíæà:0f (x) − f (x0 ) = f 0 (c)(x − x0 ) = 0,ò.ê. f 0 (c) = 0. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî f (x) = f (x ) = const ∀x ∈ X ,÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Ñëåäñòâèå.  ãëàâå 5 áûëà ñôîðìóëèðîâàíà òåîðåìà 1 (îñíîâíàÿ òåîðåìà èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ): åñëè F (x) è F (x) ëþáûå äâå ïåðâîîáðàçíûå äëÿ ôóíêöèè f (x) íà ïðîìåæóòêå X , òî F (x)0 − F (x) = const íà X . Áûëî ïîêàçàíî, ÷òîF (x) − F (x) = 0 ∀x ∈ X .  ñèëó äîêàçàííîé ñåé÷àñ òåîðåìû9 îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî F (x) − F (x) = const íà X , è òåì ñàìûìòåîðåìà 1 èç ãëàâû 5 äîêàçàíà.Äîêàæåì òåîðåìó, óñòàíàâëèâàþùóþ íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ìîíîòîííîñòè äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè.Òåîðåìà 10.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû äèôôåðåíöèðóåìàÿ íà ïðîìåæóòêå X ôóíêöèÿ f (x) íå óáûâàëà (íå âîçðàñòàëà) íà X ,íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ∀x ∈ X : f 0 (x) > 0 (6 0).Äîêàçàòåëüñòâî.Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü f 0 (x) > 0 ∀x ∈ X . Äîêàæåì, ÷òî f (x)íå óáûâàåò íà ïðîìåæóòêå X . Ðàññìîòðèì äâå ïðîèçâîëüíûåòî÷êè x , x ∈ X . Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè x > x . Ïî ôîðìóëåËàãðàíæà:0111222112212f (x2 ) − f (x1 ) = f 0 (ξ)(x2 − x1 ).Òàê êàê f 0 (ξ) > 0 è x − x > 0, òî f (x ) − f (x ) > 0,îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî2112f (x2 ) > f (x1 ) ïðèx2 > x1 ,à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) íå óáûâàåò íà ïðîìåæóòêåX.Íåîáõîäèìîñòü.
Ïóñòü f (x) íå óáûâàåò íà X , ò.å.f (x2 ) > f (x1 ) ïðèx2 > x1 ,x1 , x2 ∈ X.4. Òåîðåìû Ðîëëÿ è Ëàãðàíæà157Äîêàæåì, ÷òî f 0 (x) > 0 ∀x ∈ X . Äîïóñòèì ïðîòèâíîå, ò.å. ÷òî∃c ∈ X : f 0 (c) < 0. Òîãäà ïî òåîðåìå 5 f (x) óáûâàåò â òî÷êå c, òîåñòü ñóùåñòâóåò òàêàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè c, â êîòîðîéf (x) < f (c)ïðè x > c è f (x) > f (c) ïðè x < c.Ïåðâîå èç ýòèõ íåðàâåíñòâ ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ íåóáûâàíèÿôóíêöèè: f (x ) > f (x ) ïðè x > x . Ñëåäîâàòåëüíî, íàøå ïðåäïîëîæåíèå íåâåðíî, è f 0 (x) > 0 ∀x ∈ X . Òåîðåìà 10 äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå.
Äëÿ âîçðàñòàíèÿ ôóíêöèè f (x) íà ïðîìåæóòêå Xäîñòàòî÷íî, íî íå íåîáõîäèìî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâîf 0 (x) > 0 ∀x ∈ X (äîêàæèòå ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî).Ïîñòàâèì âîïðîñ: êàê ñâÿçàíû âîçðàñòàíèå ôóíêöèè â òî÷êåè âîçðàñòàíèå íà ïðîìåæóòêå?Óòâåðæäåíèå 1. Èç âîçðàñòàíèÿ ôóíêöèè â äàííîé òî÷êå íåñëåäóåò åå âîçðàñòàíèå â êàêîé-íèáóäü îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè.Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ21(f (x) =121x + x2 sin ,0,xåñëè x 6= 0åñëè x = 0.Ýòà ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò â òî÷êå x = 0 (ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òîf 0 (0) = 1 > 0), íî ïðè ýòîì îíà íå ÿâëÿåòñÿ âîçðàñòàþùåé íèâ êàêîé ε-îêðåñòíîñòè òî÷êè x = 0 (ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òîâ ëþáîé ε-îêðåñòíîñòè òî÷êè x = 0 ïðîèçâîäíàÿ f 0 (x) èìååò âêàêèõ-òî òî÷êàõ îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ; äîêàæèòå ýòî).Óòâåðæäåíèå 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
