В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу (1108944), страница 25
Текст из файла (страница 25)
+1!2!α(α − 1) ... (α − n + 1) nx + Rn+1 (x),n!ïðè x → 0 (ôîðìà Ïåàíî).Âûïèøèòå ñàìîñòîÿòåëüíî Rn+ (x) â ôîðìå Ëàãðàíæà.Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèèx ∈ (−1, 1) Rn+ (x) → 0 ïðè n → ∞. Ïðè n = 1 èìååì:Rn+1 (x) = o (xn )11(1 + x)α = 1 + αx + o(x) ïðèx → 0.Ïðè α = n ∈ N èç ðàçëîæåíèÿ ïî ôîðìóëå Ìàêëîðåíà ïîëó÷àåìôîðìóëó áèíîìà Íüþòîíà (â ýòîì ñëó÷àå Rn+ (x) ≡ 0).Ïîëó÷åííîå ðàçëîæåíèå ïî ôîðìóëå Ìàêëîðåíà ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïðèáëèæåííîãîâû÷èñëåíèÿ êîðíåé.√Ïðèìåð. Íàéòè 35 ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ.Ïîñêîëüêó 32 = 2 , òî155√535 = 2r5353=2 1+3232=2 1+1 3·+5 3215151/5=−12!3322+ ...
.Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó äëÿ îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà â ôîðìå Ëàãðàíæà,íåòðóäíî îöåíèòü, ñêîëüêî ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿíóæíî âçÿòü, ÷òî√áû ïîëó÷èòü ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå 35 ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ.5174Ãë. 7. Îñíîâíûå òåîðåìû î íåïðåðûâíûõ è äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèÿõ6) f (x) = tg x. Òàê êàêf 0 (x) =12cos x,f 00 (x) =2 sin x3cos x,f 000 (x) =6 sin2 x4cos x+2cos2 x.f (4) (x) = ... (âû÷èñëèòå ñàìîñòîÿòåëüíî),òîf (0) = 0,f 0 (0) = 1,f 00 (0) = 0,f 000 (0) = 2,f (4) (0) = 0.Òàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîtg x = x +x33+ o x4 .Ýòó ôîðìóëó ìû óæå ïîëó÷èëè ðàíåå, ðàññìîòðåâtg x − x.x→0x3limÊàê ïîëó÷èòü ñëåäóþùèå ÷ëåíû ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèè f (x) = tg xïî ôîðìóëå Ìàêëîðåíà? (Îòìåòèì, ÷òî ðàçëîæåíèå áóäåò ñîäåðæàòü òîëüêî íå÷åòíûå ñòåïåíè x, ïîñêîëüêó tg x íå÷åòíàÿôóíêöèÿ).1-é ñïîñîá: íàéòè f ( ) (0), f ( ) (0) è ò.ä.
Íî ýòà ïðîöåäóðàäîñòàòî÷íî ãðîìîçäêàÿ.2-é ñïîñîá: ÷òîáû íàéòè êîýôôèöèåíò ïðè x , ìîæíî ðàññìîòðåòü575tg x − x − x3 /3x→0x5limè âû÷èñëèòü åãî, íàïðèìåð, ñ ïîìîùüþ ïðàâèëà Ëîïèòàëÿ.Åñëè ýòîò ïðåäåë ðàâåí K , òî5tg x = x +x33+ K5 · x5 + o x6ïðè x → 0.3-é ñïîñîá: âîñïîëüçóåìñÿ ðàâåíñòâîì sin x = cos x · tg x èôîðìóëàìè Ìàêëîðåíà äëÿ sin x è cos x. Òîãäàx−x3x5x7+−+ ...
=3!5!7!x2x4x61 − + − + ...2!4!6!=x357x++ K5 · x + K7 · x + ... .37. Ôîðìóëà Ìàêëîðåíà è åå ïðèìåíåíèÿ175Ðàñêðûâàÿ ñêîáêè è ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõñòåïåíÿõ x â îáåèõ ÷àñòÿõ ðàâåíñòâà, íàõîäèì K , K , è ò.ä.Âû÷èñëèì K :5751 1 11=K − · +5!2! 3 4!⇒5K5 =111162+ −== .120 6 24 120 15Èòàê,tg x = x +x33+2x +o x .1556Âû÷èñëåíèå ïðåäåëîâ ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Ìàêëîðåíà1) Áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå exp(t) = et .limx→0sin xx 121x= lim expx2x→0= lim exp1x2x→0= lim exp1= lim exp1xx→0ln 1 −2−lnsin xx=x − x3 /6 + o(x3 )xx2x→0lnx26x26+o x+ o x22=== exp − 1/6 .2)limx→0tg x + 2 sin x − 3x=x5x+= limx33+2x515x3x5+ o x6 + 2 x −++ o x6 − 3xx5x→02= limx→015+160x5 + o(x6 )x5=693= .60 20120=176Ãë. 7.
Îñíîâíûå òåîðåìû î íåïðåðûâíûõ è äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèÿõ3) Ðàçëîæèòü ïî ôîðìóëå Ìàêëîðåíà ôóíêöèþ f (x) == cos (sin x) äî ÷ëåíà ñ x6 âêëþ÷èòåëüíî. Èìååì:(sin x)2(sin x)4(sin x)6+−+ ... =cos (sin x) = 1 −2!4!6!421x3x3x51=1−x−x−+− ... ++ ... −26120x31x−+ ...7206−2466+ ... =x4x6x61x −+++o x+=1−2336 60621x + 4x24+=1−4x22+=1−16x22++3 31x− + ... + o x6 −6720x6 + o x6= 11111 x + − −−−x +o x =2472 120 36 72046537x −x +o x .247204666Ãëàâà 8ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÏÎÂÅÄÅÍÈß ÔÓÍÊÖÈÉ ÈÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÃÐÀÔÈÊΠýòîé ãëàâå ñ ïîìîùüþ ðåçóëüòàòîâ è ìåòîäîâ ïðåäûäóùåéãëàâû ìû ðàññìîòðèì ðàçëè÷íûå âîïðîñû, ñâÿçàííûå ñ ïîâåäåíèåì ôóíêöèé è èõ ãðàôèêàìè: âîïðîñ î òî÷êàõ ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà ôóíêöèè, î ïðîìåæóòêàõ ìîíîòîííîñòè, î íàïðàâëåíèèâûïóêëîñòè ãðàôèêà è òî÷êàõ ïåðåãèáà, îá àñèìïòîòàõ ãðàôèêà. 1. Òî÷êè ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà è ïðîìåæóòêèìîíîòîííîñòè ôóíêöèè ïðåäûäóùåé ãëàâå áûëî ââåäåíî ïîíÿòèå ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà ôóíêöèè.Îïðåäåëåíèå. Ãîâîðÿò, ÷òî â òî÷êå c ôóíêöèÿ f (x) èìååò ëîêàëüíûé ìàêñèìóì (ìèíèìóì), åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿîêðåñòíîñòü òî÷êè c, â êîòîðîé f (x) < f (c) (ñîîòâåòñòâåííî,f (x) > f (c)) ïðè x 6= c.Òàì æå áûëà äîêàçàíà òåîðåìà î íåîáõîäèìîì óñëîâèè ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè: åñëè f (x)äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå c è èìååò â òî÷êå c ëîêàëüíûéýêñòðåìóì, òî f 0 (c) = 0.
Áûëî îòìå÷åíî, ÷òî óñëîâèå f 0 (c) = 0ÿâëÿåòñÿ òîëüêî íåîáõîäèìûì, íî íå äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè. Íàïðèìåð,ôóíêöèÿ f (x) = x óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ f 0 (0) = 0, íî â òî÷êåx = 0 ýêñòðåìóìà íå èìååò. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî óñëîâèå f 0 (c) = 0ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ýêñòðåìóìà òîëüêî äëÿ äèôôåðåíöèðóåìîé â òî÷êå c ôóíêöèè. Èíûìè ñëîâàìè, ôóíêöèÿf (x) ìîæåò èìåòü â òî÷êå c ýêñòðåìóì, íî ïðè ýòîì íå áûòüäèôôåðåíöèðóåìîé â ýòîé òî÷êå, è ïîòîìó óñëîâèå f 0 (c) = 0íå âûïîëíåíî. Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ f (x) = |x| èìååò ìèíèìóì âòî÷êå x = 0, íî óñëîâèå f 0 (0) = 0 íå âûïîëíåíî, ïîñêîëüêó f 0 (0)íå ñóùåñòâóåò.Áóäåì íàçûâàòü òî÷êàìè âîçìîæíîãî ýêñòðåìóìà ôóíêöèèf (x) òî÷êè äâóõ òèïîâ:1) òî÷êè c, â êîòîðûõ f 0 (c) = 0;2) òî÷êè c, â êîòîðûõ f 0 (c) íå ñóùåñòâóåò, íî ñàìà ôóíêöèÿf (x) íåïðåðûâíà â òî÷êå c.3178Ãë.
8. Èññëåäîâàíèå ïîâåäåíèÿ ôóíêöèé è ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâÎòûñêàâ òî÷êè âîçìîæíîãî ýêñòðåìóìà, ìû äîëæíû äàëååïðîâåðèòü ñ ïîìîùüþ êàêèõ-òî óñëîâèé, ÿâëÿþòñÿ ëè îíè íàñàìîì äåëå òî÷êàìè ýêñòðåìóìà èëè íåò. Ýòîé öåëè ñëóæàòäîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà.Òåîðåìà 1 (1-îå äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà). Ïóñòüc òî÷êà âîçìîæíîãî ýêñòðåìóìà ôóíêöèè f (x) è ïóñòü f (x)ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîé â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè òî÷êè c. Òîãäà åñëè â óêàçàííîé îêðåñòíîñòè:1) 0f (x) > 0(< 0) ïðè x < c,f 0 (x) < 0(> 0) ïðè x > c,òî â òî÷êå c ôóíêöèÿ f (x) èìååò ëîêàëüíûé ìàêñèìóì (ìèíèìóì);2) f 0 (x) îäíîãî çíàêà ïðè x < c è ïðè x > c, òî â òî÷êå cýêñòðåìóìà íåò.Äîêàçàòåëüñòâî.1) Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäàf 0 (x) > 0 ïðè x < c,f 0 (x) < 0 ïðè x > c,è äîêàæåì, ÷òî â òî÷êå c ôóíêöèÿ f (x) èìååò ëîêàëüíûé ìàêñèìóì.
Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî â óêàçàííîé îêðåñòíîñòè òî÷êè c f (x) < f (c) ïðè x 6= c, èëè f (x) − f (c) < 0 ïðè x 6= c.Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå x èç óêàçàííîé îêðåñòíîñòè, íå ðàâíîåc. Òîãäà f (x) íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [c, x] è äèôôåðåíöèðóåìàâ èíòåðâàëå (c, x). Ïî ôîðìóëå Ëàãðàíæàf (x) − f (c) = f 0 (ξ)(x − c).Åñëè x < c, òî ξ < c, x − c < 0, f 0 (ξ) > 0 è, ñëåäîâàòåëüíî,f (x) − f (c) < 0. Åñëè x > c, òî ξ > c, x − c > 0, f 0 (ξ) < 0 è,ñëåäîâàòåëüíî, f (x) − f (c) < 0. Èòàê, â óêàçàííîé îêðåñòíîñòèòî÷êè c âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f (x) − f (c) < 0 ïðè x 6= c, ÷òîè òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.2) Ïóñòü f 0 (x) îäíîãî çíàêà ïðè x < c è ïðè x > c.
Òîãäàèç ôîðìóëû Ëàãðàíæà ñëåäóåò, ÷òî â óêàçàííîé îêðåñòíîñòèf (x) − f (c) èìååò ðàçíûå çíàêè ïðè x < c è ïðè x > c, è,ñëåäîâàòåëüíî, â òî÷êå c ýêñòðåìóìà íåò. Òåîðåìà 1 äîêàçàíà.Ïðèìåðû.13521) f (x) = x − x + 6x − 1. Èìååì:32f 0 (x) = x2 − 5x + 6;f 0 (x) = 0ïðè x = 2 è x = 3.1. Òî÷êè ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà è ïðîìåæóòêè ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè179Ïðè ¾ïåðåõîäå¿ ÷åðåç òî÷êó x = 2 ïðîèçâîäíàÿ ìåíÿåò çíàê ñïëþñà íà ìèíóñ, à ïðè ¾ïåðåõîäå¿ ÷åðåç òî÷êó x = 3 ñ ìèíóñàíà ïëþñ. Ñëåäîâàòåëüíî, â òî÷êå x = 2 ôóíêöèÿ f (x) èìååòëîêàëüíûé ìàêñèìóì, à â òî÷êå x = 3 ëîêàëüíûé ìèíèìóì.2)(1x2−sin, åñëè x 6= 0,f (x) =x0,åñëè x = 0.Î÷åâèäíî, ÷òî â òî÷êå x = 0 ôóíêöèÿ f (x) èìååò ìèíèìóì.Âû÷èñëèì åå ïðîèçâîäíóþ:21(14x − 2x sin + cos , åñëè x 6= 0,xx0,åñëè x = 0. ëþáîé ñêîëü óãîäíî ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x = 0, êàê ñëåâà,òàê è ñïðàâà îò ýòîé òî÷êè, f 0 (x) èìååò çíà÷åíèÿ ðàçíûõ çíàêîâ(äîêàæèòå ýòî).
Ýòîò ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî , èçìåíåíèå çíàêàïðîèçâîäíîé ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êó c òîëüêî äîñòàòî÷íîå,íî íå íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà ôóíêöèè â òî÷êå c.Òåîðåìà 2 (2-îå äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà). Ïóñòüf (x) äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå c è ïóñòü f 0 (c) = 0,f 00 (c) 6= 0. Òîãäà åñëè f 00 (c) < 0 (> 0), òî â òî÷êå c ôóíêöèÿ f (x)èìååò ëîêàëüíûé ìàêñèìóì (ìèíèìóì).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f 00 (c) > 0 (ñëó÷àé f 00 (c) < 0 ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî). Òîãäà f 0 (x) âîçðàñòàåò â òî÷êå c, ò.å. ñóùåñòâóåò òàêàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè c, â êîòîðîé f 0 (x) > f 0 (c) = 0ïðè x > c è f 0 (x) < f 0 (c) = 0 ïðè x < c. Ïî òåîðåìå 1 ôóíêöèÿf (x) èìååò â òî÷êå c ëîêàëüíûé ìèíèìóì.
Òåîðåìà 2 äîêàçàíà.Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) = x + sin 2x. Èìååì:0f (x) =f 0 (x) = 1 + 2 cos 2x = 0,åñëè2x = ±2ππ+ 2πn ⇒ x = ± + πn,33n ∈ Z;òàê êàê f 00 (x) = −4 sin 2x, òîff0000−π3π32π+ πn = −4 sin+ 2πn < 0,32π+ πn = −4 sin −+ 2πn > 0.3180Ãë. 8. Èññëåäîâàíèå ïîâåäåíèÿ ôóíêöèé è ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâÒàêèì îáðàçîì, ñîãëàñíî òåîðåìå 2, â òî÷êàõ x = π/3 + πnôóíêöèÿ f (x) èìååò ëîêàëüíûé ìàêñèìóì, à â òî÷êàõ x = −−π/3 + πn ëîêàëüíûé ìèíèìóì. ïðåäûäóùåé ãëàâå áûëà äîêàçàíà òåîðåìà: äëÿ òîãî, ÷òîáû äèôôåðåíöèðóåìàÿ íà ïðîìåæóòêå X ôóíêöèÿ f (x) íåóáûâàëà (íå âîçðàñòàëà) íà ýòîì ïðîìåæóòêå, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ∀x ∈ X âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâîf 0 (x) > 0(6 0). Áûëî îòìå÷åíî, ÷òî äëÿ ñòðîãîãî âîçðàñòàíèÿ(óáûâàíèÿ) ôóíêöèè f (x) íà ïðîìåæóòêå X äîñòàòî÷íî (íî íåíåîáõîäèìî), ÷òîáû ∀x ∈ X : f 0 (x) > 0(< 0).Òàêèì îáðàçîì, äëÿ îòûñêàíèÿ ïðîìåæóòêîâ ìîíîòîííîñòèäèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè f (x) íóæíî íàéòè ïðîìåæóòêè çíàêîïîñòîÿíñòâà f 0 (x), à äëÿ ýòîãî íóæíî íàéòè òî÷êè, â êîòîðûõf 0 (x) = 0, è òî÷êè, â êîòîðûõ f 0 (x) ðàçðûâíà.
Òåì ñàìûì ìîæíîîäíîâðåìåííî íàéòè òî÷êè ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà.Ïðèìåð. f (x) = 1 x − 7 x + 6x + 1. Òàê êàê44332f 0 (x) = x3 − 7x2 + 12x = x(x − 3)(x − 4),òî f 0 (x) < 0 íà ïðîìåæóòêàõ (−∞, 0) è (3, 4); f 0 (x) > 0íà ïðîìåæóòêàõ (0, 3) è (4, +∞). Ïîýòîìó f (x) óáûâàåò íàïðîìåæóòêàõ(−∞, 0) è (3, 4) è âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóòêàõ (0, 3)è (4, +∞). Ïðè ýòîì òî÷êà x = 3 ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ëîêàëüíîãîìàêñèìóìà, à òî÷êè x = 0 è x = 4 òî÷êàìè ëîêàëüíîãîìèíèìóìà ôóíêöèè f (x). 2.
Íàïðàâëåíèå âûïóêëîñòè è òî÷êè ïåðåãèáàãðàôèêà ôóíêöèèÏóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) îïðåäåëåíà è äèôôåðåíöèðóåìà íàèíòåðâàëå (a, b). Òîãäà â êàæäîé òî÷êå M (x, f (x)) ñóùåñòâóåòêàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè, ïðè÷åì ýòà êàñàòåëüíàÿ íåïàðàëëåëüíà îñè Oy .Îïðåäåëåíèå. Ãîâîðÿò, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x) íàïðàâëåí íà èíòåðâàëå (a, b) âûïóêëîñòüþ ââåðõ (âíèç), åñëèâ ïðåäåëàõ èíòåðâàëà (a, b) ãðàôèê ëåæèò íå âûøå (íå íèæå)ëþáîé ñâîåé êàñàòåëüíîé (ðèñ. 8.1).Òåîðåìà 3.
Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìà íàèíòåðâàëå (a, b) è ∀x ∈ (a, b): f 00 (x) > 0(6 0), òî ãðàôèê ôóíêöèèy = f (x) íàïðàâëåí íà (a, b) âûïóêëîñòüþ âíèç (ââåðõ).Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé f 00 (x) > 0 ∀x ∈ (a, b).Ïóñòü c ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà èç (a, b). Ïðîâåäåì êàñàòåëüíóþ ê2. Íàïðàâëåíèå âûïóêëîñòè è òî÷êè ïåðåãèáà ãðàôèêà ôóíêöèè181ãðàôèêó ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå M (c, f (c)).
Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé èìååò âèäY − f (c) = f 0 (c)(x − c) èëè Y = f (c) + f 0 (c)(x − c).yy = f 2 ( x)y = f1 ( x)a1b1 a2b2 xOГрафик функции y = f1 ( x) направлен выпуклостьювверх, а график функции y = f 2 ( x) - выпуклостью вниз.Ðèñ. 8.1.Òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x) ëåæèòíà èíòåðâàëå (a, b) íå íèæå êàñàòåëüíîé, òî åñòü ∀x ∈ (a, b):f (x) > Y .Ïóñòü x ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà èç èíòåðâàëà (a, b). Ïî ôîðìóëå Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Ëàãðàíæà ïîëó÷àåì:f (x) = f (c) + f 0 (c)(x − c) +f 00 (ξ)(x − c)2 ,2!ξ ∈ (c, x).Ñëåäîâàòåëüíî,f (x) − Y = f (x) − f (c) − f 0 (c)(x − c) =f 00 (ξ)2(x − c)2 ,à òàê êàê f 00 (ξ) > 0 (∀ξ ∈ (a, b)), òî f (x) − Y > 0, òî åñòüf (x) > Y , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Çàìå÷àíèå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
