В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу (1108944), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Òàêèì îáðàçîì, òî÷êè M1 è M2 ãðàôèêà√√ñ àáñöèññàìè 2 − 2 è 2 + 2 ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè ïåðåãèáà.Ãðàôèê ôóíêöèè ïðåäñòàâëåí íà ðèñóíêå 8.4.yy = x 2e- xM1M20 2- 2 22+ 2xÐèñ. 8.4. 5. Ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå êîðíåé óðàâíåíèéÐàññìîòðèì óðàâíåíèåf (x) = 0.(8.1)×èñëî c íàçûâàåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ (8.1) åñëè f (c) = 0. Ìûáóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî âåùåñòâåííûå êîðíè.Êîðåíü c íàçûâàåòñÿ èçîëèðîâàííûì êîðíåì óðàâíåíèÿ (8.1),åñëè ñóùåñòâóåò òàêîé ñåãìåíò [a, b], ÷òî a < c < b è íà [a, b] íåòäðóãèõ êîðíåé ýòîãî óðàâíåíèÿ. áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ òî÷íîå çíà÷åíèå êîðíÿ c íàéòè íåóäàåòñÿ. Íàïðèìåð, óðàâíåíèåx + sin x − 2 = 0èìååò ðîâíî 1 êîðåíü, íî òî÷íîå çíà÷åíèå ýòîãî êîðíÿ èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî, ïîýòîìó ìîæíî íàéòè òîëüêî ïðèáëèæåííîåçíà÷åíèå êîðíÿ.Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ìåòîäû ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ èçîëèðîâàííûõ êîðíåé óðàâíåíèÿ (8.1).
 êàæäîì èç ìåòîäîâ áóäåò ñòðîèòüñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn }, ñõîäÿùàÿñÿ ê c,ãäå c èçîëèðîâàííûé êîðåíü óðàâíåíèÿ. ×ëåíû ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è áóäóò ïðèáëèæåííûìè çíà÷åíèÿìè êîðíÿ c.Ãë. 8. Èññëåäîâàíèå ïîâåäåíèÿ ôóíêöèé è ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâ190Ìåòîä ¾âèëêè¿Ïóñòü âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:à) ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a, b];á) f (a)f (b) < 0 (â ýòîì ñëó÷àå ñåãìåíò [a, b] íàçûâàåòñÿ ¾âèëêîé¿);â) íà [a, b] èìååòñÿ òîëüêî îäèí êîðåíü óðàâíåíèÿ (8.1).Ìåòîä ¾âèëêè¿ ýòî ìåòîä ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ êîðíÿ ñ ïîìîùüþ ïðîöåäóðû äåëåíèÿ ñåãìåíòîâ ïîïîëàì.Ïóñòü ðàäè îïðåäåëåííîñòè < 0, f (b) > 0. Ðàçäåëèì a +fb(a)ñåãìåíò [a, b] ïîïîëàì: ëèáî f= 0 è òîãäà íàéäåíî òî÷íîåa+b2a + bçíà÷åíèå êîðíÿ c =, ëèáî f6= 0 è òîãäà îäíà22èç ïîëîâèí ñåãìåíòà [a, b] îáðàçóåò âèëêó, êîòîðóþ îáîçíà÷èì[a , b ].
Ïðè ýòîì f (a ) < 0, f (b ) > 0. Äàëåå ðàçäåëèì ñåãìåíò[a , b ] ïîïîëàì è ò.ä. Ëèáî íà íåêîòîðîì øàãå ïîëó÷èì òî÷íîåçíà÷åíèå êîðíÿ (åñëè ñåðåäèíà î÷åðåäíîãî ñåãìåíòà ñîâïàäåò ñêîðíåì), ëèáî ïðîöåññ ïðîäîëæèòñÿ íåîãðàíè÷åííî. Âî âòîðîìñëó÷àå ïîëó÷èì ñòÿãèâàþùóþñÿ ñèñòåìó âèëîê111111[a1 , b1 ], [a2 , b2 ], ... , [an , bn ], ... ,ïðè÷åì f (an ) < 0, f (bn ) > 0.
Ïî òåîðåìå î ñòÿãèâàþùåéñÿ ñèñòåìå ñåãìåíòîâ ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà c ∈ [an , bn ] ∀n,ïðè÷åì {an } → c è {bn } → c.  ñèëó íåïðåðûâíîñòè f (x) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {f (an )} è {f (bn )} ñõîäÿòñÿ ê f (c), à â ñèëóíåðàâåíñòâ f (an ) < 0 è f (bn ) > 0 èìååì:f (c) = lim f (an ) 6 0,n→+∞f (c) = lim f (bn ) > 0.n→+∞Ñëåäîâàòåëüíî, f (c) = 0, ò.å. ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {an } è {bn }ñõîäÿòñÿ ê êîðíþ óðàâíåíèÿ (8.1). êà÷åñòâå ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ êîðíÿ c ìîæíî áðàòü êàêan èëè bn , òàê è (an + bn )/2. Îöåíêà ïîãðåøíîñòè:|an − c| 6 |bn − an | =b−a2nb−a,|bn − c| 6 |bn − an | = n ,2 an + bn b−a− c 6 n+1 .225.
Ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå êîðíåé óðàâíåíèé191Ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé (ìåòîä èòåðàöèé)Óðàâíåíèå (8.1)f (x) = 0,ãäå f (x) íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íà ñåãìåíòå [a, b], ýêâèâàëåíòíîíà ýòîì ñåãìåíòå óðàâíåíèþx = F (x),(8.2)ãäå F (x) = x + k(x)f (x), k(x) ïðîèçâîëüíàÿ íåïðåðûâíàÿôóíêöèÿ, íå ðàâíàÿ íóëþ â òî÷êàõ ñåãìåíòà [a, b].Âìåñòî óðàâíåíèÿ (8.1) áóäåì ðàññìàòðèâàòü óðàâíåíèå (8.2).Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðèáëèæåííûõ çíà÷åíèé êîðíÿ ïðèìåíèì ìåòîä, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé (èëè ìåòîäîì èòåðàöèé).Ïóñòü x ∈ [a, b].
Ïîëîæèì x = F (x ). Åñëè x ∈ [a, b], òîïîëîæèì x = F (x ), è ò.ä. Åñëè xn ∈ [a, b], òî ïîëîæèì102011xn+1 = F (xn ).(8.3)Îòìåòèì, ÷òî ïðè ýòîì F (xn ) = xn + k(xn )f (xn ). Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn }, îïðåäåëåííàÿ òàêèì îáðàçîì, íàçûâàåòñÿ èòåðàöèîííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ.Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîìó ÷èñëóc. Òîãäà â ñèëó íåïðåðûâíîñòè F (x) {F (xn )} → F (c). Ïåðåõîäÿê ïðåäåëó ïðè n → +∞ â ðàâåíñòâå (8.3), ïîëó÷èìc = F (c),ò.å. ÷èñëî c ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ x = F (x), è, ñëåäîâàòåëüíî, êîðíåì óðàâíåíèÿ f (x) = 0.Èòàê, åñëè èòåðàöèîííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ,òî îíà ñõîäèòñÿ ê êîðíþ óðàâíåíèÿ (8.1), è ïîòîìó åå ÷ëåíûxn ñëóæàò ïðèáëèæåííûìè çíà÷åíèÿìè êîðíÿ.Âîçíèêàåò âîïðîñ: ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ èòåðàöèîííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ?Òåîðåìà 8.
Ïóñòü:1) c êîðåíü óðàâíåíèÿ x = F (x), ò.å. c = F (c);2) F (x) äèôôåðåíöèðóåìà â íåêîòîðîé ε-îêðåñòíîñòè òî÷êèc, ïðè÷åì |F 0 (x)| 6 α < 1 ∀x ∈ (c − ε, c + ε), ãäå α íåêîòîðîåïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî;3) x ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî èç èíòåðâàëà (c − ε, c + ε).Òîãäà èòåðàöèîííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñóùåñòâóåò è ñõîäèòñÿ ê c.0192Ãë. 8. Èññëåäîâàíèå ïîâåäåíèÿ ôóíêöèé è ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâÄîêàçàòåëüñòâî.
Äîêàæåì ïðåæäå âñåãî, ÷òî âñå xn ∈ (c −− ε, c + ε). Ýòî è áóäåò îçíà÷àòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn }ñóùåñòâóåò.Ïî óñëîâèþ x ∈ (c − ε, c + ε). Äîïóñòèì, ÷òî0xn ∈ (c − ε, c + ε), ò.å. |xn − c| < ε.Òîãäà xn+ = F (xn ). Âû÷èòàÿ èç ýòîãî ðàâåíñòâà ðàâåíñòâî c == F (c) è ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó Ëàãðàíæà, ïîëó÷àåì1xn+1 − c = F (xn ) − F (c) = F 0 (ξ)(xn − c).Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî|xn+1 − c| = |F 0 (ξ)| · |xn − c| 6 α|xn − c| 6 |xn − c|,(8.4)è, ñëåäîâàòåëüíî, xn+ ∈ (c − ε, c + ε).Îñòàåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî {xn } → c. Ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî (8.4)ïîñëåäîâàòåëüíî íåñêîëüêî ðàç è ó÷èòûâàÿ, ÷òî 0 < α < 1, ïîëó÷àåì:1|xn − c| 6 α|xn−1 − c| 6 α2 |xn−2 − c| 6 ... 6 αn |x0 − c| → 0ïðè n → +∞.
Ïîýòîìó {xn } → c ïðè n → +∞. Òåîðåìà 8 äîêàçàíà.Îöåíêà ïîãðåøíîñòè. Òàê êàê |xn − c| 6 αn |x − c|, òî ÷åìáîëüøå n, òåì ìåíüøå xn îòëè÷àåòñÿ îò c. Óäà÷íûé âûáîð x(íóëåâîãî ïðèáëèæåíèÿ) òàêæå âàæåí.Âûáèðàÿ ðàçëè÷íûå ôóíêöèè k(x) 6= 0 â âûðàæåíèè00F (x) = x + k(x)f (x),áóäåì ïîëó÷àòü ðàçëè÷íûå óðàâíåíèÿ âèäà (8.2), ýêâèâàëåíòíûå óðàâíåíèþ (8.1). Ìû ðàññìîòðèì äâà ñïåöèàëüíûõ âûáîðàôóíêöèè k(x), êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò ìåòîäó õîðä è ìåòîäóêàñàòåëüíûõ.Ìåòîä õîðäÑíîâà ðàññìàòðèâàåì óðàâíåíèå (8.1):f (x) = 0, x ∈ [a, b].Èçîáðàçèì ãðàôèê ôóíêöèè f (x) è äàäèì ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ìåòîäà õîðä (ðèñ.
8.5). Îòìåòèì êàêóþ-íèáóäüòî÷êó x íà îòðåçêå [a, b]. Åé ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà A íà ãðà005. Ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå êîðíåé óðàâíåíèé193Bax1x0x2A2CxbA1y = f (x )AA0Ðèñ. 8.5.ôèêå ôóíêöèè y = f (x). Ïðîâåäåì îòðåçîê A B , îí íàçûâàåòñÿõîðäîé. Õîðäà A B ïåðåñåêàåòñÿ ñ îñüþ x â òî÷êå x , êîòîðîéñîîòâåòñòâóåò òî÷êà A íà ãðàôèêå ôóíêöèè. Ïðîâåäÿ õîðäóA B , ïîëó÷èì òî÷êó x íà îñè x è ò.ä.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn }.Âûâåäåì ðåêóððåíòíóþ ôîðìóëó, âûðàæàþùóþ xn+ ÷åðåçxn . Ñ ýòîé öåëüþ íàïèøåì óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåçòî÷êè An (xn ; f (xn )) è B(b; f (b)) (ðèñ. 8.6):0101121Y − f (xn )f (b) − f (xn )=.x − xnb − xnBaxn +1xnbAAn (xn ; f ( xn ) )Ðèñ. 8.6.7 Â.Ô. Áóòóçîâx194Ãë.
8. Èññëåäîâàíèå ïîâåäåíèÿ ôóíêöèé è ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâÏîëîæèì â ýòîì óðàâíåíèè x = xn+ , òîãäà Y = 0, è ìû ïîëó÷àåì ðåêóððåíòíóþ ôîðìóëó ìåòîäà õîðä:1xn+1 = xn −(b − xn )f (xn ).f (b) − f (xn )(8.5)Ìåòîä õîðä ÿâëÿåòñÿ ìåòîäîì èòåðàöèé, ãäåk(x) = −b−x,f (b) − f (x)à èòåðàöèîííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } îïðåäåëÿåòñÿ ðåêóððåíòíîé ôîðìóëîé (8.5).Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ èòåðàöèîííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn }ñõîäèòñÿ ê êîðíþ c óðàâíåíèÿ f (x) = 0? Îòâåò äàåò ñëåäóþùàÿòåîðåìà.Òåîðåìà 9. Ïóñòü:1) c èçîëèðîâàííûé êîðåíü óðàâíåíèÿ (8.1) íà ñåãìåíòå [a, b]:f (c) = 0;2) ôóíêöèÿ f (x) èìååò íà [a, b] ïðîèçâîäíûå f 0 (x) è f 00 (x),êàæäàÿ èç êîòîðûõ èìååò îïðåäåëåííûé çíàê âî âñåõ òî÷êàõ[a, b].
Áóäåì ðàäè îïðåäåëåííîñòè ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àé, êîãäàf 0 (x) > 0 è f 00 (x) > 0 íà ñåãìåíòå [a, b].Òîãäà åñëè âçÿòü x = a, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn }, îïðåäåëåííàÿ ôîðìóëîé (8.5), ñõîäèòñÿ ê êîðíþ c.Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê f 0 (x) > 0, òî ôóíêöèÿ f (x) âîçðàñòàåò íà ñåãìåíòå [a, b] è, ñëåäîâàòåëüíî, f (a) < 0 è f (b) > 0.Ïîñêîëüêó f 00 (x) > 0 íà [a, b], òî ãðàôèê íàïðàâëåí âûïóêëîñòüþâíèç è ïîòîìó ëåæèò íèæå õîðäû AB (ñì. ðèñ. 8.5). Îòñþäàñëåäóåò, ÷òî x < x < c, f (x ) < 0.
Íà ñåãìåíòå [x , b] ãðàôèêôóíêöèè y = f (x) òàêæå ëåæèò íèæå õîðäû A B , à õîðäà A B íèæå õîðäû AB , è ïîýòîìó x < x < c. È òàê äàëåå. Äëÿ ëþáîãîíîìåðà n âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâàx < x < x < ... < xn < c,ò.å. {xn } ìîíîòîííàÿ îãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Ñëåäîâàòåëüíî, îíà ñõîäèòñÿ, à ïîñêîëüêó ýòî èòåðàöèîííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, òî îíà ñõîäèòñÿ ê êîðíþ c óðàâíåíèÿ f (x) = 0.Òåîðåìà 9 äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå 1. Òîò ôàêò, ÷òî {xn } → c, ìîæíî óñòàíîâèòü èíåïîñðåäñòâåííî ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (8.5).  ñàìîì äåëå, ïóñòü{xn } → c0 .
Ïåðåõîäÿ â ðàâåíñòâå (8.5) ê ïðåäåëó ïðè n → +∞,ïîëó÷èì(b − c0 )f (c0 )c0 = c0 −0 ,00111110122f (b) − f (c )15. Ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå êîðíåé óðàâíåíèé195îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî f (c0 ) = 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, c0 = c.Çàìå÷àíèå 2. Ìû ðàññìîòðåëè ñëó÷àé,êîãäà f 0 (x) > 0,00f (x) > 0.  ñëó÷àå, êîãäà f 0 (x) < 0, f 00 (x) < 0, íóæíîèñïîëüçîâàòü òó æå ðåêóððåíòíóþ ôîðìóëó (8.5), à â ñëó÷àÿõf 0 (x) > 0, f 00 (x) < 0 è f 0 (x) < 0, f 00 (x) > 0 íóæíî a è b ïîìåíÿòüðîëÿìè, òî åñòü èòåðàöèîííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò âèä:xn+1 = xn −(a − xn )f (xn ),f (a) − f (xn )x0 = b.Ìåòîä êàñàòåëüíûõ (ìåòîä Íüþòîíà)Ìû âíîâü ðàññìàòðèâàåì óðàâíåíèå (8.1):f (x) = 0.Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) äèôôåðåíöèðóåìà íà ñåãìåíòå [a, b].Ðàññìîòðèì ãåîìåòðè÷åñêóþ èëëþñòðàöèþ ìåòîäà êàñàòåëüíûõ.Ïðîâåäåì êàñàòåëüíóþ ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êåB (x ; f (x )) (ðèñ.
8.7). Îíà ïåðåñåêàåòñÿ ñ îñüþ x â òî÷êåx . Ïðîâåäåì òåïåðü êàñàòåëüíóþ ê ãðàôèêó ôóíêöèè â òî÷êåB (x , f (x )). Ïîëó÷èì íà îñè x òî÷êó x . È òàê äàëåå.00011112BB0B1CaAy = f (x )x2x1x0 bxÐèñ. 8.7.Íàïèøåì óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = f (x) âòî÷êå Bn (xn , f (xn )):Y − f (xn ) = f 0 (xn )(x − xn ).Ïîëàãàÿ x = xn+ è ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïðè ýòîì Y = 0 (ðèñ. 8.8),ïðèõîäèì ê ðåêóððåíòíîé ôîðìóëå ìåòîäà êàñàòåëüíûõ:1xn+1 = xn −7*f (xn ).f 0 (xn )(8.6)196Ãë. 8. Èññëåäîâàíèå ïîâåäåíèÿ ôóíêöèé è ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâÌåòîä êàñàòåëüíûõ ÿâëÿåòñÿ ìåòîäîì èòåðàöèé, ãäåk(x) = −10f (x),à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn }, îïðåäåëÿåìàÿ ðåêóððåíòíîé ôîðìóëîé (8.6), ÿâëÿåòñÿ èòåðàöèîííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ.BBny = f (x )Caxn +1xn bxAÐèñ. 8.8.Çàìåòèì, ÷òî åñëè âçÿòü x áëèçêî ê òî÷êå a, òî x ìîæåòîêàçàòüñÿ âíå ñåãìåíòà [a, b] è èòåðàöèîííûé ïðîöåññ ïðåðâåòñÿ.Êàê âûáèðàòü x ? Îòâåò ñîäåðæèòñÿ â ñëåäóþùåé òåîðåìå.Òåîðåìà 10. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 9 (ðàññìàòðèâàåì ñëó÷àé, êîãäà f 0 (x) > 0, f 00 (x) > 0 íà [a, b]).Òîãäà åñëè âçÿòü x = b, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn }, îïðåäåëåííàÿ ôîðìóëîé (8.6), ñõîäèòñÿ ê êîðíþ c.Äîêàçàòåëüñòâî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
