В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу (1108944), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Åñëè f (x) âîçðàñòàåò íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå, òî îíà âîçðàñòàåò â êàæäîé òî÷êå ýòîãî èíòåðâàëà (äîêàæèòåñàìîñòîÿòåëüíî).Óòâåðæäåíèå 3 (îáðàòíîå ê óòâåðæäåíèþ 2). Åñëè f (x)âîçðàñòàåò â êàæäîé òî÷êå äàííîãî èíòåðâàëà, òî îíà âîçðàñòàåòíà ýòîì èíòåðâàëå (äîêàæèòå ñàìîñòîÿòåëüíî). Ïðè âñåé î÷åâèäíîñòè óòâåðæäåíèÿ 3 åãî ñòðîãîå äîêàçàòåëüñòâî íå î÷åíüïðîñòîå.Ñôîðìóëèðóåì è äîêàæåì òåîðåìó î äîñòàòî÷íîì óñëîâèèðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè.Òåîðåìà 11. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) èìååò íà ïðîìåæóòêå Xîãðàíè÷åííóþ ïðîèçâîäíóþ f 0 (x), òî f (x) ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà X .Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü |f 0 (x)| 6 M ∀x ∈ X , ãäå M > 0 íåêîòîðîå ÷èñëî. Çàäàäèì ïðîèçâîëüíîå ε > 0 è âîçüìåì δ = ε/M .158Ãë. 7. Îñíîâíûå òåîðåìû î íåïðåðûâíûõ è äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèÿõÒîãäà ∀x0 , x00 , óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó |x00 − x0 | < δ = ε/M ,ïîëó÷àåì:|f (x00 ) − f (x0 )| = |f 0 (ξ)(x00 − x0 )| 6 M · |x00 − x0 | < M δ = ε,à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî f (x) ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà ïðîìåæóòêåX . Òåîðåìà 11 äîêàçàíà.Ïðèìåð. f (x) = ln x, X = (a, +∞), ãäå a > 0. Èìååì:0f (x) =1x, 0 1f (x) 6a∀x ∈ (a, +∞),îòêóäà âûòåêàåò ðàâíîìåðíàÿ íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè f (x) == ln x íà ïîëóïðÿìîé X = (a, +∞).Çàäàíèÿ.
1) Äîêàæèòå, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) = ln x íå ÿâëÿåòñÿðàâíîìåðíî íåïðåðûâíîé íà ïîëóïðÿìîé (0, +∞).2) Ïðèâåäèòå ïðèìåð ôóíêöèè f (x), êîòîðàÿ ðàâíîìåðíîíåïðåðûâíà íà ïðîìåæóòêå X , íî f 0 (x) íå îãðàíè÷åíà íà X . 5. Ôîðìóëà Êîøè. Ïðàâèëî ËîïèòàëÿÒåîðåìà 12. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ:1) ôóíêöèè f (x) è g(x) îïðåäåëåíû è íåïðåðûâíû íà ñåãìåíòå[a, b];2) f (x) è g(x) äèôôåðåíöèðóåìû â èíòåðâàëå (a, b);3) g 0 (x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b).Òîãäà ∃c ∈ (a, b), òàêàÿ, ÷òîf (b) − f (a)f 0 (c)= 0g(b) − g(a)g (c)(ôîðìóëà Êîøè).Çàìå÷àíèå. Îòìåòèì, ÷òî â ôîðìóëå Êîøè çíàìåíàòåëü âëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà íå ðàâåí 0, ò.å. g(a) 6= g(b).  ñàìîì äåëå,åñëè äîïóñòèòü, ÷òî g(a) = g(b), òî äëÿ g(x) áóäóò âûïîëíåíûâñå óñëîâèÿ òåîðåìû Ðîëëÿ è òîãäà äîëæíà ñóùåñòâîâàòü òî÷êàx ∈ (a, b), òàêàÿ, ÷òî g 0 (x) = 0, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ 3òåîðåìû.Äîêàçàòåëüñòâî.1-àÿ ïîïûòêà. Ïî ôîðìóëå Ëàãðàíæàf (b) − f (a) = f 0 (c)(b − a),g(b) − g(a) = g 0 (c)(b − a),îòêóäà ñëåäóåò, ÷òîf (b) − f (a)f 0 (c)(b − a)f 0 (c)= 0= 0 .g(b) − g(a)g (c)(b − a)g (c)5.
Ôîðìóëà Êîøè. Ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ159Íî òàêîå ¾äîêàçàòåëüñòâî¿ íå ñîñòîÿòåëüíî! (ïîäóìàéòå, ïî÷åìó).2-àÿ ïîïûòêà. Ââåäåì ôóíêöèþF (x) = f (x) −f (b) − f (a)· (g(x) − g(a)).g(b) − g(a)Îíà óäîâëåòâîðÿåò âñåì óñëîâèÿì òåîðåìû Ðîëëÿ:1) F (x) îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà íà [a, b];2) F (x) äèôôåðåíöèðóåìà â èíòåðâàëå (a, b);3) F (a) = F (b) = f (a).Ïî òåîðåìå Ðîëëÿ ∃c ∈ (a, b): F 0 (c) = 0, òî åñòüf 0 (c) −f (b) − f (a) 0g (c) =g(b) − g(a)0,îòêóäà ñëåäóåò, ÷òîf 0 (c)f (b) − f (a)= 0 .g(b) − g(a)g (c)Òåîðåìà äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå. Ôîðìóëà Ëàãðàíæà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåìôîðìóëû Êîøè ïðè g(x) = x.
 ýòîì ñëó÷àå g(a) = a, g(b) = b,g 0 (c) = 1 è ôîðìóëà Êîøè ïåðåõîäèò â ôîðìóëó Ëàãðàíæà.ÏóñòüÏðàâèëî Ëîïèòàëÿlim f (x) = lim g(x) = 0,x→ax→aòî åñòü ôóíêöèè f (x) è g(x) ÿâëÿþòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëûìè ïðèx → a. Ðàññìîòðèìlimx→af (x).g(x)Îí íàçûâàåòñÿ íåîïðåäåëåííîñòüþ òèïà 0/0.Ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ ïîçâîëÿåò â îïðåäåëåííûõ ñëó÷àÿõ ðàñêðûòü ýòó íåîïðåäåëåííîñòü, ò.å. âû÷èñëèòü äàííûé ïðåäåë.Òåîðåìà 13. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ:1) ôóíêöèè f (x) è g(x) îïðåäåëåíû è äèôôåðåíöèðóåìû âíåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a (ïðè ýòîì â ñàìîéòî÷êå a îíè ìîãóò áûòü äàæå íå îïðåäåëåíû);2)lim f (x) = lim g(x) = 0;x→ax→a160Ãë. 7.
Îñíîâíûå òåîðåìû î íåïðåðûâíûõ è äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèÿõ3) g 0 (x) 6= 0 äëÿ ëþáîãî x èç óêàçàííîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a (â ñàìîé òî÷êå a ìîæåò áûòü g 0 (a) = 0);4) ñóùåñòâóåòf 0 (x).x→a g 0 (x)limÒîãäà ñóùåñòâóåò limx→af (x)g(x)è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîf (x)f 0 (x)= lim 0 .x→a g(x)x→a g (x)limÝòà ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ ïðàâèëîì Ëîïèòàëÿ.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîîïðåäåëèì ôóíêöèè f (x) è g(x) â òî÷êåa ïî íåïðåðûâíîñòè, ò.å. ïîëîæèì f (a) = g(a) = 0. Òîãäà f (x) èg(x) ñòàíóò íåïðåðûâíûìè âî âñåé óêàçàííîé îêðåñòíîñòè òî÷êèa.
Ïóñòü x ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà èç ýòîé îêðåñòíîñòè, îòëè÷íàÿîò a. Ïî ôîðìóëå Êîøèf (x) − f (a)f 0 (ξ)= 0 ,g(x) − g(a)g (ξ)ãäå ξ íåêîòîðàÿ òî÷êà èç èíòåðâàëà (a, x). Òàê êàê f (a) == g(a) = 0, òîf 0 (ξ)f (x)= 0 .g(x)g (ξ)Ïåðåéäåì â ýòîì ðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè x → a. Òîãäà ξ →→ a, è ïðåäåë ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà ñóùåñòâóåò ïî óñëîâèþòåîðåìû. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò ïðåäåë ëåâîé ÷àñòè è îíðàâåí ïðåäåëó ïðàâîé ÷àñòè, ò.å.f (x)f 0 (x)= lim 0 .x→a g(x)x→a g (x)limÒåîðåìà 13 äîêàçàíà.Ïðèìåðû.1) Ïðèìåíèì ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ ê ïåðâîìó çàìå÷àòåëüíîìóïðåäåëó:sin xcos x= lim=1limx→0xx→01(îòìåòèì, ÷òî òàêîé ñïîñîá îáîñíîâàíèÿ ïåðâîãî çàìå÷àòåëüíîãîïðåäåëà íåêîððåêòåí, òàê êàê ïðè âûâîäå ôîðìóëû (sin x)0 == cos x èñïîëüçîâàëñÿ ïåðâûé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë).5. Ôîðìóëà Êîøè.
Ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ1612)ax − xaax ln a − axa−1= lim= aa ln a − aa = aa (ln a − 1).x→a x − ax→a1lim3)limx→02tg x − x= lim cos x 23x→0x3x=−11= limx→01cos2 x0−1=(3x2 )01sin x1lim cos− x · lim= .3 x→x3x→300Çäåñü ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ ïðèìåíÿëîñü äâàæäû.Çàìåòèì, ÷òî èç ðàññìîòðåííîãî ïðèìåðà ìîæíî ïîëó÷èòüïîëåçíóþ àñèìïòîòè÷åñêóþ ôîðìóëó. Òàê êàêlimtg x − x1x→03òî13x3tg x − x ∼ x3è, ñëåäîâàòåëüíî,13tg x − x − x3 = o x3⇒= 1,ïðè x → 0,13tg x = x + x3 + o x3ïðè x → 0.Çàìå÷àíèÿ.1) Åñëè â òåîðåìå 13 óñëîâèå 4) çàìåíèòü óñëîâèåìf 0 (x)= ∞,x→a g 0 (x)limîçíà÷àþùèì, ÷òî f 0 (x)/g 0 (x) áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ ôóíêöèÿ ïðèx → a, òîf (x)= ∞.x→a g(x)lim2) Åñëè â òåîðåìå 13 óñëîâèå 2) çàìåíèòü óñëîâèåìlim f (x) = ∞,x→alim g(x) = ∞,x→aòî òåîðåìà îñòàåòñÿ â ñèëå, ò.å.
ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ èìååò ìåñòîè äëÿ íåîïðåäåëåííîñòè òèïà ∞/∞.6 Â.Ô. Áóòóçîâ162Ãë. 7. Îñíîâíûå òåîðåìû î íåïðåðûâíûõ è äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèÿõ3) Ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ èìååò ìåñòî äëÿ îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëîâ è äëÿ ïðåäåëîâ ïðè x → ∞.Òåîðåìà 13-à (áåç äîêàçàòåëüñòâà). Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ:1) ôóíêöèè f (x) è g(x) îïðåäåëåíû è äèôôåðåíöèðóåìû ïðèx > c;2)lim f (x) = lim g(x) = 0 (ëèáî lim f (x) = lim g(x) = ∞);x→+∞x→+∞x→+∞x→+∞3)6= 0 ∀x ∈ (c, +∞);4) ñóùåñòâóåòg 0 (x)f 0 (x).x→+∞ g 0 (x)f (x)è âûïîëíÿåòñÿñóùåñòâóåò limx→+∞ g(x)f (x)f 0 (x)lim= lim 0 .x→+∞ g(x)x→+∞ g (x)limÒîãäàðàâåíñòâîÏðèìåðû.1) Âû÷èñëèòü lim xx .x→+0 1Òàê êàê x = exx ln xèln xlim x ln x = lim 1 = lim x1 =x→+0x→+0x→+0 −2x0x(çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü ïðàâèëîì Ëîïèòàëÿ), òî lim xx = 1.x→+0ln xlim,x→+∞ xα2) Âû÷èñëèòüãäå α ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî.
Ïðèìåíÿÿ ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ, ïîëó÷àåì:11ln xx= limlim=α = limα−1x→+∞ xx→+∞ αxx→+∞ αxα0,òî åñòü ôóíêöèÿ ln x ðàñòåò ïðè x → +∞ ìåäëåííåå, ÷åìñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ xα ñ ëþáûì α > 0. Èíîãäà ýòî çàïèñûâàþòòàê:ln x xα ïðè x → +∞.xn3) Âû÷èñëèòü lim x , ãäå n ∈ N, a > 1. Ïðèìåíÿÿ ïðàâèëîx→+∞ aËîïèòàëÿ n ðàç, ïîëó÷àåì:xnnxn−1=x = limx→+∞ ax→+∞ ax ln alim... = limx→+∞n!=ax (ln a)n0,6. Ôîðìóëà Òåéëîðà163ò.å.
ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ xn ðàñòåò ïðè x → +∞ ìåäëåííåå,÷åì ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ ax (òî æå ñàìîå îòíîñèòñÿ ê xαñ ëþáûì α > 0):xα axïðè x → +∞.4) Åñëè íå ñóùåñòâóåò lim[f 0 (x)/g 0 (x)], òî îòñþäà íå ñëåäóåò,÷òî íå ñóùåñòâóåò lim[f (x)/g(x)].Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðåäåëx + sin xx→+∞ 2x + sin xlimíåîïðåäåëåííîñòü òèïà∞.∞Èìååì:1 + cos x(x + sin x)0==2 + cos x(2x + sin x)011−12 + cos x.Ïðåäåë ôóíêöèè 1 −(òî åñòü ïðåäåë îòíîøåíèÿ ïðî2 + cos xèçâîäíûõ ôóíêöèé x + sin x è 2x + sin x) ïðè x → +∞ íå ñóùåñòâóåò, òàê êàê ýòà ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ñ ïåðèîäîì2π , ïðè÷åì åå çíà÷åíèÿ èçìåíÿþòñÿ îò 0 äî 2/3. Âìåñòå ñ òåì,ïðåäåë îòíîøåíèÿ ñàìèõ ôóíêöèé x + sin x è 2x + sin x ñóùåñòâóåò:sin x1+x + sin xx = 1.lim= limsin xx→+∞ 2x + sin xx→+∞22+x 6. Ôîðìóëà ÒåéëîðàÏóñòü ôóíêöèÿ f (x) èìååò íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ (n + 1)-ãîïîðÿäêà â îêðåñòíîñòè òî÷êè x (â òàêîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òîôóíêöèÿ n + 1 ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà â îêðåñòíîñòèòî÷êè x ). Ïóñòü x ëþáàÿ (ôèêñèðîâàííàÿ) òî÷êà èç ýòîéîêðåñòíîñòè.
Òîãäà00Zxf 0 (t)dtf (x) = f (x0 ) +x06*(7.3)164Ãë. 7. Îñíîâíûå òåîðåìû î íåïðåðûâíûõ è äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèÿõZxÏðèìåíèì ê èíòåãðàëóf 0 (t)dt ôîðìóëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïîx0÷àñòÿì:ZxZx0f (t)dt = −x0Zxxf (t)d(x − t) = −f (t)(x − t) x + (x − t)df 0 (t) =000x0x0Zx0f 00 (t)(x − t)dt.= f (x0 )(x − x0 ) +x0Ê èíòåãðàëó â ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ñíîâà ïðèìåíèì ôîðìóëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì:ZxZx00f 00 (t)df (t)(x − t)dt = −x0(x − t)22x0Zx+x0(x − t)22= −f 00 (t)f 00 (x0 )df (t) =(x − x0 )2 +2!(x − t)2 xZx00f 000 (t)x02x0+(x − t)2dt.2!Èñïîëüçóÿ ýòè ðàâåíñòâà, èç (7.3) ïîëó÷àåì:f 0 (x )0f (x) = f (x0 ) +(x − x0 ) +1!Zx1+f 000 (t)(x − t)2 dt.2!f 00 (x0 )(x − x0 )2 +2!x0Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì ê èíòåãðàëó âïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà è ïðîäîëæàÿ äàëåå ïðîöåññèíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, ïîñëå n øàãîâ ïðèäåì ê ðàâåíñòâóf (x) = f (x0 ) +f 0 (x0 )f 00 (x0 )(x − x0 ) +(x − x0 )2 + ...1!2!f (n) (x0 )1...
+(x − x0 )n +2!n!Zxf (n+1) (t)(x − t)n dt.x0(7.4)6. Ôîðìóëà Òåéëîðà165Ââåäåì îáîçíà÷åíèåRn+1 (x) =Zx1(7.5)f (n+1) (t)(x − t)n dt.n!x0Òîãäà ðàâåíñòâî (7.4) ìîæíî çàïèñàòü â âèäåf (x) =nXf (k) (x0 )k!k=0(x − x0 )k + Rn+1 (x),(7.6)ãäå f ( ) (x ) = f (x ), 0! = 1.Ðàâåíñòâî (7.6) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Òåéëîðà äëÿ ôóíêöèè f (x) ñ öåíòðîì ðàçëîæåíèÿ â òî÷êå x , ìíîãî÷ëåí00nXf (k) (x0 )k=0k!00(x − x0 )k íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì Òåéëîðà ôóíêöèèf (x), à ôóíêöèÿ Rn+1 (x) íàçûâàåòñÿ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì ôîð-ìóëû Òåéëîðà. Âûðàæåíèå (7.5) íàçûâàåòñÿ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîìâ èíòåãðàëüíîé ôîðìå.Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ ìíîãî÷ëåíà Òåéëîðà Pn (x) ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà Pn(k) (x ) = f (k) (x ), k = 0, 1, 2, ..., n (óáåäèòåñüâ ýòîì ñàìîñòîÿòåëüíî).Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè ñëåäóþùóþ òåîðåìó:Òåîðåìà 14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
