В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу (1108944), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Óòâåðæäåíèå îíåîáõîäèìîñòè óñëîâèÿ Êîøè äîêàçàíî.2) Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü f (x) óäîâëåòâîðÿåò â òî÷êå a óñëîâèþ Êîøè. Ïóñòü {xn } ïðîèçâîëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çíà÷åíèé àðãóìåíòà, ñõîäÿùàÿñÿ ê a (ïðè ýòîì xn 6= a).  ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì ïðåäåëà ôóíêöèè ïî Ãåéíå íóæíîäîêàçàòü, ÷òî {f (xn )} ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîìó ÷èñëó b, ïðè÷åìýòî ÷èñëî îäíî è òî æå äëÿ âñåõ {xn } → a (xn 6= a). Ñ ýòîéöåëüþ äîêàæåì ñíà÷àëà ôóíäàìåíòàëüíîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè{f (xn )}.Çàäàäèì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ñîãëàñíî óñëîâèþ Êîøè ∃δ > 0òàêîå, ÷òî|f (x0 ) − f (x00 )| < ε ïðè 0 < |x0 − a| < δ ,0 < |x00 − a| < δ.
(6.8)Òàê êàê lim xn = a è xn 6= a, òî äëÿ óêàçàííîãî δ íàéäåòñÿn→∞íîìåð N , òàêîé, ÷òî∀n > N :è òàêæå0 < |xn − a| < δ ,0 < |xm − a| < δ.Èç ýòèõ íåðàâåíñòâ â ñèëó (6.8) ñëåäóåò, ÷òî∀m > N :∀n > Nè ∀m > N :|f (xm ) − f (xn )| < ε,òî åñòü {f (xn )} ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Ñëåäîâàòåëüíî, {f (xn )} ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîìó ÷èñëó b.5. Êðèòåðèé Êîøè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè.147Èòàê, ìû äîêàçàëè, ÷òî ∀{xn } → a (xn 6= a) ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {f (xn )} ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîìó ÷èñëób. Îñòàåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî ÷èñëî b áóäåò îäíî è òî æå äëÿ âñåõïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {xn }, ñõîäÿùèõñÿ ê a (è òàêèõ, ÷òî xn 6= a).Ïóñòü äëÿ {xn } → a (xn 6= a) ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {f (xn )} ñõîäèòñÿ ê b, à äëÿ {x0n } → a (x0n 6= a) ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {f (x0n )} ñõîäèòñÿ ê b0 .Ñîñòàâèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü{x00n } = x1 , x01 , x2 , x02 , ...
, xn , x0n , ... .ßñíî, ÷òî {x00n } → a (x00n 6= a), è ïîýòîìó {f (x00n )} ñõîäèòñÿ êíåêîòîðîìó ÷èñëó b00 . Ñëåäîâàòåëüíî, è ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè{f (xn )} è {f (x0n )} ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {f (x00n )} ñõîäÿòñÿ ê ýòîìó ÷èñëó b00 . Íî {f (xn )} → b, {f (x0n )} → b0 . Òàêèì îáðàçîì,b = b0 = b00 , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Òåîðåìà 6 äîêàçàíà.Çàäàíèå. Ñôîðìóëèðóéòå óñëîâèå Êîøè äëÿ ôóíêöèè f (x)ïðè x → +∞ è äîêàæèòå òåîðåìó î êðèòåðèè Êîøè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè ïðè x → +∞.Ãëàâà 7ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÒÅÎÐÅÌÛ Î ÍÅÏÐÅÐÛÂÍÛÕ ÈÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÐÓÅÌÛÕ ÔÓÍÊÖÈßÕ 1.
Òåîðåìû îá îãðàíè÷åííîñòè íåïðåðûâíûõôóíêöèéÒåîðåìà 1 (î ëîêàëüíîé îãðàíè÷åííîñòè íåïðåðûâíîéôóíêöèè). Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) íåïðåðûâíà â òî÷êå a, òîîíà îãðàíè÷åíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè.Äîêàçàòåëüñòâî. Çàäàäèì êàêîå-íèáóäü ε > 0 (íàïðèìåð, ε = 1).Ïî îïðåäåëåíèþ íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè ∃δ > 0, òàêîå, ÷òî|f (x) − f (a)| < ε ïðè|x − a| < δ ,ò.å. f (a) − ε < f (x) < f (a) + ε â δ -îêðåñòíîñòè òî÷êè a. Ýòîè îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèÿ y = f (x) îãðàíè÷åíà â δ -îêðåñòíîñòèòî÷êè a. Òåîðåìà 1 äîêàçàíà.Ïóñòü òåïåðü ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà ìíîæåñòâå X ,ò.å.
íåïðåðûâíà â êàæäîé òî÷êå ýòîãî ìíîæåñòâà. Áóäåò ëè f (x)îãðàíè÷åííîé íà ìíîæåñòâå X ? Îòâåò íåîäíîçíà÷åí.Ïðèìåð. Ôóíêöèÿ f (x) = 1/x íåïðåðûâíà íà èíòåðâàëå 0 << x < 1, íî íå îãðàíè÷åíà íà ýòîì èíòåðâàëå.Åñëè æå ìíîæåñòâî X ñåãìåíò, òî îòâåò íà ïîñòàâëåííûéâîïðîñ ïîëîæèòåëüíûé.Òåîðåìà 2 (1-àÿ òåîðåìà Âåéåðøòðàññà).Íåïðåðûâíàÿ íà ñåãìåíòå ôóíêöèÿ îãðàíè÷åíà íà ýòîì ñåãìåíòå.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå[a, b]. Äîïóñòèì, ÷òî f (x) íå îãðàíè÷åíà íà [a, b]. Òîãäà∀n ∈ N ∃xn ∈ [a, b] : |f (xn )| > n.(7.1)Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn }.
Îíà îãðàíè÷åíà, ïîñêîëüêó âñå xn ëåæàò íà ñåãìåíòå [a, b], è, ñëåäîâàòåëüíî, èç íååìîæíî âûäåëèòü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xkn } (òåîðåìà ÁîëüöàíîÂåéåðøòðàññà). Ïóñòü {xkn } → c. Ïîñêîëüêó âñå1. Òåîðåìû îá îãðàíè÷åííîñòè íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé149xkn ∈ [a, b], òî c ∈ [a, b] è ïîýòîìó f (x) íåïðåðûâíà â òî÷êå c.Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî f (xkn ) → f (c) ïðè n → ∞.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, |f (xkn )| > kn â ñèëó (7.1), ò.å. {f (xkn )} áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü è, ñëåäîâàòåëüíî, ðàñõîäèòñÿ. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò òåîðåìó 2.Çàìå÷àíèå. Äëÿ èíòåðâàëà òåîðåìà 2 íå âåðíà (ñì.
ïðèìåð âûøå).Çàäàíèå. Óñòàíîâèòå, â êàêîì ìåñòå íå ïðîéäåò äîêàçàòåëüñòâîòåîðåìû, åñëè ñåãìåíò [a, b] çàìåíèòü íà èíòåðâàë (a, b).Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà è îãðàíè÷åíà ñâåðõó (ñíèçó)íà ìíîæåñòâå X . Òîãäà îíà èìååò íà ìíîæåñòâå X òî÷íóþâåðõíþþ (íèæíþþ) ãðàíü:M = sup f (x)(m = inf f (x)).XXÏðè ýòîì ôóíêöèÿ f (x) ìîæåò ïðèíèìàòü, à ìîæåò è íå ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ, ðàâíîãî M (ñîîòâåòñòâåííî, m).Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþy(ðèñ. 7.1)(f (x) =1x,åñëè 0 < x 6 1,1, åñëè x = 0.212Î÷åâèäíî,sup f (x) = 1 = f (1),[0,1]inf f (x) = 0,[0,1]x0íî ïðè ýòîì f (x) íå èìååò çíà÷åíèÿ,ðàâíîãî íóëþ.Åñëè ôóíêöèÿ f (x) ïðèíèìàåò â êàêîé-òî òî÷êå çíà÷åíèå,ðàâíîåsup f (x) (inf f (x)),Ðèñ.
7.1.XXòî ãîâîðÿò, ÷òî îíà äîñòèãàåò íà ìíîæåñòâå X ñâîåé òî÷íîéâåðõíåé (íèæíåé) ãðàíè. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî èìåòü òî÷íûå ãðàíèè äîñòèãàòü èõ ðàçíûå ñâîéñòâà ôóíêöèè.Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a, b]. Òîãäà îíàîãðàíè÷åíà íà [a, b] è ïîýòîìó èìååòM = sup f (x)[a,b]è m = inf f (x).[a,b]150Ãë. 7. Îñíîâíûå òåîðåìû î íåïðåðûâíûõ è äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèÿõÒåîðåìà 3 (2-àÿ òåîðåìà Âåéåðøòðàññà). Íåïðåðûâíàÿ íàñåãìåíòå ôóíêöèÿ äîñòèãàåò íà ýòîì ñåãìåíòå ñâîèõ òî÷íûõãðàíåé.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü f (x) íåïðåðûâíà íà [a, b]. Äîêàæåì òåîðåìó 3 äëÿ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè.Äîïóñòèì, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) íå ïðèíèìàåò íà [a, b] çíà÷åíèÿM = sup f (x). Òîãäà ∀x ∈ [a, b]: f (x) < M . Ââåäåì ôóíêöèþ[a,b]F (x) =1M − f (x).Îíà íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a, b] (ïîñêîëüêó f (x) íåïðåðûâíàíà [a, b] è M − f (x) 6= 0) è ïîëîæèòåëüíà. Ïî òåîðåìå 2 F (x)îãðàíè÷åíà íà [a, b], ïîýòîìó ∃A > 0 òàêîå, ÷òî0 < F (x) < A ∀x ∈ [a, b],èëè0<1M − f (x)< A ∀x ∈ [a, b],îòêóäà ñëåäóåò, ÷òîf (x) < M −1A∀x ∈ [a, b].Ïîëó÷èëîñü, ÷òî ÷èñëî M − 1/A, êîòîðîå ìåíüøå M , ÿâëÿåòñÿâåðõíåé ãðàíüþ f (x) íà [a, b]. Íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òîM íàèìåíüøàÿ èç âåðõíèõ ãðàíåé f (x) íà [a, b].
Ïîëó÷åííîåïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò òåîðåìó 3.Çàìå÷àíèå. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) äîñòèãàåò íà ìíîæåñòâå X ñâîåéòî÷íîé âåðõíåé (íèæíåé) ãðàíè, òî îíà èìååò íà ýòîì ìíîæåñòâåìàêñèìàëüíîå (ìèíèìàëüíîå) çíà÷åíèå:max f (x) = sup f (x)XXmin f (x) = inf f (x) .XXÅñëè æå f (x) íå äîñòèãàåò íà ìíîæåñòâå X ñâîåé òî÷íîé âåðõíåé(íèæíåé) ãðàíè, òî îíà íå èìååò íà X ìàêñèìàëüíîãî (ìèíèìàëüíîãî) çíà÷åíèÿ. Èç âòîðîé òåîðåìû Âåéåðøòðàññà ñëåäóåò,÷òî íåïðåðûâíàÿ íà ñåãìåíòå ôóíêöèÿ èìååò íà ýòîì ñåãìåíòå ìàêñèìàëüíîå è ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèÿ.2. Ðàâíîìåðíàÿ íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè151 2. Ðàâíîìåðíàÿ íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèèÏóñòü ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà íà ïðîìåæóòêå X .
Íàïîìíèìîïðåäåëåíèå ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíîé ôóíêöèè.Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíîé íà ïðîìåæóòêå X , åñëè ∀ε > 0 ∃δ > 0, òàêîå, ÷òî∀x0 , x00 ∈ X è óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ |x00 − x0 | < δ , âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |f (x00 ) − f (x0 )| < ε.Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî åñëè f (x) ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà ïðîìåæóòêå X , òî îíà íåïðåðûâíà â êàæäîé òî÷êåx0 ∈ X . Îòëè÷èå ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè íà ïðîìåæóòêå Xîò ¾ïðîñòî íåïðåðûâíîñòè¿ íà ýòîì ïðîìåæóòêå ñîñòîèò â òîì,÷òî â ñëó÷àå ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè ∀ε > 0 ñóùåñòâóåò¾íóæíîå¿ δ > 0, îáùåå äëÿ âñåõ òî÷åê x0 ∈ X (δ çàâèñèò îò ε,íî íå çàâèñèò îò x0 ), à â ñëó÷àå ¾ïðîñòî íåïðåðûâíîñòè¿ ∀x0 ∈ Xïî çàäàííîìó ε > 0 íàéäåòñÿ ¾íóæíîå¿ δ > 0, íî ýòî δ = δ(ε, x0 )(ò.å.
δ â äàííîì ñëó÷àå çàâèñèò è îò ε, è îò x0 ), è ìîæåò íåñóùåñòâîâàòü îáùåãî δ(ε) > 0 äëÿ âñåõ x0 ∈ X .Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èëëþñòðàöèÿ ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòèôóíêöèèÅñëè ôóíêöèÿ y = f (x) ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà ïðîìåæóòêå X , òî ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0, òàêîå, ÷òî ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìèδ(ε) è ε, ïàðàëëåëüíûìè îñÿì Ox è Oy , ìîæíî òàê ïåðåìåñòèòüâäîëü ãðàôèêà ôóíêöèè, ÷òî ãðàôèê íå áóäåò ïåðåñåêàòü ñòîðîíïðÿìîóãîëüíèêà, ïàðàëëåëüíûõ îñè Ox, à áóäåò ïåðåñåêàòü ëèøüñòîðîíû, ïàðàëëåëüíûå îñè Oy .Òåîðåìà 4 (òåîðåìà Êàíòîðà). Íåïðåðûâíàÿ íà ñåãìåíòåôóíêöèÿ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà ýòîì ñåãìåíòå.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå[a, b]. Äîïóñòèì, ÷òî f (x) íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíîéíà [a, b]. Òîãäà ∃ε > 0, òàêîå, ÷òî ∀δ > 0 ∃x0 , x00 ∈ [a, b], äëÿêîòîðûõ |x00 − x0 | < δ , à |f (x00 ) − f (x0 )| > ε.Âîçüìåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {δn } → +0 (δn > 0). Ñîãëàñíîíàøåìó ïðåäïîëîæåíèþ, ∀δn > 0 ∃x0n , x00n ∈ [a, b], äëÿ êîòîðûõ|x00n − x0n | < δn ,à|f (x00n ) − f (x0n )| > ε.(7.2)Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {x0n }.
Îíà îãðàíè÷åíà, ïîñêîëüêó âñå åå ÷ëåíû ëåæàò íà ñåãìåíòå [a, b], è ïîýòîìó èç íåå ìîæ0íî âûäåëèòü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüxkn . Ïóñòü 000 0xkn → c ïðè n → ∞. Òàê êàê xkn − xkn < δkn è δkn → 0ïðè n → ∞, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü x00kn → c, à ïîñêîëüêó âñå152Ãë. 7. Îñíîâíûå òåîðåìû î íåïðåðûâíûõ è äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèÿõx0kn ∈ [a, b], òî c ∈ [a, b] è, ñëåäîâàòåëüíî, f (x) íåïðåðûâíà â òî÷êåc. Ïîýòîìó f (x0kn ) → f (c), f (x00kn ) → f (c) ïðè n → ∞, îòêóäàñëåäóåò,÷òî f (x00kn ) − f (x0kn ) → 0 ïðè n → ∞.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â ñèëó íåðàâåíñòâà (7.2) èìååì íåðàâåíñòâîf (x00 ) − f (x0 ) > ε,knknè ïîýòîìólim f (x00kn ) − f (x0kn ) > ε > 0.n→∞Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò òåîðåìó.Çàìå÷àíèå.
Äëÿ èíòåðâàëà òåîðåìà Êàíòîðà íå âåðíà. Íàïðè1ìåð, ôóíêöèÿ f (x) = íåïðåðûâíà íà èíòåðâàëå (0, 1), íî íåxÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíîé íà ýòîì èíòåðâàëå. 3. Âîçðàñòàíèå è óáûâàíèå ôóíêöèè â òî÷êå.Ëîêàëüíûé ýêñòðåìóìÏóñòü ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà íà èíòåðâàëå (a, b) è c ∈ (a, b).Îïðåäåëåíèå. Ãîâîðÿò, ÷òî f (x) âîçðàñòàåò â òî÷êå c, åñëèñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü òî÷êè c, â êîòîðîé f (x) > f (c) ïðè x > cè f (x) < f (c) ïðè x < c.Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ óáûâàíèå ôóíêöèè â òî÷êå c.Òåîðåìà 5. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå cè f 0 (c) > 0 (< 0), òî f (x) âîçðàñòàåò (óáûâàåò) â òî÷êå c.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f 0 (c) > 0 (ñëó÷àé f 0 (c) < 0 ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî).
Ïî îïðåäåëåíèþ ïðîèçâîäíîéf 0 (c) = limx→cf (x) − f (c).x−cÎòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ∀ε > 0 ∃δ > 0, òàêîå, ÷òî f (x) − f (c)0− f (c) < ε ïðè x−c0 < |x − c| < δ ,òî åñòüf 0 (c) − ε <f (x) − f (c)< f 0 (c) + εx−cïðè 0 < |x − c| < δ.Âîçüìåì ε = f 0 (c).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
